ОСновы финансовой математики

ТЕМА 2. ОСНОВИ ФІНАНСОВОЇ МАТЕМАТИКИ 
 

     1. Тимчасова вартість грошей. Нарощення і дисконтування у фінансових розрахунках. 

   Здійснення  господарської діяльності супроводжується  використанням грошових ресурсів. Відповідно до концепції вартості грошей у часі один і той же обсяг грошових коштів з часом змінює свою вартість. 

Причини зміни вартості грошей:

1. Знецінення  готівки з часом (під впливом  інфляції);

2. Обіг  капіталу (грошових коштів), тобто  їх вкладення в проекти з  різною прибутковістю;

3. Ризик  неодержання очікуваної суми. 

    Об'єктивність тимчасової вартості грошових ресурсів обумовлює необхідність врахування її при здійсненні господарської діяльності та окремих фінансових операцій.  

    Тимчасова вартість — об'єктивно існуюча характеристика грошових ресурсів, яка враховується при:

    • визначенні реального обсягу грошових активів;

    • дослідженні наслідків змін умов господарської операції;

    •  виборі інвестиційного проекту;

    • оцінці ефективності фінансових угод;

    • розрахунках основних показників господарської діяльності тощо.

    Оцінка  операції, що базується на концепції  вартості грошей у часі, передбачає знання логіки побудови процесу нарощення  та дисконтування.

    Процес  нарощення — процес, у якому задані вихідна сума й ставка (відсоток або облікова ставка).

    Економічний зміст нарощення — визначення суми, якою буде (або :ає володіти інвестор по закінченні цієї операції.

    Процес  дисконтування — процес, у якому задані сума, яку очікується одержати в майбутньому (яка повертається) і ставка.

    Економічний  зміст  дисконтування — тимчасове  впорядкування і і грошових потоків різних часових періодів.

    Оцінка  операцій у часі передбачає знання сутності майбутньої та теперішньої  вартості грошових коштів.

    Майбутня  вартість грошових коштів — сума, на яку поточні грошові кошти перетворяться через визначений проміжок часу за обумовленої ставки відсотка.

    Теперішня вартість грошових коштів — сума майбутніх грошових коштів, що визначена з урахуванням відповідної ставки відсотка на поточний момент. 

             СЬОГОДЕННЯ                                    МАЙБУТНЄ 

Вихідна сума нарощення Сума, що повертається

Ставка 

Наведена  сума                  дисконтування                         Сума, що очікується до надходження                                                                                       

 Ставка 

Рисунок 2.1. Логіка фінансових операцій 

     Існує дві основні схеми нарощення:

а) нарощення  за схемою простого відсотка;  

б) нарощення  за схемою складного відсотка. 

Таблиця 2.1

НАРАХУВАННЯ ЗА СХЕМОЮ ПРОСТИХ ТА СКЛАДНИХ ВІДСОТКІВ

          

 

При щорічному  нарахуванні відсотків для кредитора:

— вигіднішою є схема простих відсотків  — якщо строк позички менше 1 року і відсотки нараховуються одноразово наприкінці періоду;  

—   вигіднішою є схема складних відсотків — якщо строк позички перевищує 1 рік і відсотки нараховуються щорічно;

— схеми  простих і складних відсотків дають однакові результати при тривалості періоду 1 рік і одноразового нарахування відсотків. 

На практиці багато фінансових операцій виконуються  в рамках одного року, при цьому  в розрахунках використовують проміжну процентну ставку: 

F=P× (1 +   t    × r),

           T

де  r — річна процентна ставка в частках одиниці;

    t — тривалість фінансової операції £ днях;

   Т— кількість днів у році. 

    У практиці фінансових обчислень мають  місце внутрішньорічні відсоткові нарахування, при цьому розрахунок ведеться за формулою складних відсотків: 

F=P× (1+ r/m)^n×m,

де  r — оголошена річна ставка;

    т — кількість нарахувань у році

    п — кількість років. 

   Для забезпечення  порівняльного аналізу ефективності фінансових контрактів використовується показник ефективної річної процентної ставки (r^e) – відсоток, який одержується за результатами року при нарахуванні складного відсотка і є критерієм ефективності фінансової угоди:

r^e=(1+   r  )^m   -  1

m 

     2.2. Грошові потоки та оцінка їх вартості у часі 

Функціонування  окремого виду активу або здійснення фінансової операції може генерувати протягом тривалого періоду визначені грошові потоки.

Грошові потоки, як і окрема сума грошових коштів, також можуть бути оцінені з позиції їх теперішньої (зворотне завдання) та майбутньої (пряме завдання) вартості. 
 

                                                                                       Момент оцінки майбутньої

                                                                                          вартості грошового потоку

      C₁ -1рік C₂-2 роки C₃-3 роки 

      період

                                                F₁ = C₁×(1+r)³ 

                                      F₂ = C₂×(1+r)²     

                                                                                   F₃ = C₃×(1+r) 

                      FV=∑ⁿ F_i

             і=1 

Рисунок. 2.2. Схема визначення майбутньої вартості грошового потоку 
 
 

Момент  оцінки теперішньої                                                                                     

вартості  грошового потоку

 

                                                   C₁ -1рік                 C₂-2 роки                   C₃-3 роки

             період 

P₁=C₁/(1+r)

 

P₂=C2/(1+r)²

 

 P₃=C₃/(1+r)³ 

           ⁿ

PV=∑ P_i

       і=1 
 

Рисунок 2.3. Схема визначення теперішньої вартості грошового потоку 

  З точки зору рівності платежів, що надходять, виділяють грошові потоки з рівними  та нерівними надходженнями. Потік  платежів, що характеризується однаковим рівнем відсоткових ставок протягом всього періоду, має назву ануїтет.

  Відповідно  до періоду надходження грошових коштів виділяють потік пренумерандо та постнумерандо.

  Потік пренумерандо (авансовий) — надходження, які генеруються в межах одного часового періоду за умов попереднього платежу.

  Потік постнумерандо — надходження, які генеруються в межах одного часового періоду за умов наступного платежу.

     Безстроковий  ануїтет — ануїтет, за яким грошові надходження тривають досить тривалий час (вічна рента), тобто п > ? :

PA_post=R/r

де  РА_рost — теперішня вартість ануїтету на умовах постнумерандо;

R— член ануїтету, що характеризує розмір окремого платежу; r — відсоткова ставка.

Таблиця 2.2

ВИЗНАЧЕННЯ  МАЙБУТНЬОЇ ТА ТЕПЕРІШНЬОЇ ВАРТОСТІ АНУЇТЕТУ