Применение методов принятия оптимальных решений в реальной экономике

Основным подходом к  решению детерминированных задач Р. т. является общая алгоритмическая схема последовательного анализа вариантов. Именно на этом пути удалось решить наиболее адекватные практике задачи, отработать оптимизационные процедуры планирования работ во времени (календарное планирование), реализуемые в автоматизированных системах управления. Вместе с тем для ряда детерминированных задач получены быстродействующие решающие правила, доказаны необходимые и достаточные условия их применимости, предложены эффективные приемы, имеющие значение для дискретной оптимизации в целом (см., напр., [1]-[4]). При разработке таких оптимизационных алгоритмов находят применение, в частности, результаты графов теории и математическое программирования. Опубликованные в начале 70-х гг. 20 в. работы по теории NP -полноты привели к появлению многочисленных исследований сложности задач теории расписаний. Результаты этих исследований повысили интерес к алгоритмам приближенного решения и оценке точности таких алгоритмов. Для многих подходов и приемов решения задач дискретной оптимизации теории расписаний представляет легко формулируемые практически значимые "пробные камни" - примеры.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Практические вопросы

1. Решение задач на основе балансовой модели

 

Баланс четырех отраслей за предыдущий период имеет матрицу межотраслевых производственных связей вида   и матрицу валовой продукции вида  . Необходимо определить конечный продукт Y и чистый продукт C каждой отрасли.  
     Конечный продукт Y получается в результате вычитания из каждого элемента матрицы валовой продукции суммы элементов  соответствующих строк матрицы  . Например, первое значение   равно 100-(10+20+15+10)=45. Чистый продукт С получается в результате вычитания из каждого элемента матрицы валовой продукции Х суммы элементов соответствующих столбцов матрицы  . Например, первое значение   равно 100-(10+5+25+20)=40. В результате, получим основную балансовую таблицу: 
 
        
     Поставим теперь другую задачу: рассчитаем конечный продукт каждой отрасли на будущий период, если валовой продукт окажется равным  . Для решения этой задачи найдем коэффициенты прямых затрат:  . 
     По формуле (1.5.6) получим  
      , 
       
     Важнейшей задачей межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат А (или при возможности рассчитать этот показатель) обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y. 
     Из уравнения (6) можно выразить валовой продукт:  
      .                                            (1.5.7) 
     Матрица   называется матрицей полных затрат. Каждый элемент   матрицы S есть величина валового  выпуска продукции j-й отрасли,  необходимого  для обеспечения выпуска единицы конечного продукта i-й отрасли. 

 

 

 

 

 

 

 

2. Решение задач на основе динамического программирования

 

Задача о  выборе наиболее экономного маршрута доставки груза.

На данной сети дорог  имеется несколько маршрутов, по которым можно доставлять груз из пункта 1 в пункт 10 (рис. 1). Известны стоимости  перевозки единицы груза между  отдельными промежуточными пунктами сети (они проставлены на сети у соответствующих ребер). Требуется в системе дорог выбрать маршрут доставки груза из пункта 1 в пункт 10, которому соответствует наименьшие затраты.

 

рис. 1

 

Для решения задачи методом динамического программирования разобьем все пункты сети на группы (табл. 1).

 

Таблица 1

I	II	III	IV	V
1	2 3 4	5 6 7	8   9	10

 

К группе I отнесем пункт 1, к группе II – пункты, в которые можно попасть из пункта 1 (таковыми будут 2; 3; 4), к группе III отнесем пункты, в которые можно попасть непосредственно из любого пункта группы II (таковыми будут 5; 6; 7), и т.д. в результате движение транспорта с грузом из пункта 1 в пункт 10 примет поэтапный характер: на первом этапе транспорт перемещается из пункта 1 в какой-то пункт группы II, на втором этапе – из пункта группы II в пункт группы III и т.д. Вместе с этим и процесс нахождения наиболее экономного маршрута из пункта 1 в пункт 10 распадается на шаги. На каждом шаге надо так выбрать маршрут следования груза в пункт соседней группы, чтобы доставка груза по всему маршруту была сопряжена с минимальными затратами. Избранный нами подход к решению задачи учитывает особенности сети, изображенной на рис. 1: после разбиения на группы пункты, оказавшиеся в одной и той же группе, дорогами не соединены.

Применительно к рассматриваемой  задаче принцип оптимальности можно  сформулировать так: оптимальный маршрут  доставки груза из пункта 1 в пункт 10 обладает тем свойством, что, каков  бы ни был маршрут достижения некоторого промежуточного пункта сети, дальнейший маршрут следования должен совпадать с оптимальным маршрутом для части маршрута, начинающейся с этого пункта.

В данном случае процесс  состоит из четырех шагов (рис. 2). Будем оптимизировать каждый шаг, начиная  с последнего – четвертого. На этом шаге в пункт 10 можно попасть из пункта 8 или 9, причем из каждого пункта только одним способом. Если предпоследний, третий, шаг привел груз в пункт 8, то дальше следует двигаться по маршруту 8 – 10, и затраты на перевозку единицы груза будут равны единице; если же в пункт 9 – то следует двигаться по маршруту 9 – 10, на котором затраты составят 4 единицы. Условное оптимальное решение помечаем на сети стрелкой, выходящей из соответствующего кружка, а величину затрат записываем в нижней половинке кружка.

