Движение жидкостей и газов в трещиноватых и трещиновато-пористых средах

Считая давления на забое скважины и на границе пласта  постоянными (р(rc)=рc; р(Rк)=рк ), после интегрирования (6.10) находим:

,                (6.11)

                        (6.12)

Рис. 6.3. Индикаторные линии  при плоскорадиальном течении вязкоплоастичной жидкости: а - однослойный пласт; b - трёхслойный пласт

Формулы (6.11), (6.12) представляют, соответственно, распределение давления в пласте и дебит скважины. Из формулы (6.11) видно, что часть разности давлений в виде линейного слагаемого с  угловым коэффициентом g теряется на преодоление  предельного градиента  сдвига. При Q®0, как следует из (6.11), давление не постоянно (как в случае фильтрации по закону Дарси), а изменяется по линейному закону. При тех же условиях  наличие предельного градиента давления в пласте ведет к уменьшению дебита скважины по сравнению с фильтрацией по закону Дарси (формула Дюпюи), а индикаторная линия скважины Q(Dрс) - прямолинейная, но не проходит через начало координат, а отсекает на оси депрессий отрезок, равный gRк (рис. 6.3а).

В случае  слоистого пласта  с гидродинамически изолированными пропластками, т. е.  при отсутствии перетоков между слоями с разными проницаемостями, для дебита в каждом пропластке справедлива формула (6.12), но своими значениями толщин, проницаемости  и начального градиента. Индикаторная линия в этом случае представляется ломаной (рис. 6.3b).

Неустановившаяся фильтрация вязкопластичной  жидкости. Дифференциальные уравнения  для определения давления при  упругом режиме  работы пласта можно получить, дополняя закон фильтрации с предельным градиентом (6.5) уравнениями неразрывности и  состояния флюида. Описанным в разделе 5 подходе  получим следующее уравнение пьезопроводности:

 ,                          (6.13)

где k — коэффициент пьезопроводности.

Уравнение (6.13) служит основой для  построения нелинейной теории упругого режима вязкоупругой жидкости. Вместе с тем следует иметь в виду, что при решении нестационарных задач на основе модели фильтрации с предельным градиентом в пласте образуется переменная область фильтрации, на границе которой (пока она не достигнет  границы пласта) модуль градиента  давления должен равняться предельному  градиенту g, а давление - начальному пластовому.

Если рассмотреть задачу о пуске  скважины с постоянным дебитом при  фильтрации вязкопластичной жидкости с предельным градиентом, то получим  из решения уравнения (6.13) следующую  зависимость забойного давления от времени:

.                  (6.14)

В данной формуле логарифмический  член  играет основную роль при малом времени, когда преобладают упругие силы. При больших значениях времени закон движения границы возмущенной области подчиняется степенному закону. Таким образом, при некоторых значениях параметров оказывается, что основное значение имеет степенной член, так что закон падения давления на забое скважины изменяется с логарифмического на степенной. Следовательно, при больших временах вид кривых изменения забойного давления рс(t) при фильтрации с предельным градиентом существенно изменяется по сравнению с фильтрацией упругой жидкости, что позволяет обнаружить в пластовых условиях проявление предельного градиента давления.

2Рассмотрим функция (F) котораяесть функция пяти параметров F=F (f₀, r_c, h, x, t*), каждый из которых — безразмерная величина, соответственно равная

         (1)

где r — радиус наблюдения;

x — коэффициент пьезопроводности;

Т — полное время наблюдения;

h — мощность пласта;

b — мощность вскрытого пласта;

z — координата;

t — текущее время.

Названная функция может быть использована для определения понижения (повышения) давления на забое скважины после ее пуска (остановки), а также для анализа распределения потенциала (давления) в пласте во время работы скважины.

Уравнение, описывающее изменение давления на забое, т. е. приx=h; r=r_c или r=r_c, имеет вид

(2)

где безразмерное значение депрессии связано  с размерным следующим соотношением

где   (3)

здесь Q — дебит;

m — коэффициент вязкости;

k — коэффициент проницаемости.

Аналитическое выражение F для определения изменения давления на забое скважины запишем в виде

 (4)

 

Уравнение (2) в приведенном виде не может  использоваться для решения инженерных задач по следующим причинам: во-первых, функция (4) сложна и требует табулирования; во-вторых, вид функции исключает возможность выделить время в качестве слагаемого и свести решение уравнения (2) к уравнению прямой для интерпретации кривых восстановления (понижения) давления в скважинах традиционными методами. Чтобы избежать этого, можно поступить следующим образом.

В нефтепромысловом деле при гидродинамических исследованиях скважин широко используется интегрально-показательная функция. Несовершенство по степени вскрытия пласта в этом случае учитывается введением дополнительных фильтрационных сопротивлений (C₁), взятых из решения задач для установившегося притока. В соответствии с этим уравнение притока записывается в виде

(5)

Как видно, дополнительные фильтрационные сопротивления являются функцией геометрии пласта. Насколько верно допущение о возможности использования значений C₁(r_с, h), пока еще ни теоретически, ни экспериментально не доказано.

