Виробнича функція Кобба-Дугласа

МІНІСТЕРСТВО  ОСВІТИ І НАУКИ МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

Інститут  економіки і менеджменту

Факультет економіки і підприємництва

Кафедра економіки 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

КУРСОВА РОБОТА

з дисципліни : «Мікроекономіка»

на тему: «Виробнича функція Кобба-Дугласа»  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Київ 2011 

ЗМІСТ

 

Вступ…………………………………………………………………………………………….3

1. Теоретична частина:

1.1.Виробнича функція Кобба-Дугласа…………………………………………………4

1.2. Коефіцієнти еластичності у виробничій функції Кобба – Дугласа…………4

1.3. Короткий період діяльності фірми, в якому з двох факторів змінним є праця……………………………………………………………………………………………..5

1.4. Поширення та модифікації функцій Кобба-Дугласа…………………………...6

1.5.Властивості функції Кобба-Дугласа………………………………………………...9

1.6.Лінійна модель Кобба-Дугласа……………………………………………………...10

1.7.Нелінійні функції Кобба-Дагласа (степенева, показникова, гіперболічна, квадратична)………………………………………………………………………………….10

2.Висновки…………………………………………………………………………………….13

3.Практична частина:

3.1.Задача 1……………………………………………………………………………………14

3.2.Задача 2................................................................................................................................15

4.Висновки……………………………………………………………………………………17

5. Список використаних джерел…………………………………………………………18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВСТУП

      Виробнича функція (англ. production function, нім. Betriebsfunktion f) –

залежність  кінцевого виходу продукції чи її вартості від використання різних факторів виробництва, конкретних видів ресурсів і затрат, подана в математичній формі. Як правило, застосовують прості функції з однією або кількома змінними – лінійну, квадратичну, степеневу, показникову, гіперболічну тощо.

      Виробнича функція задає максимальний обсяг  випуску (Q), який може

виробити  фірма для кожної специфічної  комбінації вхідних ресурсів. В моделі поведінки фірми для спрощення аналізу ми будемо брати лише два ресурси для довгострокового періоду - працю (L) і капітал (К), і тільки один змінний фактор - працю - для короткострокового періоду. Загальний

аналітичний вираз виробничої функції можна  записати:

      Q=f(F1,F2...Fn), або Q=f(K,L), або Q=f(L)

     Метод виробничої функції широко застосовують як в макро-, так і в мікроекономічному аналізі. В макроекономіці розраховують агрегатну функцію для кожної країни. Так, вчені П.Дуглас, Р.Солоу, Е.Денісон обчислювали функцію американського виробництва, Я. Тінберген здійснив

відповідні  розрахунки для Німеччини, Франції, Великобританії, США.

      На  мікро рівні існують тисячі функцій виробництва, тому що кожна фірма має свою виробничу функцію. Функції виробництва вказують на існування численних альтернативних можливостей одержання певного обсягу продукції за різних співвідношень між факторами виробництва.

      Функцію виробництва реальної фірми можна  визначити емпірично через виміри її фактичних показників. За допомогою такого аналізу фірма і

приймає рішення про вибір технологічно ефективного способу виробництва. 

     1 Теоретична частина

     1.1. Виробнича функція Кобба-Дугласа

 

     Першим, найбільш відомим варіантом виробничої функції була виробнича функція Кобба-Дугласа, розроблена у 1923 році в США економістом П.Дугласом спільно з математиком Ч.Коббом на основі досліджень в обробній промисловості США за період з 1899 по 1922 pp. Вона описує залежність обсягів виробництва від двох факторів - капіталу і праці, абстрагуючись від інших.

     Функція Кобба-Дугласа має вигляд:

     Q=A,K^б,L^в,

     де

     А - коефіцієнт пропорційності або масштабності;

     б, в - коефіцієнти еластичності виробництва, які характеризують приріст обсягів виробництва при прирості відповідних факторів на 1%.

     Розрахунки  показали, що за досліджуваний період коефіцієнти функції

     мають значення: A=1,01; а = 1/4; в=3/4 . Тобто функція приймає вид:

     Q=1,01K^1/4 L^3/4 

     1.2. Коефіцієнти еластичності у виробничій функції Кобба - Дугласа          

     На  основі аналізу коефіцієнтів еластичності у виробничій функції Кобба - Дугласа  можна виділити:

1)пропорційно зростаючу виробничу функцію, коли

2) непропорційно – зростаючу

3) убуваючу

 

1.3. Короткий період діяльності фірми, в якому з двох факторів змінним є праця 

       Розглянемо короткий період діяльності фірми, в якому з двох факторів змінним є праця. У такій ситуації фірма може збільшити виробництво за рахунок використання більшої кількості трудових ресурсів. Графік виробничої функції Кобба - Дугласа з однією змінною зображений на рис. 1 (крива ТРн).

