Регрессионные модели и имитационные эксперименты

Регрессионные модели и имитационные эксперименты 

Термину регрессионная модель, используемому в регрессионном анализе, можно сопоставить синонимы: «теория», «гипотеза». Эти термины пришли из статистики, в частности из раздела «проверка статистических гипотез». Регрессионная модель есть прежде всего гипотеза, которая должна быть подвергнута статистической проверке, после чего она принимается или отвергается.

Регрессионная модель   — это параметрическое семейство функций, задающее отображение

где   — пространтсво параметров,   — пространство свободных переменных,   — пространство зависимых переменных.

Так как регрессионный  анализ предполагает поиск зависимости  матожидания случайной величины от свободных переменных  , то в её состав входит аддитивная случайная величина  :

Предположение о характере распределения случайной  величины   называются гипотезой порождения данных. Эта гипотеза играет центральную роль в выборе критерия оценки качества модели и, как следствие, в способе настройки параметров модели.

Модель является настроенной (обученной) когда зафиксированы  её параметры, то есть модель задаёт отображение

для фиксированного значения  .

Регрессионная модель объединяет широкий класс  универсальных функций, которые  описывают некоторую закономерность. При этом для построения модели в  основном используются измеряемые данные, а не знание свойств исследуемой закономерности. Такая модель часто неинтерпретируема, но более точна. Это объясняется либо большим числом моделей-претендентов, которые используются для построения оптимальной модели, либо большой сложностью модели. Нахождение параметров регрессионной модели называется обучением модели.

Недостатки  регрессионного анализа: модели, имеющие  слишком малую сложность, могут  оказаться неточными, а модели, имеющие  избыточную сложность, могут оказаться переобученными.

Примеры регрессионных  моделей: линейные функции, алгебраические полиномы, ряды Чебышёва, нейронные  сети без обратной связи, например, однослойный персептрон Розенблатта, радиальные базисные функции и прочее.

И регрессионная, и математическая модель, как правило, задают непрерывное отображение. Требование непрерывности обусловлено классом  решаемых задач: чаще всего это описание физических, химических и других явлений, где требование непрерывности выставляется естественным образом. Иногда на отображение   накладываться ограничения монотонности, гладкости, измеримости, и некоторые другие. Теоретически, никто не запрещает работать с функциями произвольного вида, и допускать в моделях существование не только точек разрыва, но и задавать конечное, неупорядоченное множество значений свободной переменной, то есть, превращать задачи регрессии в задачи классификации.

Имитационные  эксперименты как средство анализа  экономико-математических моделей  начали широко распространяться в шестидесятых годах.

Идея имитационного  эксперимента крайне проста.

В таких исследованиях  мы экспериментируем с различными вариантами воздействия на систему, поэтому  они получили название имитационных экспериментов.

Основное  достоинство имитационных экспериментов  состоит в том, что с их помощью  можно проанализировать очень сложные  модели — ведь описанный расчет достаточно прост и может быть легко осуществлен с помощью  ЭВМ.

Поэтому в  имитационном эксперименте разумно  исследовать лишь «наиболее интересные»  варианты управления.

При этом исследование выходит за рамки имитационного эксперимента — в нем начинает использоваться совокупность различных методов и моделей, объединенных в так называемую имитационную систему.

Более того, практически еще совсем не разработаны  сами принципы проверки адекватности моделей и методов — а ведь в экономике эта задача является значительно более сложной из-за отсутствия возможности проведения натурного эксперимента.

Иногда для  получения исходной информации проводят специальные исследования — натурные эксперименты или анализ статистических отчетов.

Так, для изучения математических моделей с помощью  метода имитационных экспериментов  разработаны специализированные языки  динамо, симула и т.д.

В имитационных экспериментах задаются внешние воздействия на модель и рассчитываются последствия этих воздействий.

Основная  трудность, с которой приходится сталкиваться при проведении имитационных экспериментов, состоит в необходимости  проанализировать огромное число вариантов  внешних воздействий для того, чтобы хотя бы приближенно представить себе возможности изучаемой системы.

Пожалуй, наиболее известным примером использования  физического моделирования является исследование летательных аппаратов  на основе экспериментов в аэродинамической трубе.

Модели такого типа широко используются в физике при проведении исследований, которые  принято называть мысленными экспериментами.

В таком случае приходится прибегать к имитационным экспериментам на вычислительной машине, которые в данном случае называются методами Монте-Карло.

Подводя итог, надо подчеркнуть, что, несмотря на огромное число публикаций в области теоретического анализа систем массового обслуживания, в большинстве случаев теоретические  методы все-таки не дают возможности  получить результат, интересующий исследователя, так что приходится прибегать  к методу экспериментов на вычислительной машине — к имитации.

Попытки ее реализовать  проявились в нашей стране в так  называемых «экономических экспериментах», которые начали проводиться со второй половины шестидесятых годов.

Возникает вопрос о том, можно ли подобные исследования считать экспериментами на основе материальных моделей или они являются исследованиями какого-либо другого типа.

Для ответа на этот вопрос целесообразно сравнить «экономические эксперименты» с  экспериментами в естественных науках.

Проводя исследование модели самолета в аэродинамической трубе, исследователь знает, какие  параметры самолета и потока набегающего  газа влияют на результаты эксперимента, каким образом отличие этих параметров в модельном эксперименте от параметров самолета и атмосферы связано  с отличием в интересующих его  силах и температурах и т.д.

