Контрольная работа по "Финансовой математике"

 

После логарифмирования этого выражения получим:

 

Очевидно, что  решение существует тогда, когда 

 

Т.е. решения  нет, при заданных условиях долг будет  ежегодно увеличиваться и никогда  не будет погашен.

Однако, если принять условие, что платежи будут выделяться один раз в полгода:

 

 

Находим расчётное  значение n при условии погашения задолженности равными частями каждые полгода.

 

Расчетный срок округляем до наименьшего целого числа, т.е. n = 9 платежей, в годах n = = 4,5 года.

Для сбалансированности плана погашения долга рассмотрим две возможности:

1) Рассчитаем новое значение срочных уплат Y каждые полгода:

 

 

2) При прежних уплатах рассчитаем остаток долга на последний период займа:

В конце 9-го периода остаток долга определяется из следующего выражения:

 

 

 

 

 

Остаток долга  при выплатах каждые полгода на последний  период займа составит 28,434тыс. р.

 

 

 

4. Налог на начисленные проценты

Задача 4.1

Определите  номинальную  эффективную  ставку  простых  и  сложных процентов при ежемесячном  начислении процентов по номинальной  процентной ставке банка i % для депозита сроком на один год, если ставка налога на проценты 15 %.

i = 28%

Решение

Номинальная ставка банка  составляет i = 28%.

Эффективная ставка j показывает, какая годовая ставка процентов(простых или сложных) дает тот же финансовый результат(коэффициент наращения), что и номинальная ставка банка за вычетом налогов

1. При начислении простых процентов, коэффициент наращения с учетом уплаты налога по ставке g составит

                                               

Для эффективной ставки простых  процентов

 

Приравняем их между собой

 

 

2. При начислении сложных процентов, коэффициент наращения с учетом уплаты налога по ставке g составит

 

Для эффективной ставки сложных процентов

 

Приравняем их между собой и выразим

 

 

 

Подставляя исходные значения, получаем

 

5. Наращение с учетом инфляции

Задача 5.1

Известны темпы инфляции за отдельные месяцы года. На основе исходных данных табл. 22 определите годовые  индекс и темп инфляции, среднеквартальные  индекс и темп инфляции, среднемесячные индекс и темп инфляции.

Месяц	Месячные темпы инфляции, %
1	4
2	4
3	6
4	7
5	7
6	9
7	10
8	9
9	8
10	6
11	6
12	8

 

Решение

Если известны темпы инфляции h_i за отдельные месяцы года, то годовой  индекс цен I_p  рассчитывается по формуле

 

Годовой темп инфляции находим  следующим образом

 

Если известен годовой  индекс цен, то среднемесячный  индекс цен определяют по формуле средней  геометрической:

 

Находим среднемесячный темп инфляции

 

Аналогично определяем среднеквартальный  индекс цен

 

и среднеквартальный темп инфляции

 

 

 

 

Задача 5.3

Задан прогнозируемый  средний  темп инфляции в месяц  _. На основе исходных данных табл.   24  определите,  к какому росту цен за год такой темп инфляции приведет и каков годовой темп инфляции.

 

 

Решение

Если задаются постоянные ожидаемые (прогнозируемые) среднемесячные темпы инфляции _{, то годово}й индекс цен определяется как

 

то есть цены за год вырастут в 3,138 раза.

Годовой темп инфляции составит

 

 

 

Задача 5.3

На основе исходных данных табл. 25 определите реальную ставку простых  процентов за год, если брутто-ставка равна r % при годовой инфляции h_год %.

r = 65%, h_год = 38%

 

Решение

Зная темп инфляции найдем годовой индекс цен

 

Если задана норма доходности брутто-ставкой  r, можно определить реальную процентную ставку i с учетом инфляции из соотношения(при n=1)

 

 

 

6. Дисконтирование и банковский  учет

Задача 6.1

Долговое обязательство  в сумме Р должно быть погашено через t дней с процентами, начисленными по процентной  ставке i % годовых. Владелец обязательства учел его в банке за t₁  дней  до наступления срока погашения по учетной ставке d.  Определить  дисконтированную сумму и дисконт,  полученный банком.

