Теория упругого режима

    μ – динамический коэффициент вязкости;

    k – коэффициент проницаемости, который не зависит от свойств жидкости и является характеристикой только пористой среды. Для трубки тока с переменной площадью сечения по длине трубки закон Дарси записывается в дифференциальной форме.

   Выделим два сечения: первое – на расстоянии s от начало отсчета, второе – на расстоянии ds от первого. Пусть движение флюида происходит в направлении возрастания координаты s. В сечении с координатой s обозначим приведенное давление , в сечении с координатой давление:

.                             (1.3.2)

   Используя формулу (1.3.1), получим:

;                                          

или

.                                         (1.3.3)

   Знак  минус появился в правой части  формулы (1.3.3) потому, что приведенное давление уменьшается в направлении движения жидкости, т. е. градиент давления отрицателен .

   Формула (1.3.3) справедлива только для изотропной среды, для которой характерно постоянство проницаемости среды k по всем направлениям в окрестности рассматриваемой точки. Однако с переходом от точки к точке пласта проницаемость, вообще говоря, может измениться, т. е. (модель изотропного неоднородного пласта).

   Запишем уравнение (1.3.3) в проекциях на ось  координат x, y, z. Если обозначить единичные векторы вдоль осей координат, то вектор скорости фильтрации можно записать так:

.                                  (1.3.4)

   В правой части (1.3.3) представляет собой градиент приведенного давления, т. е. вектор с составляющими , , :

.                         (1.3.5)

Тогда

;                                         (1.3.6)

или в  проекциях на ось координат:

, , .                          (1.3.7)

   Если  ось z направлена вертикально верх, то дифференциальное уравнение движения примут вид:

, , .                         (1.3.8)

или в  векторной форме:

.                                  (1.3.9)

1.4 Дифференциальное уравнение упругой режима фильтрации

   Запишем дифференциальное уравнение фильтрации однофазного сжимаемого флюида в однородной пористой среде, пренебрегая силами тяжести и инерции:

• уравнение неразрывности потока:

.                  (1.4.1)

   Пусть при существовании в пласте упругого режима жидкость движется в соответствии с законом Дарси, тогда:

• уравнение движения:

; ; .                     (1.4.2)

   Процесс фильтрации будем считать изотермическим, т. к. изменение температуры, возникающие  в ходе движения вследствие наличия сопротивления и расширения вещества, успевает компенсироваться теплообменом с окружающими горными породами.

   В неустановившихся процессах часто  большое количество нефти можно  отобрать за счет расширения ее объема при снижении давления. Поэтому в этих процессах необходим учет сжимаемости жидкости.

   Введем  функцию F, которая бы учитывала зависимость основных параметров жидкости и пористой среды от давления. Примем, что ее дифференциал:

;            (1.4.3)

тогда

.            (1.4.4)

   Функция F названа функцией Лейбензона. Т. к. функцией Лейбензона F и давление Р зависят от координат и времени, то равенство (1.4.3) можно записать в следующем развернутом виде, используя понятие полного дифференциала функции от многих переменных:

.    (1.4.5)

   Из  сравнения коэффициентов при  dx, dy, dz, dt получаем:

; ;

; .         (1.4.6)

   Запишем выражение для массовых скоростей фильтрации, умножив уравнение движение (1.3.8) на плотность флюида и используя формулу (1.4.6):

; ;

                          .                                (1.4.7)

   Подставив выражение (1.4.7) в уравнение неразрывности (1.4.1), получим:

;                      (1.4.8)

или

.                           (1.4.9)

   Дифференциальное  уравнение (1.4.8) или (1.4.9) справедливо  для неустановившегося движения однородного сжимаемого флюида в однородной пористой среде по закону Дарси.

   В дальнейшем примем, что проницаемость  пористой среды и динамический коэффициент  вязкости флюида постоянны: , , . Тогда можно ввести функцию Лейбензона:

,                            (1.4.10)

а дифференциальное уравнение (1.4.9) перепишется в виде:

.                        (1.4.11)

   Введенное дифференциальное уравнение (1.4.11) содержит плотность флюида ρ, а также коэффициент пористости m. Для дальнейших расчетов надо знать зависимость этих параметров от давления.

   При изотермическом процессе  зависимость  плотности флюида от давления представляет собой уравнение состояния.

