Контрольная работа по "Финансовой математике"

Вариант 20

1. Простые проценты

Задание 1.1

 Определите проценты  и сумму накопленного долга,  если ссуда равна 190  тыс.  р., срок  ссуды  2 года, годовая   простая  процентная  ставка  30  %. 

Постройте график наращённой суммы в масштабе в зависимости  от срока ссуды.

Определите, во сколько раз  изменится наращенная сумма при  увеличении процентной ставки в два  раза.

 

Решение

Первоначальную  сумму  долга  с начисленными процентами к концу срока, называют наращённой суммой.

       Для записи  формулы наращения простых процентов  примем обозначения: 

Р – первоначальная сумма долга;

i – годовая процентная ставка (ставка наращения), выраженная десятичной дробью;

n – срок ссуды в годах;

I – проценты за весь срок ссуды;

S – наращённая сумма в конце срока.

Начисленные за весь срок проценты определяются как 

                                           I = P⋅ n⋅ i . 

Подставляя исходные данные, имеем следующее значение начисленных  процентов

 

Формула наращения по простым процентам имеет вид

 

Подставляя исходные данные, имеем следующее значение накопленного долга

 

График наращённой суммы  в масштабе в зависимости от срока  ссуды

Если процентная ставка увеличится в 2 раза (до 60%), то наращенная сумма  составит

 

При этом наращенная сумма  при увеличении процентной ставки в  два раза увеличится в 418/304=1,375 раза.

 

 

 

Задача  1.3

Контракт  предусматривает  следующий  порядок  начисления  процентов: в первый год ставка 35% , в каждом последующем полугодии  ставка повышается на 1 %. Определите множитель  наращения за весь срок ссуды 2 года (взято из задачи 1.1).

 

Решение

В соглашения иногда  предусматриваются переменные ставки  в  разные  периоды  начисления. При  простых  переменных ставках множитель наращения за весь срок определяется следующим образом:

 

где i₁, i₂, …, i_k – последовательные во времени значения простых процентных     ставок;      n₁, n₂, ..., n_k    – периоды, в течение которого действуют соответствующие ставки. В нашей задаче имеем

i₁ = 35%, n₁ = 1

i₂ = 36%, n₂ = 0,5

i₃ = 37%, n₃ = 0,5

Итого, рассчитаем множитель  наращения за весь срок

 

 

 

 

 

Задача 1.5

В  контракте  предусматривается  погашение  обязательства  в  сумме S тыс. р. через t дней. Первоначальная сумма долга – P тыс. р. Определить доходность  ссудной  операции  для  кредитора  в  виде  годовой  ставки  процента   (K   = 360).

 

S = 320, P = 240, t = 120

Решение

Формула наращения по простым  процентам имеет вид

 

Выражая годовую ставку процента получаем

 

 

Если срок ссуды исчисляется  в днях, то для проведения расчетов его нужно выразить в годах

 

Подставляя значения, определяем доходность  ссудной  операции  для  кредитора  в  виде  годовой  ставки  процента

 

 

 

 

Сложные проценты

Задача 2.1

Какой  величины  достигнет  долг,  равный  Р тыс. р.,  через  n  лет при росте по сложной годовой ставке i % ? Постройте график наращенной суммы в масштабе в зависимости от срока ссуды.

P = 300, n = 5,5, i = 14%

Решение

Будем считать, что проценты начисляются ежегодно.

Наращенная сумма по сложным  процентам можно получить общим методом по следующей формуле

 

Построим график наращенной суммы в масштабе в зависимости  от срока ссуды.

 

 

Задача 2.3

Найдите срок удвоения первоначального  капитала, применяя сложные и простые  проценты для ставки i=14%

Решение

Удвоение первоначального  капитала означает, что коэффициент  наращения К примет значение 2. Необходимо выразить срок ссуды n из формулы коэффициента наращения для обоих случаев.

Для простых процентов  коэффициент наращения равен

 

Отсюда найдем срок удвоения капитала при простых процентах наращения

 

Предполагая, что проценты начисляются ежегодно, для сложных  процентов коэффициент наращения  равен

 

Отсюда найдем срок удвоения капитала при сложных процентах  наращения

 

 

 

Задача 2.5

Кредит в размере Р тыс. р. выдан на а лет и b дней под i % годовых. Определите сумму долга на конец срока общим и смешанным методами на основании исходных          данных

P = 120, а = 6, b = 90, i = 11%

 

Решение

Исходя из темы, будем считать, что речь идет про сложные проценты.

Согласно общему методу, расчет ведется непосредственно по формуле 

 

где  n – полный срок в годах

n=a+b/360=6+90/360=6,25(лет)

Отсюда находим сумму  долга общим методом

 

Второй, смешанный, метод  предполагает начисление процентов  за целое число лет по формуле  сложных процентов и за дробную  часть срока по формуле простых  процентов:

 

 

 

Задача  3.1.

Имеется обязательство  погасить долг в размере D₀ тыс. р., выданный под i % годовых, в определенный срок. Кредитор согласен получать частичные платежи. Дата и размер частичных поступлений указаны в табл. 15. При начислении процентов кредитором используется актуарный метод.

Необходимо:

1) составить план погашения задолженности, используя табл. 16;

2) определить остаток задолженности на конец срока займа;

3) построить контур финансовой операции в масштабе.

При разработке плана погашения задолженности  проводят расчет временных периодов начисления процентов между отдельными платежами по погашению долга  с учетом, что по кредиту начисляют точные проценты с точным числом ссуды. Точное количество дней между двумя последовательными платежами определяют по таблице прил. 1.