Для неустановившегося притока уравнение (2) запишем аналогично в виде двух слагаемых, где в отличие от выражения (5) значения фильтрационных сопротивлений являются функцией трех параметров (r_с, h, f₀)

 (6)

Как _ видим, дополнительное слагаемое R(r_c , h, f₀) в уравнении (6) зависит не только от геометрии пласта, но и от параметра Фурье (f₀). В дальнейшем будем называть это слагаемое функцией фильтрационного сопротивления. Заметим, что при h=l (скважина совершенная по степени вскрытия) уравнение (2) представляет собой интегрально-показательную функцию

 (7)

С учетом равенства (7) решение (6) запишем в виде

(8)

Разрешая  уравнение (8) относительно функции  сопротивления и учитывая уравнение (2), находим

 (9)

и на основании равенства (7) приведем выражение (9) к виду

 (10)

Численное значение R(r_с,h,fo) рассчитано по уравнению (10) на ЭВМ в широком диапазоне изменения параметров r_c, h, f₀. Интеграл (2) вычислялся методом Гаусса, оценка его сходимости выполнена согласно работе [3]. С учетом равенства (7) вычисления дополнительно проконтролированы по значениям интегрально-показательной функции.

С целью выяснения поведения депрессии  и функции сопротивления проанализируем их зависимость от значений безразмерных параметров.

1. Определим поведение Dр в зависимости от значений параметров r_с, h, f₀.

Результаты  расчетов значений депрессии для каждого фиксированного r_c сведены в таблицы, каждая из которых представляет собой матрицу размером 10х15. Элементы матрицы это значения депрессии Dp(r_c) для фиксированных h и f₀. Матрица построена таким образом, что каждый ее столбец есть численное значение депрессии в зависимости от h, .а каждая строка соответствует численному значению депрессии в зависимости от fo (табл. 1). Таким образом, осуществлен переход от значений безразмерной депрессии Dp(r_c, h, f₀) к относительной депрессии

Dр*_i,j (r_c).

Для удобства построения и иллюстрации графических зависимостей выполнена нормировка матрицы. С этой целью каждый элемент i-й строки матрицы поделен на максимальное значение депрессии в данной строке, что соответствует значению j==15. Тогда элементы новой матрицы определятся выражением

(11)

Условимся элементы матрицы называть значениями относительной депрессии. На рис. 1 приведен график изменения относительной депрессии при фиксированных значениях h. Характер поведения относительной депрессии позволяет описать графики уравнением пучка прямых

 (12)

 

 

Рис. 1. Поведение относительной депрессии (r_c=0,0200, h_i=const, f₀) при значениях h, равных: 1— 0,1; 2 — 0,3; 3—0,5;4 — 0.7; 5 —0,9; 6—1,0.

 

 

 

 

 

где k_i — угловой коэффициент прямой, который определяется h и от индекса j не зависит.

Анализ  зависимости поведения депрессии Dp^*_i,j от f₀ для всех r_c >0,01 показывает, что графики этой зависимости можно описать уравнением пучка прямых для любого значения h. Для r_c< 0,01 в графиках зависимости появляются начальные нелинейные участки, переходящие при дальнейшем уменьшении параметра f₀ (или же при увеличении его обратной величины 1/f_oj) в прямые для всех значений h<l,0

(рис. 2). При h=l,0 поведение депрессии строго линейно. Кроме того, протяженность нелинейного участка для разных r_c при h=const различна. И чем меньше значение безразмерного радиуса r_c , тем больше протяженность нелинейного участка (рис. 2).

2. Определим поведение R(r_c, h, f₀) и ее зависимость от безразмерных параметров r_c, h, f₀.

Значения R(r_c, h, f₀) рассчитаны для тех же величин параметров r_c, h, f₀. которые указаны в пункте 1, обработка результатов также аналогична. Переход от безразмерной функции сопротивления R(r_c, h, f₀) к относительной R^*_i,j (r_c) осуществлен согласно выражению

. (13)

Анализ  поведения R^*_i,j (r_c) и результаты обработки расчетного материала, где установлена ее зависимость от параметров r_c, h, f₀, частично приведены на рис, 2 (кривые даны пунктиром).

При г_c >0,01 для любого h_i R^*_i,j (r_c) уже не зависит от f_0i .

Из  анализа данных расчета и графиков рис. 2 следует: при r_c<0,01 в поведении R^*_i,j (r_c) для всех h<l,0наблюдается нелинейный участок, переходящий с некоторого значения f₀ (точка С на графике) в прямую линию, параллельную оси абсцисс. Важно отметить,

что для одного и того же значения r_c абсцисса точки перехода нелинейного участка в линейный для R^*_i,j(r_c) имеет то же самое значение, что и абсцисса точек перехода для графиков зависимостиDp^*_i,j (r_c) отln(l/f_0i ) (линия CD). Начиная с этого момента, R^*_i,j (r_c) для данного r_c при дальнейшем наблюдении зависит не от времени, а только от h_i • И чем выше степень вскрытия, т. е. чем совершеннее скважина,. тем меньше будет значение R^*_i,j (r_c) И при h=l (скважина совершенная по степени вскрытия) функция сопротивления равна нулю. Очевидно, нелинейностьDp^*_i,j (r_c) связана с характером поведения функции сопротивления, которая, в свою очередь, зависит от параметра Фурье. Отметим также, что в точке С (рис. 2) численное значение функции сопротивления становится равным значению фильтрационных сопротивлений (C₁(r_c, h)) для притока установившегося режима.