   Считая  капельную жидкость упругой, можно  записать закон сжимаемости ее в  виде:

,

где V_ж – начальный объем жидкости;

    dV_ж – изменение объема при изменении давления на dP;

    β_ж – коэффициент объемного сжатия жидкости.

   В Формуле (1.4.11) перейдем от объемов к плотности. Подставляя, получим:

; и ,

будем иметь:

;

откуда:

.

   Проинтегрируем  последнее равенство от фиксированных  значений Р₀ и ρ₀ до текущих значений Р и ρ, соответственно:

,

отсюда:

,

или

 .                          (1.4.12)

   Показатель  степени  обычно много меньше единицы. Действительно, если , а , . В этом случае разложив функцию в ряд Тейлора, можно ограничится двумя первыми членами ряда:

.

   При этом получаем линейную зависимость плотности от давления:

.                          (1.4.13)

   Для больших перепадов давлений (Р – Р₀) надо использовать уравнение состояния (1.4.12).

   Иногда  вместо коэффициента сжатия вводят модуль упругости жидкости:

.

   Формулы (1.4.12) и (1.4.13), выраженные через модуль упругости  , примут вид:

;                        (1.4.14)

.                      (1.4.15)

   Выясним как зависит от давления коэффициент пористости. Вследствие малой деформации твердой фазы считают обычно, что изменение пористости зависит от изменения давления линейно. Закон сжимаемости породы записывают следующим образом, вводя коэффициент объемной упругости пласта β_с:

,                               (1.4.16)

где dV_n – изменение объема пор в элементе пласта, имеющем объем V, при изменение давления на dP.

   Закон сжимаемости (1.4.16) можно записать в виде:

,                              (1.4.17)

или в  конечной форме:

,                             (1.4.18)

где m₀ – коэффициент пористости при Р = Р₀.

   Используя уравнение состояния упругой  жидкости (1.4.13) и упругой пористой среды (1.4.18), найдем выражение правой части уравнения (1.4.10).

   Произведение  m·ρ можно получить, умножив (1.4.13) на (1.4.18):

.

   Последним слагаемым в правой части этого  равенства ввиду его малости  по сравнению с двумя другими  слагаемыми можно пренебречь. Тогда  получаем:

,                         (1.4.19)

где ;

    β^* – коэффициент упругоемкости пласта;

откуда после  дифференцирования по времени t находим:

.                                    (1.4.20)

   Найдем выражение левой части уравнения (1.4.10). Для этого предварительно найдем выражение функции Лейбензона для упругой (слабосжимаемой) жидкости, описываемой уравнением состояния (1.4.12):

.         (1.4.21)

   Если  , то можно взять уравнение состояния упругой жидкости в виде (1.4.13). Тогда из (1.4.21) получим следующее выражение для функции Лейбензона:

.                 (1.4.22)

   Дифференцируя дважды выражения (1.4.22) по координатам  и складывая, получим:

.                                 (1.4.23)

   Подставляя (1.4.20) и (1.4.23) в исходное дифференциальное уравнение (1.4.10), будем иметь:

,

или

,                        (1.4.24)

где введенное  обозначение:

,                                (14.25)

χ –  коэффициент пьезопроводности пласта, характеризующий скорость перераспределения  пластового давления при неустановившейся фильтрации упругой жидкости в упругой  пористой среде. Наиболее часто встречающиеся в нефтепромысловой практике значения коэффициента пьезопроводности заключены в пределах 0,1 до 5 .

   Уравнение (1.4.24) является основным дифференциальным уравнением упругого режима фильтрации (уравнение пьезопроводности).

   Для плоскорадиального движения оно  запишется в виде:

 ,                            (1.4.26)

или

.                           (1.4.27)

   Для того чтобы исследовать неустановившиеся процессы фильтрации упругой жидкости в упругом пласте, надо получить закон распределения давления в пласте . Для этого нужно проинтегрировать уравнение (1.4.27) при соответствующих начальных и граничных условиях.

     1.5 Начальные и граничные условия

   Продуктивный  пласт или выделенную из него часть  можно рассматривать как некоторую  область пространства, ограниченную поверхностями-границами. Границы могут  быть непроницаемыми для флюидов, например, кровля и подошва пласта, сбросы и поверхности выклинивания. Граничной поверхностью является также поверхность, по которой пласт сообщается с областью питания – это контур питания; стенка скважины является внутренней границей пласта.

   Начальное условие заключается в задании  искомой функции во всей области в некоторый момент времени, принимаемый за начальный.