Моделi динамiки

3. Визначення коефіцієнтів  лага

    Лаг – це деякий термін часу, через який зміна фактора-аргументу економетричної моделі зумовлює зміну значень результативного показника.

    Формально вважається, що змінна х випереджує змінну y, а змінна y при цьому запізнюється по відношенню до змінної х, якщо в  рівнянні регресії виду 

               (3) 

cукупність коефіцієнтів (b1, b2,…,) статистично значуща для деякого n, або ж якщо гіпотезу про те, що всі ці коефіцієнти одночасно рівні нулю можна відкинути при деякому заданому рівні значущості.

    Величину t, що характеризує запізнення впливу фактора  на результат, в економетрії називають  лагом, а часові ряди самих факторних змінних зсунутих на один або декілька моментів часу – лаговими змінними.

    Розробка  економічної політики як на макро-, так і на мікрорівні потребує вирішення  задач, які визначають величину впливу значень керованих змінних поточного  періоду на майбутні значення економічних  показників.

    Наприклад, як інвестиції в промисловість вплинуть на валову додану вартість цієї галузі економіки майбутніх періодів або  як може змінитися обсяг внутрішнього валового продукту (ВВП), виробленого  в період t під дією збільшення грошової маси у попередніх періодах.

    У лагових моделях є два важливих часткових випадки: моделі з лаговими незалежними (пояснювальними) змінними (моделі із розподіленим лагом) 

              (4) 

і авторегресійні моделі з лаговими залежними змінними 

          (5) 

    Поряд із лаговими значеннями незалежних або  факторних змінних на величину залежної змінної поточного періоду можуть впливати її значення в минулі періоди.

    Наприклад, споживання в момент часу t формується під дією доходу поточного та попереднього періодів і під дією обсягу споживання минулих періодів. Ці процеси описують за допомогою моделей регресії, які  містять в якості факторів лагові значення залежних змінних і називаються  моделями авторегресії.

    Розглянемо  основні причини появи лагових  змінних.

    Причиною  появи лагових змінних може бути механізм формування економічних показників:

    - інфляція, яка певною мірою також є інвестиційним процесом;

    -  грошовий мультиплікатор (створення грошей у банківській системі) також проявляє себе на певному часовому інтервалі.

    Побудова  моделей з розподіленим лагом  і моделей авторегресії має свою специфіку.

      По-перше, оцінка параметрів моделі  авторегресії, а в більшості випадків  і моделі з розподіленим лагом  не може бути проведена з  допомогою звичайного МНК через порушення його передумов і потребує спеціальних статистичних методів.

      По-друге, аналітикові доводиться  вирішувати проблему вибору оптимальної  величини лага та визначення  його структури. 

    По-третє, між моделями з розподіленим лагом  і моделями авторегресії існує певний взаємозв’язок. 
 

4. Характеристика авторегресійних  моделей.

    Враховуючи  загальний вигляд авторегресійної  економетричної моделі (6), дослідимо  таку модель: 

                             (6) 

    Як  і в моделі з розподіленим лагом, коефіцієнт b0 характеризує короткотермінову зміну yt під дією зміни хt на одиницю. Проміжні та довготермінові мультиплікатори в моделях авторегресії дещо інші. До моменту часу t+1 результат yt змінюється під дією зміни досліджуваного фактора в момент часу t на b0 одиниць, а yt+1 – під дією своєї зміни в безпосередньо попередній момент часу на с1 одиниць.

      Таким чином, загальна абсолютна зміна результату в момент часу t+2 складає одиниць.

    Отже, довготерміновий мультиплікатор у  моделі авторегресії можна розрахувати  як суму короткотермінового та проміжного мультиплікаторів:

                       (7) 

    Враховуючи, що практично в усіх моделях авторегресії вводиться так звана умова  стабільності, яка полягає в тому, що абсолютна величина коефіцієнта регресії при змінній yt-1 менша від 1, тобто , вираз (8) набуває вигляду: 

             (8) 

    Така  інтерпретація коефіцієнтів b моделі авторегресії і розрахунок довготермінового мультиплікатора базується на припущені про наявність нескінченного лага впливу поточного значення залежної змінної на її майбутнє значення.

    При побудові моделей авторегресії виникають серйозні проблеми.

    Перша проблема пов’язана з вибором  методу оцінки параметрів рівняння авторегресії. Присутність лагових значень  результативної ознаки в правій частині  рівняння призводить до порушення передумови МНК про поділ змінних на результативний (стохастичний) показник і фактори-аргументи, які є не стохастичними.

    Друга проблема в тому, що оскільки в моделі авторегресії насправді є залежність між поточними значеннями результату yt i поточними значеннями залишків ut, то очевидним є те, що між часовими рядами yt-1 і ut-1 також існує взаємозв’язок. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. МОДЕЛЮВАННЯ ОДНОМІРНИХ  ТИМЧАСОВИХ РЯДІВ. 

    Часовий ряд - це сукупність значень якого - небудь показника за

кілька послідовних  моментів або періодів часу.

    Основне завдання економетричного дослідження  окремого часового ряду  - виявлення  і додання  кількісного виразу наступним компонентам:

    - циклічності  коливання ;

    - сезонності  коливання ;

    - тіндовій  та випадковій складової.

