Методы и модели в экономике

Иногда скользящие средние применяют как предварительный этап перед моделированием тренда с помощью процедур, относящихся к аналитическому подходу.

Скользящие средние позволяют  сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса, и поэтому служат важным инструментом при фильтрации компонент временного ряда.

Алгоритм сглаживания  по простой скользящей средней может быть представлен в виде следующей последовательности шагов:

1. Определяют длину интервала  сглаживания l , включающего в себя l последовательных уровней ряда ( l < n). При этом надо иметь в виду, что чем шире интервал сглаживания, тем в большей степени взаимопогашаются колебания, и тенденция развития носит более плавный, сглаженный характер. Чем сильнее колебания, тем шире должен быть интервал сглаживания.

2. Разбивают весь период  наблюдения на участки, при  этом интервал сглаживания как бы скользит по ряду с шагом, равным 1.

3. Рассчитывают средние арифметические из уровней ряда, образующих каждый участок.

4. Заменяют фактические  значения ряда, стоящие в центре каждого участка, на соответствующие средние значения.

При этом удобно брать длину  интервала сглаживания l в виде нечетного числа: l = 2p + 1, т.к. в этом случае полученные значения скользящей средней приходятся на средний член интервала.

Наблюдения, которые берутся  для расчета среднего значения, называются активным участком сглаживания.

При нечетном значении l все уровни активного участка могут быть представлены в виде:

 

Процедура сглаживания приводит к устранению периодических колебаний во временном ряду, если длина интервала сглаживания берется равной или кратной периоду колебаний.

Для устранения сезонных колебаний  часто требуется использовать четырех- и двенадцатичленные скользящие средние, но при этом не будет выполняться условие нечетности длины интервала сглаживания. Поэтому при четном числе уровней принято первое и

последнее наблюдение на активном участке брать с половинными  весами:

 

В (2.3) каждый активный участок  содержит 5 уровней, в (2.4) —13, при этом крайние уровни имеют половинные весовые коэффициенты.

При использовании скользящей средней с длиной активного участка l = 2p + 1 первые и последние p уровней ряда сгладить нельзя, их значения теряются. Очевидно, что потеря значений последних точек является существенным недостатком, так как для исследователя последние «свежие» данные обладают наибольшей информационной ценностью.

Рассмотрим один из приемов, позволяющих восстановить потерянные значения временного ряда при использовании простой скользящей средней. Для этого необходимо:

1). Вычислить средний абсолютный  прирост на последнем активном  участке

 

2) Получить p сглаженных значений  в конце временного ряда путем последовательного прибавления среднего абсолютного прироста к последнему сглаженному значению.

Аналогичную процедуру можно  реализовать для оценивания первых уровней временного ряда.

Метод простой скользящей средней применим, если графическое изображение динамического ряда напоминает прямую. Когда тренд выравниваемого ряда имеет изгибы и для исследователя желательно сохранить мелкие волны, то применение простой скользящей средней нецелесообразно.

Если для процесса характерно нелинейное развитие, то простая скользящая средняя может привести к существенным искажениям. В этих случаях следует обратиться к взвешенной скользящей средней.

 

2.2. Использование  взвешенных скользящих средних

При построении взвешенной скользящей средней на каждом активном участке значение центрального уровня заменяется на расчетное, определяемое по формуле средней арифметической взвешенной:

 

Простая скользящая средняя учитывает все уровни ряда, входящие в активный участок сглаживания, с равными весами (wi), а взвешенная средняя приписывает каждому уровню вес, зависящий от удаления данного уровня до уровня, стоящего в середине активного участка. Это вызвано тем, что при простой скользящей средней выравнивание на каждом активном участке производится по прямой (полиному первого порядка), а при сглаживании по взвешенной скользящей средней используются полиномы более высоких порядков, чаще всего — 2-го или 3-его порядка. Поэтому метод простой скользящей средней может рассматриваться как частный случай метода взвешенной скользящей средней.

Выравнивание с помощью  взвешенной скользящей средней осуществляется следующим образом.

Для каждого активного  участка подбирается полином  вида

 

 

коэффициенты которого оцениваются с помощью метода наименьших квадратов (МНК). При этом начало отсчета (начало координат) переносится в середину активного участка.

Например, для длины интервала  сглаживания l = 7 рассматриваются моменты времени t: –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3.

Тогда сглаженным значением  для уровня, стоящего в середине активного участка, будет значение параметра a0 подобранного полинома.

Нет необходимости каждый раз заново вычислять весовые коэффициенты при уровнях ряда, входящих в активный участок сглаживания, так как они будут одинаковыми для каждого активного участка.

Проиллюстрируем процедуру  определения весовых коэффициентов на следующем примере.