 

Решение:

Исходные  данные заносим в таблицу 3.1.1

Таблица 3.1.1

Исходные  данные

Номер варианта	Размер долга D0 тыс. р.	Процентная ставка i, %	Срок займа	Частичные поступления
				R1		R2		R3
				Дата поступления	Размер платежа, тыс. р.	Дата поступления	Размер платежа, тыс. р.	Дата поступления	Размер платежа, тыс. р.
20	250	25	25.02.12-10.05.13	5.05.12	30	15.12.12	80	10.03.13	100

 

1. Актуарный метод  предполагает последовательное начисление процентов на фактические суммы  долга. Частичный платеж идет в первую очередь на погашение процентов, начисленных на дату платежа. Если величина платежа превышает сумму начисленных процентов, то разница идет на погашение основной суммы долга. Непогашенный остаток долга служит базой для начисления процентов за следующий период и т.д. Если же частичный платеж меньше начисленных процентов, то никакие зачеты в сумме долга не делаются. Такое поступление приплюсовывается к следующему платежу.

Расчет будем  вести по схеме 360/360.

D₀ = 250 тыс. р. – первоначальная сумма долга (сумма ссуды);

i = 25 %, процентная ставка;

Т = 25.02.12-10.05.13,  Т = 5 + 14 · 30 + 10 = 435 = = 1,208 года. – срок ссуды.

Временные интервалы:

t₁ = 25.02.12-05.05.12, t = 5 + 2 · 30 + 5 = 70 дн. = = 0,194 года.

t₂ = 05.05.12-15.12.12, t = 25 + 6 · 30 + 15 = 220 дн. = = 0,611 года.

t₃ = 15.12.12-10.03.13, t = 15 + 2 · 30 + 10 = 85 дн. = = 0,236 года.

t₄ = 10.03.13-10.05.13, t = 20 + 1 · 30 + 10 = 60 дн. = = 0,167 года.

Последовательные  платежи:

R₁ = 30 тыс. р.

R₂ = 80 тыс. р.

R₃ = 100 тыс. р.

Остатки долга находим по формулам:

 

 

 

На основании  полученных значений составляем план погашения долга, таблица 3.1.2

Таблица 3.1.2

План  погашения долга

Временной интервал, год	Остаток долга на начало срока D, тыс. р.	Расходы по займу R, тыс. р.	Проценты I, тыс. р.	Погашение основного долга (R - I), тыс. р.	Долг на конец срока D – (R – I), тыс. р.
t1 = 0,194	250	30	12,125	17,875	232,125
t2 = 0,611	232,125	80	35,457	44,543	187,582
t3 = 0,236	187,582	100	11,067	88,933	98,649
t4 = 0,167	98,649	102,768	4,119	98,649	0

 

2) Определим остаток задолженности на конец срока займа:

 

 

Полученные  значения заносим в таблицу 3.1.1.

 

3) Построим контур финансовой операции в масштабе:

 

 

 

Задача 3.3.

Кредит размером D тыс. р. выдан на n лет под годовую процентную ставку i %. Основной долг погашается равными долями.

Исходные  данные возьмите из табл. 17.

Требуется:

1) составить  план погашения кредита;

2) построить  контур финансовой операции в  масштабе;

3) провести сравнительный анализ  двух вариантов погашения кредита  на

основе расчетов задач 3.2 и 3.3:

– сравнить суммы выплаченных процентов;

– рассчитать, во сколько раз общая  стоимость кредитов превыша-

ет их первоначальный размер по двум вариантам;

– построить графики платежей по годам в масштабе (рис. 5);

– сделать выводы по проведенному анализу.

 

Решение:

Исходные  данные представлены в таблице 3.3.1

Таблица 3.3.1

Исходные  данные

Номер варианта	D, тыс. р.	n, год	i, %
20	510	3	16

 

1. Составим план погашения кредита.

Ежегодная уплата на погашение основного долга  составит:

 

 

Размер основного  долга со временем последовательно  сокращается, соответственно и уменьшаются выплачиваемые проценты, т. к. они начисляются на остаток долга.

Если платежи  производятся в конце каждого  года на протяжении всего срока ссуды, то схему расчета показателей плана погашения задолженности можно представить в виде, приведенном в таблице 3.3.2

 

Проценты:

 

 

 

 

 

Расходы по займу:

 

 

 

 

Долг на конец  года:

 

 

 

 

Таблица 3.3.2

План  погашения основного долга равными  долями.

Год	Остаток долга на начало года, тыс. р.	Расходы по займу, тыс. р.	Проценты, тыс.р.	Погашение основного долга, тыс. р.	Долг на конец года, тыс. р.
1	510	251,6	81,6	170	340
2	340	224,4	54,4	170	170
3	170	197,2	27,2	170	0

 

2) Построим контур финансовой операции в масштабе:

 

 

 

Задача 3.5.

Кредит в  размере D тыс. р. выдан под i % годовых. Для погашения долга предполагается выделять сумму d тыс. р. Оцените величину срока, необходимого для погашения задолженности. Округлите расчетный срок. Для сбалансированности плана погашения долга рассмотрите две возможности:

1) рассчитайте  новое значение срочных уплат Y;

2) при прежних  уплатах рассчитайте остаток  долга на последний год займа.

Исходные  данные представлены в табл. 19.

 

Решение:

Исходные  данные представлены в таблице 3.5.1

Таблица 3.5.1

Исходные  данные

Номер варианта	D, тыс. р.	i, %	d, тыс. р.
20	300	20	50

 

Принимаем, что  погашение задолженности проводится обыкновенными платежами в конце  периода.

Срок погашения  задолженности находится из формулы  определения расходов по займу:

 

После преобразования, получим: