Гидравлический расчет движения жидкости в скважине

    Для несжимаемой жидкости (ρ = const(p)) это  уравнение упрощается:  

                                                  (3.7)

3.2 ЗАКОН ДАРСИ

    Движение  однородной жидкости в пористой среде определяется силами давления и силами тяжести. Основное соотношение теории фильтрации - закон Дарси - устанавливает связь между величиной скорости фильтрации вдоль линии тока и силами, действующими в жидкости, и записывается:  

                                                           (3.8) 

    где u - скорость фильтрации вдоль линии  тока;

    k - коэффициент проницаемости, который  характеризует свойства породы;

    μ - динамический коэффициент вязкости;

    ∂s - расстояние между двумя бесконечно близкими точками линии тока;

    ∂p^* - перепад приведенных давлений в этих точках. 

    Приведенное давление зависит от давления в данной точке, плотности жидкости ρ, ускорения  силы тяжести g, расстояния z от плоскости  сравнения до данной точки и определяется:  

                                                         (3.9)

    При движении жидкости в горизонтальных пластах (z = const), второе слагаемое постоянно  и при подстановке в формулу (3.9) обращается в нуль. Поэтому в  горизонтальных пластах при движении однородной жидкости приведенное давление можно положить равным давлению в  данной точке.

    При больших скоростях движения жидкости, особенно часто это касается газа, происходит нарушение закона Дарси. В этом случае необходимо пользоваться нелинейными законами фильтрации.  

    3.3 РАСЧЕТ ДЕБИТА  СКВАЖИНЫ

    Если  скважина вскрывает пласт на всю  толщину пласта h и фильтрация происходит по всей боковой поверхности, то скважина называется совершенной. Поперечные сечения  представляют собой боковую поверхность  цилиндра радиусом r и высотой h. Поэтому  площадь поперечного сечения  равна:

                                                            (3.10) 

    При движении несжимаемой жидкости удобно пользоваться уравнением неразрывности  в виде:

                                                       (3.11) 

    Частицы жидкости к скважине движутся от контура  питания по радиусам. Поэтому радиусы  являются линиями тока и расстояние вдоль линии тока удобно отсчитывать  от радиуса контура питания R_к. Оно будет равно:

                                                   (3.12) 

    Тогда закон Дарси (3.8) запишется в виде:

                                                         (3.13)

    Используя соотношения (3.10) и (3.11), последнее уравнение легко интегрируется. Если заданы давления на контуре питания p_к и на скважине p_с, и известен радиус скважины r_с, то дебит (расход), скважины находится по формуле Дюпюи:

                                                        (3.14) 

    Практически давление на скважине совпадает с  забойным давлением, которое рассчитывается во второй главе (p_c = p_з).  
 

3.4 НЕСОВЕРШЕННЫЕ СКВАЖИНЫ

    Если  скважина вскрывает пласт не на всю  толщину, а на некоторую глубину b, то скважина называется несовершенной  по степени вскрытия. При этом b/h называется относительным вскрытием  пласта.

    Если  скважина сообщается с пластом не по всей боковой поверхности, а только через специальные отверстия, то такую скважину называют несовершенной  по характеру вскрытия. Дебит несовершенных  скважин определяется по формуле

                                         (3.15) 

где С₁, С₂ - безразмерные коэффициенты.

    Коэффициент С₁ учитывающий дополнительное фильтрационное сопротивление в призабойной зоне пласта из-за несовершенства скважины по степени вскрытия зависит только от относительного вскрытия пласта h и отношения толщины пласта к диаметру скважины h/D_c.

    Коэффициент С₂ учитывающий дополнительное фильтрационное сопротивление в призабойной зоне пласта из-за несовершенства скважины по характеру вскрытия зависит от диаметра перфорационного канала d_п, числа отверстий на один метр длины скважины n_п и длины перфорационного канала l_п. По следующим безразмерным параметрам определяются:

    l_п/D_с – график, по которому находится С₂ ,

    d_п/D_с – номер линии на этом графике;

    n_п D_с – значение С₂.

    В отличие от С₁, С₂ может принимать отрицательные значения, что приводит при прочих равных условиях к увеличению дебита скважины. Удобно ввести понятие о приведенном радиусе r’_с, т.е. радиус такой совершенной скважины, дебит которой равен дебиту данной несовершенной скважины:

                                                 (3.16) 

    Тогда формула (3.14) запишется в виде: 

                                                  (3.17) 

    3.5 НЕОДНОРОДНОСТЬ ПЛАСТА

    Часто встречаются пласты, значительные области  которых сильно отличаются друг от друга по фильтрационным характеристикам. Можно выделить два основных вида неоднородностей такого типа - это  слоисто - неоднородные и зонально-неоднородные пласты. Слоисто - неоднородный пласт  состоит из пропластков разной толщины h_i и проницаемости k_i. Часто пропластки разделены непроницаемыми границами. В других случаях между ними существуют перетоки. В случае непроницаемых границ между пропластками, каждый пропласток можно считать, как отдельный пласт, со своей проницаемостью, толщиной и дебитом Q_i. Поэтому дебит скважины в таком пропластке будет определяться по формуле Дюпюи:

                                                (3.18) 

    А дебит всей скважины будет равен  сумме дебитов всех пропластков:  

                                    (3.19) 

    Если  заменить слоисто-неоднородный пласт  однородным с проницаемостью k_ср таким образом, что дебиты слоисто-неоднородного и однородного пласте были равны, тогда среднюю проницаемость можно определить по формуле:

                                                          (3.20) 

    Зонально-неоднородный пласт состоит из кольцевых зон. В пределах каждой той зоны (i = 1,2...n) проницаемость постоянна и равна k_i. Наружный и внутренний радиусы зоны равны соответственно R_i, R_i-l. Причем, внутренний радиус первой зоны равен радиусу скважины R_о = r_с, давление жидкости на этой границе равно давлению на скважине P_о = P_с. Наружный радиус последней зоны равен радиусу контура питания R_n = R_k, а давление на нем P_n = P_k.

    При движении жидкости к скважине в зонально-неоднородном пласте, дебит в любом поперечном сечении потока жидкости в любой  из зон будет один и тот же и  равен дебиту скважины. В пределах каждой зоны будет справедлива формула  Дюпюи, в которую вместо радиуса  контура питания и радиуса  скважины стоят соответственно внешний  и внутренний радиус зоны, а перепад  давлений равен перепаду давлений на границах зоны. Обозначив давления на границах зон P_i, получим:  

                                               (3.21) 

    Исключим  из этой системы уравнений неизвестные  давления на границах зон. Для этого перенесем проницаемости в знаменатель и воспользуемся правилом пропорций a/b = c/d = … = (a + c + …)/(b + d + …), тогда получим формулу для дебита скважины в виде 

                                              (3.22) 

    Если  заменить зонально-неоднородный пласт  однородным с проницаемостью k_ср таким образом, что дебиты зонально-неоднородного и однородного пласте были равны, тогда среднюю проницаемость можно определить по формуле:

                                               (3.23) 

    а дебит скважины будет определяться по формуле Дюпюи: 

                                                (3.24)

    3.6 ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СКВАЖИН

    Интерференцией  называется влияние работающих скважин  друг на друга. Наиболее наглядно интерференция проявляется в том, что при одинаковых условиях работы скважин суммарный дебит всех скважин растет не прямо пропорционально количеству скважин, а более сложным образом. При этом с увеличением числа скважин пуск каждой новой скважины приводит к меньшему увеличению суммарного дебита.

    В подземной гидромеханике при  работе групп скважин и установившемся движении несжимаемой жидкости широко используется метод суперпозиции (наложения), который следует из уравнений  неразрывности и закона Дарси. Смысл  метода суперпозиции состоит в том, что изменения давления в данной точке пласта, вызванное работой  каждой скважины, суммируется. Поэтому  будут суммироваться и вектора  скоростей фильтрации. Распределение  давления вокруг одной скважины в  бесконечном пласте определяется в  какой-либо точке А по формуле:  

                         (3.25) 

    где r_1a - расстояние от скважины до точки А;

    p_а - давление в точке А.

    Тогда при работе n скважин, давление в  точке А будет равно:  

                          (3.26) 

    Сумму постоянных обозначим c. Будем считать, что контур питания удаленный, т.е. расстояния между скважинами гораздо  меньше расстояния до контура питания. Поместим точку А на контур питания, тогда можно считать, что r_1a = r_2a = R_k и p_a = p_к. Из этого условия получаем: 

                                           (3.27) 

    Исключая  постоянную c получим следующее уравнение  для давления в произвольной точке пласта:

                                      (3.28) 

    Для того чтобы найти дебиты скважин  при известных забойных давлениях, помещаем точку А на забой первой скважины, тогда r_1a = r_c1 - радиус первой скважины, r_2a = r₂₁ - расстояние между второй и первой скважинами и т.д., а p_a = p_c1 - забойное давление на первой скважине. Аналогично поступаем и для других скважин. Для j-той скважины получим следующее уравнение:

                                     (3.29) 

    В общем случае это уравнение является системой n уравнений. Первое уравнение получается, если подставить j = 1, второе j = 2 и так далее до значения j = n. Неизвестными могут являться, как дебиты, так и давления на скважинах. Наиболее интересны следующие частные случаи. 

    Непроницаемая граница. Пусть скважина расположена на расстоянии а от непроницаемой границы. Используя принцип суперпозиции (наложения) скоростей можно показать, что эта задача эквивалентна задаче о притоке к двум скважинам (рисунок 3.1). Отсюда выводится принцип отражения: для того чтобы избавиться от прямолинейной непроницаемой границы необходимо область фильтрации зеркально отразить относительно этой границы. После этого непроницаемую границу можно убрать.