Пусть длина интервала  сглаживания l = 5 , а локальное поведение сглаженного временного ряда внутри каждого активного участка описывается с помощью полинома второго порядка. Перенесем начало координат в середину временного интервала, т.е. будем рассматривать моменты времени: t = –2, –1, 0, 1, 2.

Неизвестные коэффициенты полинома второй степени оцениваются с помощью МНК, т.е. находятся коэффициенты минимизирующие функционал:

 

 

 

Сглаженное значение в  центральной точке активного участка определяется коэффициентом а0, который входит в первое и третье уравнения системы (2.6). Поэтому из уравнений (1) и (3) системы (2.6) определим выражение для коэффициента а0:

При этом весовые коэффициенты, найденные для сглаживания по полиномам четной степени m = 2k, будут неизменными при использовании полиномов степени m′ = 2k +1 (т.е. для полиномов на единицу большей нечетной степени).

В таблице 2.1 представлены весовые  коэффициенты в зависимости от длины интервала сглаживания (при сглаживании по полиному 2-го или 3-го порядка).

Так как веса симметричны  относительно центрального уровня, то в таблице использована символическая запись: приведены веса для половины уровней активного участка; выделен вес, относящийся к уровню, стоящему в центре участка сглаживания. Для оставшихся уровней веса не приводятся, т. к. они могут быть симметрично отражены.

Отметим важные свойства весовых  коэффициентов:

1) Они симметричны относительно  центрального уровня.

2) Сумма весов с учетом  общего множителя, вынесенного  за скобки, равна единице.

3) Наличие как положительных,  так и отрицательных весов, позволяет сглаженной кривой сохранять различные изгибы кривой тренда. Проиллюстрируем использование таблицы 2.1 на примере вычисления 5-членной взвешенной скользящей средней. В этом случае центральное значение на каждом активном участке будет оцениваться по формуле:

 

где соответствующие весовые  коэффициенты уровней –3/35, 12/35, 17/35 взяты  из первой строки табл. 2.1

Разработаны специальные  приемы, позволяющие восстанавливать потерянные значения временного ряда (краевые значения) при использовании взвешенной скользящей средней. При длине активного участка l = 2p + 1 для восстановления p первых и p последних потерянных уровней анализируемого временного ряда, как правило, используются расчетные значения, полученные с помощью аппроксимирующих полиномов той же степени, что и для сглаживания остальных членов ряда. Причем неизвестные коэффициенты полиномов определяются соответственно по l = 2p + 1 первым и последним уровням временного ряда.

Следует отметить, что процедуры  скользящих средних представляют собой важное аналитическое средство, обладая рядом бесспорных достоинств (простота вычисления и интерпретации и др.), однако при этом их использование требует определенного опыта исследователя. На практике скользящие средние широко применяются совместно с кривыми роста, используются при оценивании сезонной составляющей во временных ряда, в процедурах сезонной корректировки. Также они служат важным инструментом исследования в техническом анализе товарных и финансовых рынков.

 

 

 

 

Список используемой литературы

1. Дуброва Т.А. Статистические  методы прогнозирования в экономике. МЭСИ (МВБШ) — М.,1999.

2. Дуброва Т.А. Статистические  методы прогнозирования. УПП,  МЭСИ-М., 2004.

3. Статистическое моделирование  и прогнозирование. Учебное пособие. (Под ред. А. Г. Гранберга). М., «Финансы и статистика», 1990.

4. Экономико-математические  методы и прикладные модели. (Под ред. В.В. Федосеева). М., «Юнити», 1999.

5. Андерсон Т. Статистический  анализ временных рядов. М., «Мир», 1976.

6. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. М., «Юнити», 1998.

7. Кендэл М. Временные ряды. М., «Финансы и статистика», 1981.

8. Кильдишев Г. С., Френкель А. А. Анализ временных рядов и прогнозирование. М., «Статистика», 1973.

9. Лугачев М.И., Ляпунцов Ю.П. Методы социально-экономического прогнозирования.— М., Экономический факультет МГУ, ТЕИС,1999.

10. Половников В. А. Анализ  и прогнозирование транспортной работы морского флота. М., «Транспорт», 1983.

11. Четыркин Е. Н. Статистические  методы прогнозирования. М., «Статистика», 1975.

12. Льюис К.Д. Методы  прогнозирования экономических показателей. «Финансы и статистика», 1986.

Интернет-ресурсы:

1. http://www.infosport.ru/press/tpfk/1997N7/p31-37.htm

2. http://strategy.narod.ru/avtorev/statdem.htm

3. http://www.ocnit.tsu.tula.ru/ecology/Book/ecology_book.html

4. http://www.sbcinfo.ru/articles/7th_1999conf/2_30.htm

5. http://www.lenexpo.spb.ru/ex-wc/seminar_SPIIRAN/kos_w97.htm