Физическое описание явления фильтрации жидкости

то существует распределение давления p(x, y, z, t), и при том единственное, удовлетворяющее уравнению (29), непрерывное в замкнутой области D, включая границу, и удовлетворяющее условия (31) и (32).

Сформулированная задача охватывает почти все основные задачи теории упругого режима фильтрации.

Рассмотрим подробнее  физический смысл тех или иных дополнительных условий.

Область, в которой  ищется распределение давления жидкости, обычно представляет собой пористый пласт, частично имеющий непроницаемые границы, а частично сообщающиеся с другими пластами и вскрывающими его скважинами. На непроницаемых границах должно удовлетворятся очевидное условие отсутствия потока - равенство нормальной компоненты скорости фильтрации нулю:

u_n=0,

откуда, используя закон  Дарси, получаем (33)

 

На участках границы  с областями, в которых перераспределения давления практически не происходит (“области питания”), давление можно считать постоянным и известным, так что

 

р|_Г = f(x, y , z). (34)

 

Такое условие справедливо, если, например, рассматриваемый пласт  граничит с высокопроницаемой областью,

запас жидкости в которой  весьма велик. Давление на границе такой  области близко к среднему давлению в ней и ввиду ее большого объема мало зависит от процессов, происходящих в исследуемой области. Характерным примером является нефтяная залежь, окруженная со все сторон обширной водоносной областью.

При рассмотрении нестационарных процессов в залежи давление в  водоносной области можно считать  постоянным. Следует, однако, отчетливо представлять себе, что понятие области постоянного давления не является абсолютным. Чем более длительный характер носят изменения давления, тем на большую область они распространяются.

Часть границы области  фильтрации обычно образована стенками скважины или дренажных галерей. На этой части границы чаще всего  задается либо давление жидкости, либо поток ее через стенки скважины. Выбор того или иного условия зависит от режима работы скважины или галереи. Могут быть и более сложные условия, когда задается связь с расходом жидкости. Задание потока жидкости согласно закону Дарси эквивалентно заданию нормальной производной от давления.

 Условия этого типа выполняются  на тех участках границы, через которые  может происходить обмен жидкости с соседними пластами через сравнительно слабопроницаемые перемычки. Если толщина перемычки D мала, а давление р¢ за ней можно считать постоянным, то расход вытекающей жидкости через участок перемычки площадью ds составит   . Это количество жидкости должно быть равно

 

 

где u_n - нормальная проекция скорости фильтрации на рассматриваемом участке границы. Отсюда имеем

(35)

 

т.е. условия третьего рода.

Все три типа условий являются частными случаями общего условия (31). Таким образом, задавая начальное распределение давления  указанные условия на границе, получаем однозначно разрешимую задачу.

 

2.3. Уравнения  безнапорной фильтрации 

несжимаемой жидкости    

 

Под безнапорным фильтрационным движением  понимают движение со свободной поверхностью, на которой давление жидкости постоянно и равно внешнему атмосферному давлению. Наиболее часто приходится встречаться с безнапорным движением подземных вод; безнапорное движение нефти встречается сравнительно редко, только при шахтной добыче.

Рассмотрим безнапорное  движение в однородной и изотропной пористой среде, область течения  будем предполагать ограниченной снизу непроницаемой и криволинейной поверхностью - водоупором.

Закон Дарси в рассматриваемом  случае можно записать в виде:

(36)

 

Величина С, имеющая  размерность скорости, называется коэффициентом фильтрации, =- напором, а функция Сh- фильтрационным потенциалом. Заметим, что для безнапорного движения изменения давления обычно настолько малы, что пористую среду можно считать недеформируемой, а жидкость несжимаемой, так что С =const, rg = const.

В точной постановке исследование безнапорного фильтрационного движения представляет исключительные трудности математического характера; относящиеся сюда постановки задач и результаты можно найти в книге П. Я. Полубариновой-Кочиной [94]. Поэтому приходится обращаться к некоторым упрощенным постановкам.

