Задачи по "Экономике"

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ  ИНСТИТУТ 

Кафедра 
экономико-математических методов и моделей 

Факультет Финансово-кредитный 
 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА  

по  дисциплине  «Эконометрика»  
 

Вариант 7 
 
 

                                                  Студент         

                                ^(Ф.И.О.)

                                                  Курс       3                  

                                                 Личное дело №                

                                              Преподаватель                

     ^(Ф.И.О.)

     Москва  – 2010

 

Задача: 
 
 

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции ( , млн. руб.) от объема капиталовложений ( , млн. руб.)

	36	28	43	52	51	54	25	37	51	29
	85	60	99	117	118	125	56	86	115	68

 

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости  ,  если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.
7. Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

• гиперболической;

• степенной;
• показательной.

Привести  графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод. 

 
 
 
 
 
 
 
 

Решение:

    1)  Сначала, для удобства решения, отсортируем все x и y в порядке возрастания (табл.1)  

x	25	28	29	36	37	43	51	51	52	54
y	56	60	68	85	86	99	115	118	117	125

Табл.1. 
 

     Для расчёта параметров уравнения  линейной регрессии, воспользуемся  инструментом анализа данных  Регрессия. Для этого в главном меню выбираем Сервис/Анализ данных/ Регрессия. Заполняем диалоговое окно ввода данных и параметров вывода (рис.2)

Рис.2. Диалоговое окно ввода параметров инструмента  Регрессия. 

Результаты  регрессионного анализа для данных представлены на рис.3. 

Рис.3.Результаты применения инструмента Регрессия 
 
 

     Таким образом, получено уравнение  регрессии y=-1+2.32x

Экономическая интерпретация коэффициента регрессии  заключается в том, что если объёмы капиталовложений возрастут на 1 млн., то объём выпуска продукции возрастёт  на 2,32 млн.руб. 

2) Вычислим остатки, найдём остаточную сумму квадратов (рис.4) и построим график остатков (рис.5) 

№ п/п	x	y	ypi	ei	ei2
1	25	56	56,807	-0,807	0,651
2	28	60	63,748	-3,748	14,045
3	29	68	66,061	1,939	3,758
4	36	85	82,257	2,743	7,524
5	37	86	84,571	1,429	2,043
6	43	99	98,453	0,547	0,299
7	51	115	116,962	-1,962	3,850
8	51	118	116,962	1,038	1,077
9	52	117	119,276	-2,276	5,180
10	54	125	123,903	1,097	1,203

Рис.4. 

Рис.5. 

     По графику остатков можно  сказать о гомоскедастичности остаточной компоненты, подтверждать эти данные будем аналитическим исследованием. 

3) Проверим выполнение предпосылок МНК, то есть остаточная компонента должна удовлетворять четырём требованиям:

1) Математическое  ожидание остаточной компоненты  равно нулю

    М(е)=0

2) Последовательные  уровни должны быть некоррелируемы

     r(e_i;е_i+1)=0

3) Дисперсия  остатков должна быть гомоскедастичной

     D(e)=0

      4) Ряд значений остаточной компоненты  должен соответствовать                 нормальному закону распределения. 

     Математическое ожидание остаточной  компоненты равно нулю, так как  значит первое требование выполнено. Независимость последовательных уровней остаточной компоненты проверяется с помощью критерия Дарбина-Уотсона. Для этого вычисляется d_расч.

d_расч= , произведем необходимые расчёты (рис.6)

    

№ п/п	x	y	ypi	ei	ei^2	еi-ei-1	(еi-ei-1)2
1	25	56	56,807	-0,807	0,651
2	28	60	63,748	-3,748	14,045	-2,941	8,650
3	29	68	66,061	1,939	3,758	5,686	32,334
4	36	85	82,257	2,743	7,524	0,804	0,647
5	37	86	84,571	1,429	2,043	-1,314	1,726
6	43	99	98,453	0,547	0,299	-0,882	0,778
7	51	115	116,962	-1,962	3,850	-2,509	6,297
8	51	118	116,962	1,038	1,077	3,000	9,000
9	52	117	119,276	-2,276	5,180	-3,314	10,980
10	54	125	123,903	1,097	1,203	3,373	11,375
Итого:					39,630		81,787

Рис.6. 

d_расч= =2,064     d_расч>2 переходим к d     d_расч=4-d_расч=4-2,064=1,936 

1,936 последовательные уровни остаточной компоненты независимы, значит второе требование выполнено.

 

        Для применения МНК требуется,  чтобы дисперсия остатков была  гомоскедастичной. Это значит, что  для каждого значения фактора  х_j остатки e_i имеют одинаковую дисперсию. Если это условие не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. Чтобы проверить это мы исключим из рассмотрения с центральных наблюдений; при этом (п-с):2>p, где р – число оцениваемых параметров. Разделим совокупность из (п-с) наблюдений на две группы (соответственно с малыми и с большими значениями фактора х) и определим по каждой из групп уравнение регрессии. Определим остаточную сумму квадратов для первой (S₁) и второй (S₂) групп и найдем их отношения: F_расч=S₁:S₂. При выполнении гипотезы о гомоскедастичности отношение F_расч будет удовлетворять F-критерию со степенями свободы ((п-с-2р):2) для каждой остаточной суммы квадратов. Чем больше величина R превышает табличное значение F-критерия, тем более нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин.

     В нашем случае п=10, с=2, р=2, выделим 2 центральных наблюдения из всей совокупности и рассчитаем уравнение регрессии для каждой из двух оставшихся групп с помощью инструмента Регрессия, а их остатки запишем в соответствующую графу. (рис.7) 

№ п/п	x	y	ypi	ei	ei^2	Еi
1	25	56	56,807	-0,807	0,651	0,969
2	28	60	63,748	-3,748	14,045	-3,177
3	29	68	66,061	1,939	3,758	2,108
4	36	85	82,257	2,743	7,524	0,100
5	37	86	84,571	1,429	2,043
6	43	99	98,453	0,547	0,299
7	51	115	116,962	-1,962	3,850	-0,917
8	51	118	116,962	1,038	1,077	2,083
9	52	117	119,276	-2,276	5,180	-1,750
10	54	125	123,903	1,097	1,203	0,583
Итого:					39,630

Рис.7 

     Возведём в квадрат остаточные  компоненты каждой группы и  подсчитаем сумму каждой из  них (рис.8) 

№ п/п	x	y	ypi	ei	ei^2	Еi	Ei^2
1	25	56	56,807	-0,807	0,651	0,969	0,939
2	28	60	63,748	-3,748	14,045	-3,177	10,093
3	29	68	66,061	1,939	3,758	2,108	4,442
4	36	85	82,257	2,743	7,524	0,100	0,010
5	37	86	84,571	1,429	2,043		15,485
6	43	99	98,453	0,547	0,299
7	51	115	116,962	-1,962	3,850	-0,917	0,840
8	51	118	116,962	1,038	1,077	2,083	4,340
9	52	117	119,276	-2,276	5,180	-1,750	3,062
10	54	125	123,903	1,097	1,203	0,583	0,340
Итого:					39,630		8,583