       

       Рис. 1. Динаміка і взаємозв'язок загальної  середньої та граничного продуктів 

     З цього випливає, що найважливішим  фактором виробництва є праця, яка  дає приріст виробництва 3/4 проти  капіталу, який дає 1/4 приросту, тобто  збільшення витрат праці на 1 % розширює обсяги виробництва в 3 рази більше, ніж відповідне збільшення капіталу.

     Щоб оцінити внесок кожного фактора  в кінцевий продукт, Ч. Кобб і П. Дуглас за допомогою диференціального числення, використовуючи часткові похідні, розрахували  граничний продукт праці та капіталу: 

       

       

     Отже, у функції, отриманій Коббом і  Дугласом, збільшення обсягу трудовитрат  на 1 % веде до збільшення випуску на 0,75 %, а збільшення капіталу на 1 % збільшує випуск на 0,25 %. Оскільки значення EQ,L та EQ,K менше одиниці, випуск продукції  відносно нееластичний і за працею, і за капіталом. 

     1.4. Поширення та модифікації функцій Кобба-Дугласа 

     Після опублікування основної праці Ч. Кобба і П. Дугласа численними дослідниками були отримані виробничі  функції аналогічного типу для різних видів виробництв, секторів економіки, географічних районів США і навіть для різних країн (табл.1) 
 
 

     Таблиця.1

     

     Оцінки  виробничих функцій, наведені в табл. 1, отримано на основі узагальнення емпіричних даних з використанням функції Кобба—Дугласа такого вигляду:

     

     

     У другій половині XX ст. степеневі функції почали застосовувати не тільки для аналізу виробничих процесів із відчутними результатами, а й для аналізу різних явищ суспільно-політичного життя. Так, у 1975 р. було розроблено степеневу виробничу функцію для поліції Лос-Анджелеса, що пов’язує кількість арештів за кримінальні злочини з такими змінними факторами, як кількість груп поліцейських-мотоциклістів, кількість поліцейських усередині помешкань, кількість осіб, які недавно звільнені і проживають у місті тощо.

       Виробничу функцію Кобба—Дугласа часто подають у логарифмічному вигляді:

     lgY=lgA+algL+(1-a)lgK

     У СРСР Б. М. Михайлевським і Ю. П. Соловйовим на основі опрацювання статистичних даних за 1951—1963 рр. по народному  господарству в цілому було отримано таку виробничу функцію:

     lgYt=-0.524+1.11(0.541lgLt+0.334lgKt+0.1251lgRt+0.00518

     де Yt — отриманий національний дохід;

      Lt — кількість відпрацьованих  людино-годин;

      Kt — вартість капітальних благ;

      Rt — оцінка сільськогосподарських  земель;

      t — рік.

     Приклади  виробничих функцій розглянутого типу, отриманих для галузей, видів  виробництв, підприємств, можна продовжити. Дослідниками було встановлено, що сума коефіцієнтів при змінних може дорівнювати одиниці, але може бути і більше, і менше одиниці; еластичність випуску за змінними факторами була пов’язана з еластичністю масштабу; для багатьох виробництв були визначені мінімально ефективні розміри випуску і т. д.

     Пізніше у функцію виробництва вчені  ввели фактор часу і якісні зміни в процесі виробництва, перейшовши від статичної моделі Кобба-Дугласа до динамічної моделі:

     Q=A K^б L^в e^rt ,

       де

     e^rt - фактор, що відображає вплив технічного прогресу й інших якісних змін у виробництві протягом певного часу.

     Кожна фірма має свою виробничу функцію, яка характеризує технологічний спосіб виробництва, вибраний фірмою. Функція виробництва описує те, що можливо здійснити технічно за умови, що фірма діє ефективно.

     Економічно  ефективним вважається спосіб виробництва, який мінімізує альтернативну вартість всіх видів витрат виробництва заданого об-сягу продукції. Економічна ефективність залежить від ринкової ціни різних видів ресурсів. Існує багато технологічно ефективних способів виробництва і лише один економічно ефективний, - той, який на даний момент забезпечує мінімальні грошові витрати фірми за даного рівня цін на використо-вувані вхідні ресурси. 

1.5.Властивості функції Кобба-Дугласа 

      Функція Кобба-Дугласа має такі властивості:

      1) коефіцієнт а показує, на скільки  відсотків зміниться обсяг випуску  продукції, якщо витрати праці  зміняться на 1 %, а витрати капіталу  залишаться незмінними. Такий показник  називається коефіцієнтом еластичності  випуску за витратами праці;

      2) коефіцієнт р є коефіцієнтом  еластичності випуску за витратами  капіталу;

      3) сума параметрів а + Р описує  масштаб виробництва.