 

Рис. 2. Поведение относительной депрессии и относительной функции фильтрационного сопротивления (r_c=0,0014, h=const, f₀) при h, равных: 1,1'—0,1; 2,2'— 0,3; 3,3'—0,5; 4,4'—0,7; 5,5'— 0,9;6,6'— 1,0. 

Заключение

 

1. Депрессия на забое несовершенной  по степени вскрытия скважины  для всех r_c < 0,01 имеет два явно выраженных закона изменения: а) нелинейный, который обусловлен зависимостью функции сопротивления от времени и соответствует неустановившемуся притоку сжимаемой жидкости (газа); б) линейный, который соответствует квазиустановившемуся притоку и не связан с функцией сопротивления.

2. Величина R(r_c, h, f₀) для неустановившегося притока качественно описывает С₁(r_c, h) для установившегося, и ее численное значение при любом вскрытии пласта всегда меньше численного значенияС₁(r_c, h) при установившемся притоке.

3. Полученное аналитическое решение для неустановившегося притока сжимаемой жидкости (газа) к несовершенной скважине в бесконечном по протяженности пласте преобразовано в прямолинейную анаморфозу, которая позволяет эффективно интерпретировать кривые восстановления забойного давления.

4. Выбор fo, дающего значения Dp^*_i,j(r_c)=1, не влияет на протяженность нелинейного участка, соответствующего неустановившемуся движению, на графики зависимостиDp^*_i,j(r_c) от ln(1/f_0i).

 

 

Список используемой литературы

1. Телков В. А. Приток к точечному стоку в пространстве и к линии стоков в полу бесконечном пласте. НТС. Вып. 30, Уфа, 1975.
2. Леонов В. И„ Телков В. А., Каптелинин Н. Д. Сведение задачи неустановившегося притока сжимаемой жидкости (газа) к несовершенной скважине к решению уравнения пьезопроводности. Тезисы докладов на XIII научно-техническом семинаре по гидродинамическим методам исследований и контролю процессов разработки нефтяных месторождений. Полтава, 1976.
3. Бахвалов Н. С. Численные методы. Изд-во “Наука”, М., 1974. Таблица 1
4. Горбиков Б.П., Гарушев А. Р., Новоселов Б А. и др. Состояние опытно-промышленных работ по паротепловому воздействию на пласт и пути повышения их эффективности. - В кн.: Методы интенсификации нефтедобычи в Краснодарском крае. М., Всесоюз. науч.-исслед. ин-т организации, управления и экономики нефтегазовой промышленности, 1972, с. 94-102.

 

5.  Рыжик В.М. Гидродинамическое исследование механизма нефте- и газоотдачи пластов. Автореф. дис. на соискание учен. степени д-ра техн. наук. М., 1973 (ИГиРГИ).

 

 

Приложения

 

Таблица 1

 

hi	F0i
	1*10-3	8*10-4	6*10-4	4*10-4	2*10-4	1*10-4	8*10-5	6*10-5	8*10-4	8*10-4	8*10-4	8*10-4	8*10-4	8*10-4	8*10-4
0,1	0,887	0,898	0,912	0,933	0,967	1,002	1,013	1,027	1,048	1,082	1,117	1,232	1,347	1,462	1,577
0,2	1.455	1,477	1,506	1,547	1,616	1,685	1,707	1,736	1,777	1,846	1,915	2,146	2,376	2,606	2,836
0,3	1,837	1,870	1,914	1,974	2,078	2,182	2,216	2,259	2,320	2,424	2,528	2,873	3,218	3,563	3,909
0,4	2,122	2,167	2,224	2,305	2,444	2,583	2,627	2,685	2,766	2,904	3,043	3,504	3,964	4,424	4,885
0,5	2,352	2,407	2,479	2,581	2,754	2,927	2,983	3,055	3,156	3,329	3,503	4,078	4,654	5,229	5,805
0,6	2,546	2,613	2,699	2,821	3,028	3,236	3,303	3,390	3,511	3,719	3,927	4,618	5,309	5,999	6,690
0,7	2,717	2,795	2,896	3,038	3,280	3,523	3,601	3,702	3,844	4,087	4,329	5,135	5,941	6,746	7,552
0,8	2,874	2,963	3,078	3,240	3,518	3,795	3,884	3,999	4,161	4,439	4,716	5,637	6,558	7,478	8,400
0,9	3,022	3,122	3,252	3,434	3,746	4,058	4,158	4,288	4,480	4,782	5,094	6,130	7,166	8,202	9,238
1,0	3,166	3,277	3,421	3,624	3,970	4,317	4,428	4,572	4,775	5,121	5,648	6,619	7,770	8,921	10.073