Большое значение имеет приближенная постановка задачи о безнапорной фильтрации, соответствующая случаю движения, которое будем называть пологим. Под пологим фильтрационным движением понимается движение, происходящее в пластах с конечной глубиной водоупора, в котором вертикальная компонента скорости фильтрации u_z мала сравнительно с горизонтальной компонентой. Так как характерной скоростью в безнапорном фильтрационном движении является скорость С, то горизонтальная компонента скорости фильтрации может быть либо порядка С, либо малой сравнительно с С. В обоих случаях ясно, что вертикальная компонента u_z мала сравнительно с С, т. е.

 

(37)

Это неравенство можно  переписать еще так:

(38)

Но  представляет собой ту часть вертикальной компоненты градиента давления, которая обусловлена фильтрацией жидкости. Неравенство (38) показывает таким образом, что вертикальная компонента фильтрационного градиента давления мала сравнительно с гидростатическим градиентом давления. Поэтому распределение давления по вертикали можно в случае пологих движений считать гидростатическим.

 Выведем важное для дальнейших рассуждений соотношение. Рассмотрим объем V, ограниченный свободной поверхностью жидкости и некоторой цилиндрической поверхностью с вертикальными образующими. Обозначим через h расстояние от свободной поверхности жидкости до водоупора, а через H- расстояние от свободной поверхности до горизонтальной плоскости z = 0; очевидно, dh/dt = dH/dt. Объем жидкости, заключенной в объеме V, равен

(39)

 

где площадка S представляет собой проекцию объема на горизонтальную плоскость. Изменение количества жидкости в объеме V за бесконечно малый промежуток времени dt равно поэтому

(40)

 

Вместе с тем это  изменение равно притоку жидкости в объем V извне за время dt, равному

(41)

 

где g - замкнутый контур, ограничивающий площадку S, а u_n - нормальная компонента вектора потока , определяемого соотношением

(42)

 

Приравнивая (40) и (41) и  используя формулу преобразования контурного интеграла в интеграл по площади

 

 

получаем

(43)

 

откуда, пользуясь произвольностью площадки S, находим уравнение

(44)

 

Согласно закону Дарси, скорость фильтрации определяется соотношением (36)

Поскольку, по предыдущему, давление распределяется по вертикали с точностью до малых величин по гидростатическому закону, величина = вдоль каждой вертикали будет постоянна и равна Н:

 (x, y, z, t) = H (x, y, z, t) + O (u_z/C);     =C grad H + O(u_z).

 

 Таким образом, скорость можно, пренебрегая малыми величинами, вынести из-под знака интегрирования по вертикали в соотношении (42), определяющем вектор  Тогда получаем

 

= – Сh grad H. (45)

 

Представляя (45) в (44), имеем

(46)

 

В это уравнение следует  подставить соотношение

 

H(x, y, t) = h(x, y, t) + h₀ (x,y),

 

определяющее вертикальную координату свободной поверхности Н через ее расстояние h до водоупора и расстояние h₀ от водоупора до плоскости отсчета z = 0; получим окончательное уравнение для определения h. В частности, если поверхность водоупора представляет собой горизонтальную плоскость, то ее можно принять за плоскость отсчета и, следовательно, h₀ (x,y) можно считать равным нулю. Тогда Н= h, и уравнение (46) принимает вид:

(47)

 

Уравнения (46) и (47) были даны Буссинеском.

 

2.4. Основные  уравнения фильтрации газа

 

При исследовании фильтрации газа основное значение имеет тот  факт, что сжимаемость газа обычно на несколько порядков превышает  сжимаемость пористой среды. С учетом этого обстоятельства в уравнении неразрывности

(48)

 

изменением пористости m во времени можно пренебречь, так что получим

(49)

 

Для того чтобы получить замкнутую систему уравнений, снова  нужно использовать связь плотности  газа r с его давлением р и температурой Т:

 

r = r(р,Т), (50)       

 

поэтому в задаче появляется новая переменная Т, и для замыкания  системы уравнений нужно добавить еще одно уравнение - уравнение энергии. Однако, если в среде отсутствуют источники выделения или поглощения энергии, то изменения температуры в процессе движения газа крайне малы, и при расчете поля давления газа ими можно пренебречь. Это обстоятельство легко понять, если учесть, во-первых, крайнюю малость скорости фильтрации и, во-вторых, наличие теплового балласта - скелета пористой среды, эффективно подавляющего изменения температуры. Будем поэтому считать, что

 

r = r(р,Т₀)= r(р), (51)

 

где Т₀ - постоянная температура.