    Даний аналіз використовується для прогнозування  майбутніх значень ряду або при  побудові моделей взаємозв'язку двох або більш часових рядів.

    За  наявності в часовому ряді тенденції  и циклічних коливань значення кожного  подальшого рівня ряду залежить від  попередніх. кореляційну залежність між послідовними рівнями часового ряду називають автокореляцією уровнів ряду.

    Кількісно її можна зміряти за допомогою  лінійного коєфіцієнту   кореляції  між рівнями  часового ряду  і  рівнями цього ряду, зсунутими  на декілька кроків в часі.

    Кожен рівень часового ряду формується за впливом великого числа факторів, які умовно можна підрозділити на три групи:

        - чинники, що формують тенденцію ряду;

        - чинники, що формують циклічні коливання ряду;

        - випадкові фактори.

      Адитивна модель тимчасового ряду - це модель, в якій тимчасової

ряд представлений  як сума перерахованих компонент.

    Мультиплікативна  модель - модель, в якій тимчасової ряд представлений як добуток перерахованих компонент.

        Автокорреляция рівнів ряду - кореляційна залежність між

послідовними  рівнями часового ряду.

    Лаг - число періодів, за якими розраховується коефіцієнт

автокореляції.

    Властивості  коефіцієнта автокореляції:

        - він будується за аналогією з лінійним коефіцієнтом кореляції і

таким чином  характеризує тісноту тільки лінійного  зв'язку поточного і попереднього рівнів ряду;

        - за знаком коефіцієнта автокореляції не можна робити висновок про

зростаючому або  спадної тенденції в рівнях ряду.

Послідовність коефіцієнта автокореляції рівнів першого, другого

і т.д. порядків називають автокорреляционной функцією тимчасового порядку.

Графік залежності її значень від величини лага називається  коррелограммой.

        Аналітичне вирівнювання часового ряду - це побудова

аналітичної функції, що характеризує залежність рівнів ряду від часу,

або тренда.

    Кусково-лінійні  моделі регресії - розділення початкової  сукупності на

два подсовокупности (до часу t * і після моменту t *) і  побудувати окремо

по кожній подсовокупности  рівняння лінійної регресії. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    4. ЧАСОВИЙ РЯД.  ТРЕД.

    Для багатьох економічних процесів типовим  є те, що ефект від впливу деякого  фактора на показник, який характеризує процес, виявляється не одразу, а поступово, через деякий період часу. Таке явище називається лагом (запізненням).

    Потреба враховувати лаг при кількісному  вимірюванні взаємозв'язку між економічними показниками постає дуже часто.

    Наприклад, у динамічних моделях необхідно враховувати лаг при визначенні зв'язку між обсягом продукції і капітальними вкладеннями, або частину цього лагу — будівельний.

    Кількісне вираження взаємозв'язку між капітальними вкладеннями і введенням основних фондів, між витратами виробничих ресурсів і обсягом виробництва, між доходами і витратами, тощо, має базуватися на врахуванні впливу запізнення, або лагу. Причому вплив деяких пояснювальних змінних на залежну може проявлятися не лише через певний період часу, а й протягом певного часу, тобто лаг може складатись з кількох часових періодів. У такому разі маємо справу з економеїричною моделлю розподіленого лагу.

Нехай економетрнчна  модель розподіленого лагу визначається так:

            

    (1)

де 

 — параметри моделі при лагових змінних;

 — пояснювальна лагова змінна;

t — період зрушення;

  — залишки, що розподілені нормально, тобто мають нульове математичне сподівання і сталу дисперсію.

    Означення. Модель (1) називається загальною моделлю нескінченого розподіленого лагу, якщо для неї справджуються такі умови:

1) (2)

2) (3)

3)

де

w — скінченне число;  (4)

  4)  (5)

  5)   (6)

Означення. Коефіцієнти називаються коефіцієнтами лагу, а послідовність — структурою лагу.

Означення. Якщо виконуються умови (6.32) — (6.35), то величини називаються нормованими коефіцієнтами лагу, а послідовність                                                                — нормованою структурою лагу для моделі (6.30).

    Моделі  розподілених лагів можуть задовільно описувати процеси лише в тому разі, коли забезпечена відносна стабільність умов, в яких ці процеси реалізуються. Може йтися про стабільність відповідних індексів цін, процентних ставок за кредити, норми амортизації, термінів будівницгва, обсягу та структури ресурсів. Така стабільність далеко не завжди спостерії гається для порівняно довгих проміжків часу, прогягом яких формуєгься сукупність спосгережень. Усе це підводить до побудови узагальненої моделі розподіленого лагу, яка містить не лише лагові змінні, а й інші фактори — пояснювальні змінні значення яких характеризуюіь поточні умови функціонування економічних систем у період t.

    Узагальнена модель розподіленого лагу задаватиметься рівнянням

                            (7)

    Труднощі  оцінювання параметрів такої моделі пов'язані з цеоб-хідніспо враховувати  обмеження на параметри at. 

Вивчення  взаємозв'язків по часових рядах. 

        Для того щоб отримати коефіцієнти  кореляції, що характеризують