Традиционные и экономико-математические методы экономического анализа

 

Пусть имеется m партий изделий. Из каждой партии отобрано соответственно  n1, n2, …, nm  изделий  (для простоты полагается, что n1=n2=...=nm=n). Значения показателя качества этих изделий представлены в матрице наблюдений:

 

x11  x12   …    x1n

x21  x22  …    x2n 

…………………  = (xij), (i = 1,2, …, m; j = 1,2, …, n).

xm1  xm2  …    xmn

 

Необходимо проверить  существенность влияния партий изделий на их качество.

Если полагать, что  элементы строк матрицы наблюдений – это численные значения случайных  величин Х1,Х2,...,Хm, выражающих качество изделий и имеющих нормальный закон распределения с математическими  ожиданиями соответственно a1,а2,...,аm и одинаковыми дисперсиями σ2, то данная задача сводится к проверке нулевой гипотезы Н0: a1=a2 =...= аm, осуществляемой в дисперсионном анализе.

Усреднение по какому-либо индексу обозначено звездочкой (или  точкой) вместо индекса, тогда средний показатель качества изделий i-й партии, или групповая средняя для i-го уровня фактора, примет вид:

,      (4)

 

где i* – среднее значение по столбцам;

• ij – элемент матрицы наблюдений;

n   – объем выборки.

А общая средняя:

 

  .     (5)

 

Сумма квадратов отклонений наблюдений   хij от общей средней  ** выглядит так:

2=    2+      2+

 

+2  2.    (6)

 

 

или

Q = Q1 + Q2 + Q3.

 

Последнее слагаемое  равно нулю

=0.      (7)

так как сумма отклонений значений переменной от ее средней  равна нулю, т.е.

2=0.

 

Первое слагаемое можно  записать в виде:

 

В результате получается тождество:

Q = Q1 + Q2,           (8)

 

где - общая, или полная, сумма квадратов отклонений;

 

- сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней, или межгрупповая (факторная) сумма квадратов отклонений;

В разложении (8) заключена  основная идея дисперсионного анализа. Применительно к рассматриваемой задаче равенство (8) показывает, что общая вариация показателя качества, измеренная суммой Q, складывается из двух компонент – Q1 и Q2, характеризующих изменчивость этого показателя между партиями (Q1) и изменчивость внутри партий (Q2), характеризующих одинаковую для всех партий вариацию под воздействием неучтенных факторов.

Таким образом, процедура  однофакторного дисперсионного анализа  состоит в проверке гипотезы о  том, что имеется одна группа однородных экспериментальных данных против альтернативы о том, что таких групп больше, чем одна. Под однородностью понимается одинаковость средних значений и дисперсий в любом подмножестве данных. При этом дисперсии могут быть как известны, так и неизвестны заранее. Если имеются основания полагать, что известная или неизвестная дисперсия измерений одинакова по всей совокупности данных, то задача однофакторного дисперсионного анализа сводится к  исследованию значимости различия средних в группах данных.

 

Многофакторный  дисперсионный анализ

 

Следует сразу же отметить, что принципиальной разницы между многофакторным и однофакторным дисперсионным анализом нет. Многофакторный анализ не меняет общую логику дисперсионного анализа, а лишь несколько усложняет ее, поскольку, кроме учета влияния на зависимую переменную каждого из факторов по отдельности, следует оценивать и их совместное действие. Таким образом, то новое, что вносит в анализ данных многофакторный дисперсионный анализ, касается в основном возможности оценить межфакторное взаимодействие. Тем не менее, по-прежнему остается возможность оценивать влияние каждого фактора в отдельности. В этом смысле процедура многофакторного дисперсионного анализа (в варианте ее компьютерного использования) несомненно более экономична, поскольку всего за один запуск решает сразу две задачи: оценивается влияние каждого из факторов и их взаимодействие.

 

Общая схема двухфакторного эксперимента, данные которого обрабатываются дисперсионным анализом имеет вид:

 

 

 

Рисунок 1.1 – Схема  двухфакторного эксперимента

 

 

Данные, подвергаемые многофакторному дисперсионному анализу, часто обозначают в соответствии с количеством факторов и их уровней.