 

1 шаг 2 шаг 3 шаг 4 шаг

рис.2

 

Переходим к оптимизации  предпоследнего, третьего, шага. Для  этого рассмотрим все возможные  исходы предшествующего, второго, шага. После этого шага груз может оказаться  только в одном из пунктов – 5,6,7. Для каждого пункта выбираем условное оптимальное решение – оптимальный маршрут в пункт 10 и соответствующие минимальные затраты. Так, если груз оказался в пункте, 5, то далее можно следовать либо через пункт 8, либо через пункт 9. В первом случаи затраты равны 7+1=8 единицам, во втором – 5+4=9 единицам. Значит, условный оптимальный маршрут из пункта 5 в пункт 10 проходит через пункт 8, а условные минимальные затраты составляют 8 единиц. На ребре 5 – 8 сети ставим стрелку, а в кружке 5 записываем минимальные затраты: 8=7+1. ребро 5 – 9 остается без стрелки. Аналогично для пункта 6 находим условно-оптимальный маршрут 6 – 8 – 10 с затратами в 4 единицы; для пункта 7 – условно-оптимальный маршрут 7 – 9 – 10 с затратами в 5 единиц.

Далее оптимизируем путь доставки груза на втором шаге процесса. Для этого рассматриваем все возможные исходы первого шага. После первого шага груз мог оказаться только в одном из пунктов: 2, 3 или 4. При нахождении условного оптимального решения в каждом из этих пунктов надо просмотреть все возможные маршруту их этого пункта и для каждого из них найти сумму затрат на этом шаге и условных минимальных затрат на оптимальном продолжении маршрута, уже построенном для следующего пункта. Этого требует принцип оптимальности. Из всех возможных маршрутов выбирается тот, для которого эта сумма меньше (если суммы равны, выбирается любой маршрут). Для пункта 2 оптимальным будет маршрут 2 – 6 – 8 – 10 с затратами 12+4=16 единиц; для пункта 3 – маршрут 3 – 7 – 9 – 10 с затратами 7+5=12 единиц; для пункта 4 – маршрут 4 – 7 – 9 – 10 с затратами 13+5=18 единиц.

Оптимизируем, наконец, первый шаг. Для выбора условного оптимального решения рассматриваем три возможных  маршрута: через пункты 2, 3 или 4. Устанавливаем, что наивыгоднейшим будет маршрут 1 – 3 с затратами в 17 единиц. Итак, этап условной оптимизации закончен, и остается пройти процесс в направлении от пункта 1 к пункту 10 и прочитать оптимальный маршрут: 1 – 3 – 7 – 9 – 10.

Заметим, что на первом этапе нами выбран маршрут 1- 3 доставки груза, по которому затраты в 2,5 раза превышают затраты на маршруте 1 – 2 и в 5 раз на маршруте 1 – 4. Оказалось, что с точки зрения всего четырехэтапного маршрута, а не одного первого этапа, следует пойти на «жертву» на первом этапе с тем, чтобы минимизировать общие затраты на всем четырехэтапном маршруте. Это иллюстрирует одну из главных особенностей метода: выбирать решение на каждом шаге, руководствуясь не выгодой, получаемой на данном шаге, а общей выгодой, получаемой по окончании всего процесса.

Примененный метод рассуждения не только позволил найти оптимальный маршрут доставки груза из пункта 1 в пункт 10, но и всю структуру оптимальных маршрутов относительно пункта 10 для данной сети дорог. Например, наиболее экономный маршрут доставки груза из пункта 4 в пункт 10 пройдет через пункты 7 и 9. Этот факт для практических нужд часто более ценен, чем нахождение только одного оптимального маршрута (рис. 3). (4)

 

рис. 3

 

Выводы

 

Реальные экономические  процессы весьма сложны. При их математическом описании приходится учитывать множество различных факторов. Применение методов математического программирования для решения теоретических и практических задач экономики важно для более рационального, оптимального использования, имеющихся ресурсов. Математическое моделирование экономических процессов и явлений является наиболее совершенным и вместе с тем наиболее эффективным методом исследования, ибо в этом случае появляется возможность широкого использования современных средств математического анализа.

Рассмотренный метод динамического программирования в практическом применении имеет как недостатки, так и преимущества. Отметим, что методом динамического программирования можно решать даже те задачи, которые не могут быть решены методами математического анализа. Однако он связан с большой вычислительной работой, в связи с этим метод непосредственно может быть применен к экономическим задачам, включающим не более 3 – 4 видов ресурсов.

Одна из важнейших  переменных, от которой зависит успех  организации, - конкурентоспособности. Очевидно, способность прогнозировать действия конкурентов означает преимущество для любой организации. Теория игр – метод моделирования оценки воздействия принятого решения на конкурентов. Применение сетевого планирования и управления в сельском хозяйстве носит пока ещё экспериментальный характер и ограничивается составлением планов на короткие напряженные рабочие периоды.

А вот к теории расписаний относятся вопросы, связанные с  построением оптимальных расписаний (календарных планов, графиков) выполнения конечных (или повторяющихся) комплексов операций. Область приложения результатов теории расписаний включает в себя управление производством, транспортом, строительством, вычислительными системами и др.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

 

 

1. Моделирование экономических процессов / Власов М. П., ; - «Феникс», 2005.
2. Математические методы в экономике / Замков О. О.,: - «Дело и сервис», 2001
3. Динамическое программирование / Брызгалов Е.В. :– М, 2001
4. Экономико-математические методы в организации и планировании сельскохозяйственного производства, Браславец М.Е. 1999