Виробнича функція Кобба-Дугласа

      Якщо  ця сума дорівнює одиниці, маємо постійний  масштаб виробництва. А це означає, що зі збільшенням обох виробничих ресурсів на одиницю обсяг продукції  також зросте на одиницю. Якщо сума менша одиниці, то масштаб виробництва  спадний, тобто темпи зростання  обсягу продукції нижчі за темпи  зростання обсягу ресурсів. Якщо сума перевищує одиницю, маємо зростаючий масштаб: темпи зростання обсягу продукції перевищують темпи  зростання обсягу виробничих ресурсів.

      Параметр  А у функції Кобба-Дугласа залежить від одиниць вимірювання Y, F та L і  також визначається ефективністю виробничого  процесу.

      Отже, економетрична модель виробничої функції  дає змогу проаналізувати виробничу  діяльність, щоб визначити шляхи  підвищення її ефективності. Обґрунтованість  такого аналізу цілковито залежить від достовірності моделі та її адекватності відповідному реальному процесу. 
 
 

     1.6.Лінійна модель Кобба-Дугласа 

      Вплив багатьох чинників на результативну  змінну може бути описаний лінійною моделлю:

      

      де  у - досліджувана (залежна, пояснювана) змінна, або регресанд; х₁,х₂,...,х_m - незалежні, пояснюючі змінні, або регресори; a₁, a₂,..., a_m - параметри моделі; и - випадкова складова регресійного рівняння.

      Функція є лінійною відносно незалежних змінних  і параметрів моделі, але саме лінійність за параметрами є більш суттєвою, оскільки це пов’язано з методами оцінювання параметрів. Випадкова складова и є результативною дією всіх неконтрольованих випадкових факторів, що зумовлюють відхилення реальних значень досліджува-ного показника  у від аналітичних (обчислених на підставі обраної регресійної залежності).

      Зрозуміло, що лінійні зв’язки не вичерпують усіх можливих форм залежності між  показниками. Тому при дослідженні  конкретного еко-номічного явища  першочерговим завданням є пошук  найточнішої аналітичної форми  опису статистичного зв’язку  між його показниками. Певна форма  залежності повинна мати відповідне економічне обгрунтування. Якщо вигляд залежності встановити важко, то за перше  наближення до моделі все ж обирають лінійну залежність. 

      1.7.Нелінійні функції Кобба-Дагласа (степенева, показникова, гіперболічна, квадратична) 

      Звичайним математичним підходом до розв'язання задач є виокремлення специфічних  класів задач або зведення задач  до деякого класу і застосування відповідних методів розв'язування. Оскільки дослідження лінійних функцій має незаперечні переваги перед іншими класами функцій, то нелінійні функції намагаються передусім звести до лінійних. Наприклад, степенева функція

      

      після логарифмування набирає вигляду

      

      і після заміни lna0 = a є лінійною відносно параметрів a,a₁,...,a_n. Показникова функція

      

      після логарифмування набирає вигляду

      

      і після заміни ln а,-=6,-, і = 0,1, 2,..., т, є  лінійною відносно пара-метрів.

      Гіперболічна

      

      і квадратична

      

      функції заміною змінних z,. = — або z, = xt, і = 1, 2,..., т, зводяться до лінійного  вигляду:

      

      Зауважимо, що в сучасному економічному аналізі  існують залежності, які не зводяться  до лінійних елементарними перетвореннями, однак їх параметри можна легко  розрахувати спеціальними спрощеними методами.

      Оскільки  найпоширенішими в економетричному  моделюванні є лінійні функції, обгрунтування економетричних методів  розглядають, як правило, на базі лінійних моделей.