 

Применение дисперсионного анализа в различных процессах  и исследованиях

Использование дисперсионного анализа при изучении миграционных процессов

 

Миграция - сложное социальное явление, во многом определяющее экономическую  и политическую стороны жизни  общества. Исследование миграционных процессов связано с выявлением факторов заинтересованности, удовлетворенности  условиями труда, и оценкой влияния полученных факторов на межгрупповое движение населения.

 

λij=ciqijaj,

 

где  λij – интенсивность  переходов из исходной группы i (выхода) в новую j (входа);

ci – возможность и  способности покинуть группу i (ci≥0);

qij – привлекательность  новой группы по сравнению с исходной (0≤qij≤1);

aj – доступность группы j (aj≥0).

 

Если считать численность  группы i равной ni, то оценкой случайной  величины νij - числа переходов из i в j – будет niciqijaj:

 

       νij≈ niλij=niciqijaj.        (9)

На практике для отдельного человека вероятность p перехода в другую группу мала, а численность рассматриваемой группы n велика. В этом случае действует закон редких событий, то есть пределом νij является распределение Пуассона с параметром μ=np:

.

С ростом μ распределение приближается к нормальному. Преобразованную же величину √νij можно считать нормально распределенной.

Если прологарифмировать выражение (9) и сделать необходимые замены переменных, то можно получить модель дисперсионного анализа:

ln√νij=½lnνij=½(lnni+lnci+lnqij+lnaj)+εij,

 

Xi,j=2ln√νij-lnni-lnqij,

 

Ci=lnci,

 

Aj=lnaj,

 

Xi,j=Ci+Aj+ε.

Значения Ci и Aj позволяют  получить модель двухфакторного дисперсионного анализа с одним наблюдением  в клетке. Обратным преобразованием  из Ci и Aj вычисляются коэффициенты ci и aj.

При проведении дисперсионного анализа в качестве значений результативного  признака Y следует взять величины:

Yij=Xi,j-X,

Х=(Х1,1+Х1,2+:+Хmi,mj)/mimj,

 

где mimj- оценка математического  ожидания Хi,j;

Хmi и Хmj - соответственно количество групп выхода и входа.

 

Уровнями фактора I будут mi групп выхода, уровнями фактора J - mj групп входа. Предполагается mi=mj=m. Встает задача проверки гипотез HI и HJ о  равенствах математических ожиданий величины Y при уровнях Ii и при уровнях Jj, i,j=1,…,m. Проверка гипотезы HI основывается на сравнении величин несмещенных оценок дисперсии sI2 и so2. Если гипотеза HI верна, то величина F(I)= sI 2/so2 имеет распределение Фишера с числами степеней свободы k1=m-1 и k2=(m-1)(m-1). Для заданного уровня значимости α находится правосторонняя критическая точка xпр,αкр. Если числовое значение F(I)чис величины попадает в интервал (xпр,αкр, +∞), то гипотеза HI отвергается и считается, что фактор I влияет на результативный признак. Степень этого влияния по результатам наблюдений измеряется выборочным коэффициентом детерминации, который показывает, какая доля дисперсии результативного признака в выборке обусловлена влиянием на него фактора I. Если же F(I)чис<xпр,αкр, то гипотеза HI не отвергаются и считаются, что влияние фактора I не подтвердилось. Аналогично проверяется гипотеза HJ о влиянии фактора J.

Дисперсионный анализ позволяет  определить влияние разных факторов (условий) на исследуемый признак (явление), что достигается путем разложения совокупной изменчивости (дисперсии, выраженной в сумме квадратов отклонений от общего среднего) на отдельные компоненты, вызванные влиянием различных источников изменчивости.

С помощью дисперсионного анализа исследуются угрозы заболевания  при наличии факторов риска. Концепция  относительного риска рассматривает отношение между пациентами с определенной болезнью и не имеющими ее. Величина относительного риска дает возможность определить, во сколько раз увеличивается вероятность заболеть при его наличии, что может быть оценено с помощью следующей упрощенной формулы:

r' = a*d / b*c,

где  a - наличие признака в исследуемой группе;

b - отсутствие признака  в исследуемой группе;

c - наличие признака  в группе сравнения (контрольной);

d - отсутствие признака  в группе сравнения (контрольной).