Присоединяя к уравнениям (49) и (51) уравнение закона фильтрации (предполагаемого линейным)

(52)

 

получаем замкнутую  систему уравнений. Исключая скорость фильтрации, имеем

(53)

 

В уравнении (53) r - известная функция давления. Аналогично и вязкость газа, зависящая в общем случае от давления и температуры, может быть представлена в виде:

 

m = m(р,Т₀) =m(р). (54)

 

Таким образом, и вязкость может считаться известной функцией одного лишь давления.

Введем теперь функции

(55)

 

Уравнение (53) принимает  при этом вид:

(56)

 

Можно показать, что уравнение  для давления сохранит форму (56) и  в случае, если учитывается деформируемость пористой среды, т. е. зависимость от давления пористости и проницаемости (среда по-прежнему считается однородной).

В простейшем случае, когда  газ можно считать термодинамически идеальным, с вязкостью, не зависящей  от давления,

m = const, (57)

 

(р₀ и r₀ - постоянные). При этом

(58)

 

и уравнение (56) преобразуется  к виду:

(59)

или

 (60)

 

Уравнения (59) и (60) выведены в предположении постоянства  температуры газа Т₀. Поэтому их обычно называют уравнениями изотермической фильтрации газа.

Уравнение (60) - основное для теории фильтрации газа - получено впервые Л. С. Лейбензоном, а затем, несколько позднее, в работе Маскета и Ботсета. Преобразования (55) также берет свое начало от работ Л. С. Лейбензона. Далее уравнение (60) совпадает с уравнением Буссинеска (47) для напора при пологих безнапорных фильтрационных движениях. Эта аналогия, впервые обнаруженная Л. С. Лейбензоном, позволяет рассматривать исследование изотермической фильтрации газа и пологих безнапорных движений несжимаемой жидкости как одну задачу.

3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНВАРИАНТНЫЕ ЗАДАЧИ

НЕСТАЦИОНАРНОЙ  ФИЛЬТРАЦИИ

ЖИДКОСТЕЙ И  ГАЗОВ

 

3.1. Общая характеристика  инвариантных задач

теории нестационарной фильтрации.

Автомодельные пологие безнапорные движения

при нулевом начальном уровне жидкости

 

3.3.1. Общая характеристика  инвариантных задач теории нестационарной фильтрации. В разделе 2 было показано, что основные задачи гидродинамической теории нестационарной фильтрации приводят к краевым, смешанным или начальным задачам для нелинейных, как правило, дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. Нелинейность вообще характерна для многих актуальных задач современной гидродинамики: газодинамики, теории волн, теории движений вязкой жидкости и т. д. В настоящее время существует сколько-нибудь общих эффективных аналитических методов решения достаточно широких классов нелинейных задач математической физики; это в полной мере относится и к теории фильтрации. Поэтому в теории фильтрации уже давно привлекли внимание своеобразные частные решения, которые выражаются через функции одной переменной. Вначале эти решения обратили на себя внимание только потому, что их получение сводилось к решению обыкновенных уравнений и представлялось (особенно в домашинную эру) более простым, чем решение уравнений в частных производных в общем случае. При построении различных приближенных методов решения, более общих, эти решения часто использовались как эталоны, позволяющие оценить точность метода. (Приближенные методы аналитического решения сохраняют, особенно в теории фильтрации, свое значение и сейчас, при широком внедрении машин, поскольку эти методы дают аналитические формулы, позволяющие наглядно проследить влияние различных параметров, а высокая точность в теории фильтрации не представляет особого интереса. В ряде случаев задачи, описываемые такими решениями, представляют и самостоятельный интерес.