      У наведеному нижче списку функцій  вони розташовуються в порядку зростаючої складності їх у запису й, відповідно, збільшення кількості необхідних для цього параметрів. Усі ці функції допускають можливість їх модифікації:

      Функція Кобба—Дугласа 

      

        Тут також використовується кілька  систем гіпотез, що виокремлюють  клас функцій Кобба—Дугласа серед  двічі диференційованих функцій  від двох змінних:

        а) еластичності випуску за  чинниками є постійними:

      

      Розв’язок цієї системи диференційних рівнянь  у частинних похідних першого  порядку належить до класу функцій  Кобба—Дугласа;

        б) еластичність функції за  одним із чинників є постійною,  і функція є однорідною;

        в) функція є однорідною, а еластичності  зменшення чинників за Алленом  та Михайловським дорівнюють  одиниці;

        г) гранична продуктивність кожного  чинника є пропорційною його  середній продуктивності;

        д) функція є однорідною як  функція від х1, х2 і як функція  від х1 за будь-якого фіксованого  х2;

        є) функція може бути отримана  з функції з постійною еластичністю  шляхом здійснення заміни виду:

      

      та  граничного переходу. Функція Кобба—Дугласа  найчастіше використовується для формалізованого  опису середньомасштабних господарських  об’єктів та економіки країни. 
 
 

      ВИСНОВКИ

       Виробнича функція - це залежність між набором  факторів виробництва та максимально  можливим обсягом продукту, виробленим за допомогою даного набору факторів. Виробнича функція завжди конкретна, тобто призначається для даної  технології. Нова технологія - нова продуктивна  функція. За допомогою виробничої функції  визначається мінімальна кількість  витрат, необхідних для виробництва  даного обсягу продукту.

       Як  правило, застосовують прості функції  з однією або кількома змінними —  лінійну, квадратичну, степеневу, показникову, гіперболічну тощо.

       На  теперішній час підходи П. Дугласа  і Ч. Кобба розвиваються за такими напрямами:

• урахування невизначеності;
• урахування лагів запізнення випуску стосовно часу здійснення витрат;
• повніше відображення технічного прогресу та якості праці;
• поєднання кореляційного (кількісного) аналізу з дисперсійним (якісним) для повнішого врахування впливу факторів на ефективність виробництва тощо.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      3.Практична частина

      3.1.Задача 1 

     Дано: Підприємство з виготовдення борошна має інформацію щодо попиту і сукупної вартості виробництва даного виду товару. Обсяги, ціни та сукупна вартість виробництва наведені в таблиці 1.

      Таблиця 1

 

      1.Якщо  підприємство прагне максимізувати прибуток, то який обсяг товару воно має виробити? Яким буде прибуток?

      Знайти: Економічний прибуток.

      Розв’язання:

      EP=TR-TC-формула економічного прибутку;

      TR=Q*P – формула сукупний (валовий) виторг.

      TR1=110*2=220                         EP1=220-143=77                      

      TR2=111*2=222                         EP2=222-148=74                                     

      TR3=112*2=224                         EP3=224-150=74

      TR4=113*2=226                         EP4=226-153=73

      TR5=114*2=228                         EP5=228-163=65 

     Відповідь:

      Потрібно  виробити  110 одиниць товару для  максимізації прибутку.

      3.2.Задача 2 

     Дано: Крива ринкового попиту для дуополії Бертрана має вигляд: Р= 650-20Q,а стала має вигляд: MC=30Q+300.

     Визначте:

      1.обсяг випуску продукції;

      2.сукупний обсяг виробництва та ціну;

      3.величину економічного прибутку;

      4.побудувати графік доходу, криву рівноваги.

      Розв’язання:

      За  формолою рівноваги по Бертрану MC=P розв’язуємо рівняння:

      30Q+300= 650-20Q

      50 Q=350

      Q=7

      Q₁=Q₂=Q/2

      7/2=3,5

      EP₁=EP₂=TR-TC- формула економічного прибутку;

      MC=30*7+300=510

      MC=(TC)^/=510

      TC=510Q=510*7=3570

      P=650-20*7=510

      TR=P*Q- формула сукупного(валового) виторгу;

      TR=510*7=3570

      EP=3570-3570=0 
 
 
 
 
 

      Графіки

      

      Крива рівноваги у моделі Бертранта 

      

      Крива доходу 

      Відповідь:

      EP=0, MC=510, TR=3570 P=510.

      Отже, рівновага існує тоді, коли жодна фірма більше не може отримувати вигоди від пониження ціни. Це відбувається коли Р = АС, а економічні прибутки дорівнюють нулю.