Показатель атрибутивного риска (rA) служит для оценки доли заболеваемости, связанной с данным фактором риска:

, где Q - частота признака, маркирующего риск, в популяции;

r' - относительный риск.

Выявление факторов, способствующих возникновению (проявлению) заболевания, т.е. факторов риска может осуществляться различными способами, например, путем оценки информативности с последующим ранжированием признаков, что однако не указывает на совокупное действие отобранных параметров, в отличие от применения регрессионного, факторного анализов, методов теории распознавания образов, которые дают возможность получать "симптомокомплексы" риск-факторов. Кроме того, более сложные методы позволяют анализировать и непрямые связи между факторами риска и заболеваниями.

 

Дисперсионный анализ в химии

Дисперсионный анализ –  совокупность методов определения  дисперсности, т. е. характеристики размеров частиц в дисперсных системах. Дисперсионный  анализ включает различные способы  определения размеров свободных  частиц в жидких и газовых средах, размеров каналов-пор в тонкопористых телах (в этом случае вместо понятия дисперсности используют равнозначное понятие пористости), а также удельной поверхности. Одни из методов дисперсионного анализа позволяют получать полную картину распределения частиц по размерам (объёмам), а другие дают лишь усреднённую характеристику дисперсности (пористости).

К первой группе относятся, например, методы определения размеров отдельных частиц непосредственным измерением (ситовой анализ, оптическая и электронная микроскопия) или по косвенным данным: скорости оседания частиц в вязкой среде (седиментационный анализ в гравитационном поле и в центрифугах), величине импульсов электрического тока, возникающих при прохождении частиц через отверстие в непроводящей перегородке (кондуктометрический метод).

Вторая группа методов  объединяет оценку средних размеров свободных частиц и определение  удельной поверхности порошков и  пористых тел. Средний размер частиц находят по интенсивности рассеянного  света (нефелометрия), с помощью ультрамикроскопа, методами диффузии и т.д., удельную поверхность - по адсорбции газов (паров) или растворённых веществ, по газопроницаемости, скорости растворения и др. способами. Ниже приведены границы применимости различных методов дисперсионного анализа (размеры частиц в метрах):

Ситовой анализ – 10-2-10-4

Седиментационный анализ в гравитационном поле – 10-4-10-6

Кондуктометрический метод  – 10-4-10-6

Микроскопия – 10-4-10-7

Метод фильтрации – 10-5-10-7

Центрифугирование – 10-6-10-8

Ультрацентрифугирование – 10-7-10-9

Ультрамикроскопия – 10-7-10-9

Нефелометрия – 10-7-10-9

Электронная микроскопия  – 10-7-10-9

Метод диффузии – 10-7-10-10

Дисперсионный анализ широко используют в различных областях науки и промышленного производства для оценки дисперсности систем (суспензий, эмульсий, золей, порошков, адсорбентов и т.д.) с величиной частиц от нескольких миллиметров (10-3 м) до нескольких нанометров (10-9 м).

 

 

Заключение

 

Современные приложения дисперсионного анализа охватывают широкий круг задач экономики, биологии и техники и трактуются обычно в терминах статистической теории выявления систематических различий между результатами непосредственных измерений, выполненных при тех или иных меняющихся условиях.

Благодаря автоматизации  дисперсионного анализа исследователь может проводить различные статистические исследования с применение ЭВМ, затрачивая при этом меньше времени и усилий на расчеты данных. В настоящее время существует множество пакетов прикладных программ, в которых реализован аппарат дисперсионного анализа. Наиболее распространенными являются такие программные продукты как:

- MS Excel;

- Statistica;

- Stadia;

- SPSS.

В современных статистических программных  продуктах реализованы большинство  статистических методов. С развитием  алгоритмических языков программирования стало возможным создавать дополнительные блоки по обработке статистических данных.

Дисперсионный анализ является мощным современным статистическим методом  обработки и анализа экспериментальных  данных в психологии, биологии, медицине и других науках. Он очень тесно связан с конкретной методологией планирования и проведения экспериментальных исследований.

 

Дисперсионный анализ применяется  во всех областях научных исследований, где необходимо проанализировать влияние  различных факторов на исследуемую переменную.