Теория массового обслуживания

Теория  массового обслуживания

      Основные  понятия теории массового обслуживания. Предметом изучения теории массового обслуживания (ТМО) являются процессы, в которых, с одной стороны, возникают запросы на выполнение каких-либо работ или услуг, а с другой стороны - производится удовлетворение этих запросов. Такие процессы реализуются в системах массового обслуживания (СМО).

      Та  часть СМО, в которой возникают  запросы, называется обслуживаемой подсистемой, а та часть СМО, которая принимает запросы и удовлетворяет их, называется обслуживающей подсистемой.

      Каждый  отдельный запрос на выполнение какой-либо работы называется заявкой, или требованием. Часть обслуживаемой подсистемы, которая в любой момент времени может послать только одно требование, называется источником требования, или объектом обслуживания. Обслуживанием называется удовлетворение поступившего в обслуживающую подсистему требования. Часть обслуживающей подсистемы, которая способна в любой заданный момент времени удовлетворять только одно требование, называется обслуживающим аппаратом. Обслуживающая подсистема - это совокупность однородных обслуживающих аппаратов (контролеров, наладчиков, рабочих, оборудования).

     Прикладные  задачи ТМО сводятся к тому, чтобы  установить оптимальное соотношение между числом поступающих на обслуживание требований и числом обслуживающих устройств, при котором суммарные расходы на обслуживание и убытки от простоя были бы минимальными.

     Поток требований - это последовательность возникающих во времени требований. Различают входящий и выходящий потоки и требований. По характеру потоки требований могут быть регулярными и стохастическими (вероятностными). В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от случайных факторов, т.е. и число требований, поступающих в систему в единицу времени, и интервал между требованиями - случайные величины.

      Среднее число требований, поступающих в  систему обслуживания в единицу времени, называется интенсивностью поступлений (X) и определяется по формуле

(1)

где Т - среднее значение интервала между поступлениями очередных требований.

      СМО с простейшими потоками требований обладают следующими свойствами: стационарностью, ординарностью и отсутствием последействия.

      Стационарным  называется поток, характер которого с течением времени не меняется.

      Ординарным  называется такой поток, в котором в любой момент времени может поступить не более одного требования.

     Потоком без последействия называется поток, в котором вероятность поступления определенного числа требований после какого-то произвольного времени t не зависит от числа требований, поступивших в систему до этого момента времени.

     Если  поток требований простейший, то его  можно описать количественно с помощью функции Пуассона:

 (2)

где Pk(t) - вероятность того, что в течение времени t в систему поступит точно к требований на обслуживание (к = 0,1,2 ...).

      Математически наличие простейшего потока требований можно определить с помощью статистической обработки данных. Одним из признаков закона распределения Пуассона является равенство математического ожидания случайной величины и ее дисперсии

 (3)

где XX - среднее число требований, поступивших на обслуживание за время t.

     Время обслуживания - это период, в течение которого удовлетворяется требование на обслуживание. Время нахождения требования в системе состоит из времени обслуживания и времени ожидания обслуживания. Время обслуживания одного требования - это случайная величина, характеризующаяся законом распределения, который определяется на основе статистических испытаний. На практике чаще всего исходят из гипотезы о показательном законе распределения времени обслуживания, в котором плотность распределения убывает с возрастанием времени.

     При показательном законе распределения  времени обслуживания функция распределения F(t)_o6ra, представляющая собой вероятность того, что время обслуживания будет меньше заданной величины t, описывается следующим образом:

где v - параметр системы обслуживания, величина, обратная среднему времени обслуживания, представляет собой интенсивность обслуживания одного требования одним аппаратом:

 
1 обсл

где Тобсл- среднее время обслуживания одного требования одним аппаратом. Параметр системы массового обслуживания а

 или                        (6)

      Параметр а показывает количество требований, поступающих в систему за среднее время обслуживания одного требования одним аппаратом. Поэтому количество обслуживающих аппаратов п не должно быть меньше а:

 (V)

     Если  это требование не выполняется, то очередь  будет расти и заявки не будут полностью выполнены.