P = 540 тыс. р., t = 135, i = 16%, t₁ = 45, d = 19%

 

Решение

Найдем размер суммы к  погашению S с процентами

 

Размер дисконта определяется по формуле 

                                             

где S – сумма к погашению; d – годовая учетная ставка; t₁  – срок от момента учета до даты погашения векселя (в годах), t₁ = 45/360=0,125 года

Теперь найдем сумму дисконта

 

Дисконтированная сумма Z составляет

 

 

 

 

Задача 6.3

Долговое обязательство  на выплату S  тыс. р.  со сроком погашения через n  лет учтено за  n₁  лет до срока.  Определите полученную  сумму,  если производилось дисконтирование по номинально  сложной учетной ставке d_с % годовых:  а) полугодовое; б) поквартальное.

S  = 680; n = 7; n₁ = 5; d_с = 15%

 

Решение

При дисконтировании m раз в году за  n₁  лет до срока полученную сумму можно определить следующим образом

 

 

А) При полугодовом дисконтировании m=2 полученная сумма составит

 

 

А) При поквартальном дисконтировании m=4 полученная сумма составит

 

 

 

Задача  6.5

Долг в размере S тыс. р. должен быть выплачен через n лет. Требуется найти эквивалентные по ставке i %  годовых значения долга: а) через n₁  лет; б) через n₂  лет

S = 650; n = 4; i = 18%; n₁ = 2; n₂ = 8

 

Решение

Под эквивалентностью тут  можно понимать приведение суммы S₄ , которая должна быть выплачена через 4 года, к соответствующим годам n₁ = 2; n₂ = 8.

Для приведения суммы S_n  к сумме, эквивалентной ей на моментам времени t, можно использовать универсальную формулу

 

Для t = n₁ = 2 имеем

 

То есть при ставке 18 % годовых сумма 650 000 р., выплаченная через 4 года, эквивалентна сумме 466 820 р., выплаченной через 2 года.

Аналогично, для t = n₂ = 8 имеем

 

При ставке 18 % годовых сумма 650 000 р., выплаченная через 4 года, эквивалентна сумме 1 260 206 р., выплаченной через 8 лет.

 

 

7. Денежные потоки 

Задача 7.1

Фирма создает фонд накопления. Для этого ежемесячно в течение n лет переводит в банк РМТ_мес тыс. р. под годовую процентную ставку i   %.  Проценты начисляются ежемесячно. На основе исходных данных табл. 41 определите размер фонда накопления в конце планируемого срока.

РМТ_мес = 300; n = 5; i =14%

Решение

Величина фонда накопления представляет собой наращенную сумму  аннуитета FVA:

 

 

 

 

 

Задача 7.3

Страховая компания, заключив на n лет договор с некоторой фирмой, получает от нее страховые взносы по РМТ_кв тыс. р. в конце каждого квартала.  Эти взносы компания помещает в банк под годовую процентную ставку i  %.  Найдите приведенную стоимость суммы, которую получит страховая компания по данному контракту, если сложные проценты банком начисляются ежемесячно.

n = 4; PMT_месс = 30; i = 15

 

Решение

Если платежи поступают р = 4 раз в году, а проценты начисляются m=12 раз в году, то приведенную сумму аннуитета РVA при таких условиях можно найти следующим образом

 

 

 

Задача 7.5

Участок сдан в аренду на n лет. Сумма первого годового арендного платежа (схема постнумерандо) составляет РМТ тыс. р. Причем каждый год происходит индексация величины платежа на 5 %. Рассчитайте текущую цену договора на момент его заключения, если сложная банковская процентная ставка равна i % годовых.

n = 4; PMT = 300; i = 16%

 

Решение

  Увеличение платежа на 10 % означает его рост в 1,1 раза. Приведенная стоимость такого аннуитета с постоянным относительным приростом определяем следующим образом