В «экономических экспериментах» дело обстоит иначе.

Если же система  хранения запасов имеет сложную  структуру (имеется много видов  хранимой продукции и иерархическая  система складов), используемые вероятностные  распределения сложны, а их параметры  меняются со временем, то единственным средством анализа становятся имитационные эксперименты, установленные для одного предприятия, но проводить такой анализ для всех предприятий, на которые будут переноситься результаты «экономического эксперимента», попросту невозможно.

Наличие социально-экономических  факторов, которые не могут быть измерены и проконтролированы в  «экономическом эксперименте», не позволяет  считать такое исследование модельным  экспериментом, его скорее можно  сопоставить с полевым испытанием в технике.

Мы уже говорили о трудностях, возникающих - при проведении экспериментов с экономическими системами и состоящих в наличии человеческих, социально-психологических факторов, играющих важную а зачастую решающую роль в экономических явлениях.

Кроме того, в банке данных хранятся различные  сценарии (варианты экзогенных переменных — внешних условий и управляющих  воздействий), предназначенные для  проведения имитационных экспериментов, а также результаты расчетов.

В соответствии с этим в блоке математических моделей выделяется основная, наиболее подробная модель, которая используется для проведения имитационных экспериментов.

Надо отметить, что последний термин представляется довольно неудачным, поскольку имитационный эксперимент можно провести с  любой математической моделью и  в то же время хотя бы простейшие свойства модели любой степени сложности  можно получить с помощью аналитических  методов.

Этот блок позволяет оценить потенциальные  последствия совокупности возможных  решений и выработать не слишком  большое число разумных вариантов  воздействия, которые в дальнейшем должны быть проверены и уточнены в экспериментах с моделью  имитационного уровня.

При этом матрица  решений строится с помощью имитационных экспериментов с моделью, что  позволяет применить эти многокритериальные методы для принятия решений на основе сложных математических моделей  изучаемых систем.

В этой модели отдельные блоки (подмодели) должны быть согласованы и обеспечены исходной информацией, что позволит проводить  на ее основе имитационные эксперименты с различными вариантами решений  ЛПР.

Как уже говорилось, построенная модель, описывающая  изучаемый объект достаточно подробно, обычно настолько сложна, что имитационные эксперименты остаются единственным методом  ее исследования, причем обычно удается  провести лишь довольно малое число просчетов, поскольку каждый из них оказывается весьма трудоемким — он требует больших затрат машинного времени.

Поэтому в  имитационной системе, кроме основной модели, строится блок вспомогательных  упрощенных моделей, предназначенных  для предварительного грубого анализа  проблемы в целом и выбора тех  вариантов решения, которые стоит  проверять в имитационных экспериментах  с основной моделью.

Анализ упрощенных моделей с помощью быстрых  алгоритмов должен позволить отобрать небольшое число вариантов решения, которые будут изучены с помощью  имитационных экспериментов на основной модели. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Модели  и методы прогнозирования  экономического роста 

Наибольшее  распространение для прогнозирования  экономического роста получили факторные  модели, то есть модели, в которых  прирост продукта или абсолютный его выпуск ставится в зависимость  от одного или нескольких факторов.

Наиболее  приемлемой для анализа динамики экономического роста на макроуровне  является двухфакторная модель в  форме производственной функции  Кобба-Дугласа, показывающая зависимость общего выпуска продукции от двух факторов капитала и труда:

                       а     в

          Уt = Аt × Kt × Lt, где

Уt- объем валового внутреннего продукта в году t;

Аt- нормирующий параметр, приводящий масштаб и размерность фактора к масштабу и размерности продукта Уt, отражающий влияние неучтенных в модели факторов и меняющихся условий производства;

Кt – объем основного капитала (производственных фондов);

Lt- объем занятого в народном хозяйстве живого труда;

а – характеризует  эластичность объема и динамики продукта Уt от объема и динамики производственных фондов, или показывает прирост Уt, приходящийся на единицу прироста Кt (при Lt = const);

в – характеризует  эластичность объема и динамики продукта Уt от объема и динамики затрат живого труда, или показывает прирост Уt, приходящийся на единицу прироста Lt (при Кt = cons);

а и в –  расчетные показатели

Используя эти  показатели, можно определить объем  ВВП в интересующем нас году. При  помощи логарифмического дифференцирования  производственную функцию можно  выразить в показателях среднегодовых  темпов прироста.

     Уt = а Кt + в   Lt, где

   Уt  -  среднегодовой прирост ВВП за период времени t;

  Кt - прирост основного капитала (производственных фондов) за период времени t;

   Lt - прирост затрат живого труда за период времени t.

В зависимости  от величины суммы показателей  а и в могут иметь место три типа экономического роста.

1. Выражение а + в > 1 означает, что если факторы производства возрастают в n раз, то выпуск продукции увеличивается более чем в n раз, тем самым рост производства опережает рост совокупных затрат факторов. Это случай интенсивного роста, при этом, если а > в, то имеет место фондосберегающий рост, а если в > а, то - трудосберегающий рост.
2. Выражение а + в < 1 означает, что выпуск продукции увеличивается медленнее по сравнению с ростом затрат факторов производства. При этом снижается их суммарная эффективность и происходит деинтенсификация роста, то есть его падение.
3. Выражение а + в = 1 означает, что выпуск продукции увеличивается пропорционально затратам факторов производства. При этом их суммарная экономическая эффективность остается неизменной и происходит чисто экстенсивное расширение производства.