Контрольная работа по "Финансовая математика"

 

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА  
 
 

по  дисциплине   Финансовая математика   

Вариант _      7      
 
 

Студент        

     (Ф.И.О.)

Курс     № группы     

№ зачетной книжки     

Преподаватель       

          (Ф.И.О.) 
 
 
 
 
 

Москва  – 2011

 

      Задание 1.

     Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов).

     Таблица 1

     Исходные  данные

     Требуется:

     1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта- Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания

2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

     -случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

     -независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=l,10 и d₂=l,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁ =0,32;

     -нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

     5)Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные. 

Решение.

     1).Мультипликативная модель Хольта- Уинтерса с линейным ростом имеет вид:

          *

     где k- период упреждения;

      расчетное значение экономического показателя для  t-го периода;

      и коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;

      значение  коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический  показатель;

     L- период сезонности (для квартальных данных L=4, для месячных- L=12).

     Уточнение (адаптация к новому значению параметра  времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул:

       **

         ***

         ****

     Для расчета  и необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего периода времени (т.е. для t=1-1=0).

     Для оценки начальных значений и применим линейную модель к первым 8 значениям из табл.1. Линейная модель имеет вид:

     

     С помощью метода наименьших квадратов  находим коэффициенты линейного  уравнения и :

     

     

     

     

     

     

Можно проверить  правильность расчетов в Excel, используя процедуру Анализ данных (Регрессия) в Сервисе:

Таблица 2

Вывод итогов в Excel

     Расчетные значения подсчитаны (табл.2). Сопоставляем их с фактическими значениями:

     Таблица 3

     Сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений Y_p(t)

     

     Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к  значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) I квартала первого года, равное Y(1)/Y_p(1), и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) Y(5)/Y_p(5). Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.

     Аналогично  находим оценки коэффициента сезонности для II, III и IV кварталов:

     Рассчитаем  значения и для t=1.

     Из  уравнения *, полагая что t=0, k=1, находим

Уравнение Yp(t+k)=[a(t)+k*b(t)*F(t+k-L) при к=1. для t=0 примет вид: 

     Полагая, что t=1, уравнения ** - ****примут вид:

     Для t=2:

     для t=3:

     для t=4:

     для t=5:

     для t=6:

     для t=7:

     для t=8:

     для t=9:

     для t=10:

     для t=11:

     для t=12:

     для t=13:

     для t=14:

     для t=15:

     для t=16:

Расчет по модели Хольта- Уинтерса произведем в Excel. Полученные данные представлены в табл.4:

Таблица 4

Модель Хольта- Уинтерса

 

     2) Проверка точности  модели.

     Произведем  промежуточные расчеты для проверки качества модели:

     Таблица 5

     Промежуточные расчеты для проверки качества модели

Условие точности считается выполненным, если относительная погрешность (100%*abs{E(t)}/Y(t))в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей (гр.10 табл. 5) составляет 29,72, что дает среднюю величину 29,72/16= 1,86 %.

     Следовательно, условие точности выполнено.

     3) Проверка адекватности  модели.

     Для того, чтобы модель была адекватна  исследуемому процессу, ряд остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

     Проверка  случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда E(t) сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр. 3 табл.5 для этой строки ставится 1, в противном случае в гр.3 ставится 0.

     Общее число поворотных точек равно p=8.

     Рассчитаем  значение q:

     

     

     Если  количество поворотных точек p больше q, то условие случайности уровней выполнено. p=8, q= 6, следовательно, условие случайности ряда остатков выполнено.

     Проверка  независимости уровней ряда остатков (отсутствие автокорреляции). Проверку проводим двумя методами:

1. по d-критерию Дарбина- Уотсона;
2. по первому коэффициенту автокорреляции r(1).

     1)

     Т.к. полученное значение больше 2, имеет  место отрицательная автокорреляция. Уточняем величину d, вычитая полученное значение из 4.

     

     Полученное  сравниваем с табличными значениями d1 и d2.

     d1=1,08, d2=1,36.

     Т.к. d2< <2, то уровни ряда остатков являются независимыми.

     2)

     Если  модуль рассчитанного значения первого  коэффициента автокорреляции меньше критического значения , то уровни ряда остатков независимы.