Физическое описание явления фильтрации жидкости

 Задача. На границе х=0 полубесконечного пласта с непроницаемым горизонтальным водоупором задается поток (расход) жидкости как степенная функция времени

 

(90)

 

Начальный напор во всем пласте равен нулю.

Решение задачи представляется в виде:

(91)

 

где м (l) =-df²(0, l)/dx , а координата переднего фронта жидкости х₀ (t) - в виде:

 

 

2. Осесимметричные автомодельные движения. При осесимметричных пологих безнапорных движениях жидкости напор жидкости h удовлетворяет уравнению

(93)

 

где r - расстояние рассматриваемой  точки пласта от оси симметрии.

 Рассмотрим следующую задачу. Пусть в бесконечный пласт, ограниченный снизу непроницаемой горизонтальной поверхностью - водоупором, через скважину, радиус которой пренебрежимо мал, начинается закачка жидкости. Предположим, что начальный напор жидкости в пласте равен нулю, так что начальное условие на бесконечности имеют вид:

 

h(r, t₀) = 0;   h(¥, t) = 0. (94)

 

Предположим далее, что  расход закачиваемой жидкости изменяется со временем по степенному закону. Выражение для полного расхода жидкости, закачиваемой через скважину радиусом R, имеет вид:

(95)

 

По предположению, радиус скважины пренебрежимо мал (ниже мы остановимся  на причинах, по которым это допущение можно делать для большинства реальных движений), поэтому можно принять R = 0; так как расход жидкости, закачиваемой в скважину, меняется по степенному закону, граничное, условие на скважине принимает вид:

(96)

 

где t > 0 и b > -1. В частности, случай b = 0 соответствует закачке жидкости в пласт с постоянным расходом. Таким образом, решение задачи удовлетворяет уравнению  (93) и условиям  (94) и  (96). По-прежнему, используя p- теорему анализа размерности, можно показать, что это решение является автомодельным и представляется в виде:

 

(97)

Здесь

 

(98)

 

представляют собой  две независимые безразмерные комбинации определяющих параметров решения; других независимых комбинаций этих параметров не существует. Постоянный множитель снова введен в формулу для x с целью удобства последующего изложения. Как и прежде, искомая функция должна быть непрерывной и иметь непрерывную производную от квадрата. Подставляя выражение (77) в уравнение (93) и условия (94) и (96), находим, что функция f₁ (x, l) удовлетворяет уравнению

(99)

при условиях

(100)

 

Исследование этой граничной  задачи проводится аналогично предыдущему; также единственным образом строится функция f₁ (x, l), отличающаяся от нуля лишь при 0 £  x £ x₁(l), где x₁ (l) - некоторая функция x, а при x ³ x₁ (l) тождественно равная нулю. Функция f₁ (x, l) при x®0 имеет особенность, как нетрудно видеть из первого условия (100):

(101)

 

Второе условие (100) может  быть приведено к другой форме: умножая  уравнение (99) на x и интегрируя в пределах от x = 0 до x = ¥, получаем, используя оба условия (100) и условия

(102)

 

следующее интегральное соотношение:

(103)

 

Первое условие (102) непосредственно  следует из условия, которому функция f₁ (x, l) на бесконечности, так как если бы предел == при x ® ¥ не был равен нулю, то функция f₁ (x, l) не стремилась бы к нулю при x ® ¥. Второе условие (102) непосредственно следует из (101).

Эффективное вычисление функции f₁ (x, l) удобно проводить следующим образом. Строим решение задачи Коши Ф₁(x, l) для уравнения (99). обращающееся в нуль при x = 1 и имеющее в этой точке конечную первую производную. Исследование, в точности аналогичное приведенному в п. 3 x1, показывает, что эта производная равна -1/4. Строить решение задачи Коши удобно так: вблизи x = 1 можно представить решение в виде ряда, при помощи которого находится надлежащее число начальных значений, после чего применяется метод численного интегрирования Адамса - Штермера. Далее численно вычисляется величина

 

 

Величина N(l) не равна единице, поэтому функция, равная Ф₁ (x, l) при x<1 и тождественно равная нулю при x ³ 1, удовлетворяет всем условиям граничной задачи (99) - (100), кроме первого условия (100). Воспользуемся теперь тем, что, как нетрудно показать, уравнение (99) и второе граничное условие (100) инвариантны относительно группы преобразований:

(104)

 

поэтому при произвольном положительном m функция Ф₂(x, l) удовлетворяет уравнению (99) и второму граничному условию (100). Но

 

(105)

Выбрав  так, что    

получим, что функция

(106)

 

 

удовлетворяет всем условиям граничной задачи (99) - (100).