Методы и модели, применяемые в условиях организации экономического анализа на предприятии

              По уровням управления выделяют макроанализ и микроанализ.

              В зависимости от периодичности анализа – годовой, квартальный, месячный, декадный и ежедневный анализ.

              По различию в полноте и содержании изучаемых вопросов: полный, локальный, тематический анализ.

              В зависимости от методов изучения объекта различают комплектный, системный, сравнительный, сплошной и выборочный анализ.

              По степени автоматизации работ выделяют анализ сприме-нением компьютерной техники и без ее использования.

              На практике отдельные виды экономического анализа встречаются редко. В процессе управления для обоснования принимаемых решений используется совокупность различных видов экономического анализа.

2. Метод и методика экономического анализа

              Математические методы и модели, используемые в экономическом анализе, классифицируются по группам:

              1. Методы корреляционно-регрессионного анализа используются в экономическом анализе для выявления формы и плотности связи между различными параметрами исследуемого объекта, характер функциональной зависимости между которыми не установлен. Чаще всего эта связь стохастична. Корреляция выражает вероятностную зависимость между переменными параметрами алгоритма связи. Корреляционная зависимость может быть выявлена как между двумя количественными признаками (парная корреляция), так и между многими (множественная корреляция).

              2. Методы математического программирования предназначены для оптимизации хозяйственной деятельности и позволяют оценивать степень достижения потенциала, определить лимитирующие ресурсы, «узкие места», степень конкурентности и дефицитности.

              Методы математического программирования включают методы линейного и динамического программирования.

              Методы линейного программирования (транспортная задача, задача оптимального раскроя, задача оптимальной смеси и пр.) используются для решения многих оптимизационных аналитических задач, где функциональные зависимости исследуемых явлений и процессов детерминированы. Задача линейного программирования при проведении экономического анализа состоит в поиске экстремальных значений исследуемых параметров объекта, доставляющих максимум (минимум) критерию при ресурсных ограничениях.

              Методы динамического программирования используются при решении оптимизационных задач, в которых целевая функция или ограничения характеризуются нелинейными зависимостями. Эти методы используются при исследовании стохастических факторных систем.

              Наиболее распространены в экономическом анализе: модель межотраслевого баланса (важный метод экономического анализа сложных пропорциональных зависимостей), матрица многокритериальной оптимизации (используется как метод сравнительной, рейтинговой оценки вариантов возможных изменений параметров экономической системы при условии многокритериальной оптимизации), ключевая матрица (позволяет упростить решение задач методом производственных функций) и др.

              В составе других экономико-математических методов и моделей можно выделить математическую теорию игр (используется при выборе наилучших управленческих решений, организации хозяйственных взаимоотношений с партнерами и в др. ситуациях), математическую теорию массового обслуживания (решение задач, связанных с организацией обслуживания и ремонта оборудования, проектированием поточных линий, планированием маршрутов городского транспорта и пр.), исследование операций (используется в экономическом анализе для получения сравнительной оценки альтернативных решений), теорию нечетких множеств и другие математические методы и модели.

              Мы будем использовать 2 метода экономического анализа:

1.      Модель линейного программирования. Симплекс-метод,

2.      Транспортная задача линейного программирования.

2.1 Модель линейного программирования. Симплекс-метод

              Раздел математических методов, в котором рассматриваются способы решения задач на нахождение экстремума функции цели при ограничении области допустимых значений в форме уравнений или неравенств, называется математическим программированием. Другими словами, математическое (оптимальное) программирование рассматривает задачи планирования, распределения ограниченных ресурсов наилучшим образом, для достижения поставленных целей.

              Общая задача математического программирования имеет вид:

              определить экстремум функции

    f(x)  extremum (max, min),

при выполнении условий

gi(x) = (, )bi, (i = ),

x = (x1, x2,… xj …xn), xj  0, (j = ),

где f(x) – целевая функция;

gi(x) - функция ограничения;

bi - действительное число, константа ограничения.

              Если функции f(x) и gi(x) представлены в виде линейных функций, то оптимизационная задача называется задачей линейного программирования.

              Таким образом, линейное программирование – это область математического программирования, посвященная  теории и  методам решения  задач нахождения условного экстремума и характеризующаяся линейной зависимостью между переменными.

              Если условия задачи линейного программирования не противоречивы, то область ее допустимых решений образует выпуклый многогранник в n-мерном пространстве (многоугольник для двух переменных). При этом оптимальное решение, если оно существует, обязательно достигается в некоторой вершине многогранника (возможно, и более чем в одной).

              Таким образом, чтобы найти решение задачи линейного программирования, достаточно перебрать лишь планы, соответствующие вершинам многогранника допустимых решений. Такие планы называют опорными. Однако в сложных задачах и число вершин может оказаться чрезмерно большим, вследствие чего нахождение всех опорных планов потребует огромного объема вычислений.

              Симплекс-метод позволяет осуществить упорядоченный, направленный перебор вершин многогранника. После определения одной из вершин этот метод помогает установить, является ли найденный план оптимальным, то есть достигнут ли в этой вершине максимум целевой функции. Если план не оптимален, то производится переход к такой соседней вершине многогранника, которая обеспечивает большее (или в крайнем случае равное предыдущему) значение целевой функции. Симплекс-метод называют еще методом последовательного улучшения плана. Повторное применение указанной процедуры приводит за конечное число шагов к вершине, соответствующей оптимальному плану.

              Постановка задачи:

              Если финансы, оборудование, сырье и труд полагать ресурсами, то необходимо рационально распределить ресурсы. Определить ассортимент и объем выпуска продукции, получаемую прибыль, величину остатков ресурсов.

              Математическая модель:             

              Модель линейного программирования. Симплекс-метод.

              Исходные данные:

Предприятие может выпускать продукцию типа A, B и C, используя запасы ресурсов I, II и III вида.

              Решение:

              Симплекс-метод применяется к задаче, записанной в канонической форме (используем одну из двойственных задач линейного программирования):

f(x) = 4Х1 + 6Х2 + 5Х3 + 0*Х4 + 0*Х5 + 0*Х6  max,

X1 + 4X2 + 2X3 + X4                            = 82,

4X1 + 5X2 + 7X3            + X5              = 83,

5X1 + 7X2 + 9X3                         + X6 = 50.

X1 + 4X2 + 2X3 ≤ 82,

4X1 + 5X2 + 7X3  ≤ 83,

5X1 + 7X2 + 9X3  ≤ 50.

Для решения задачи линейного программирования составим симплексную таблицу 1.

В первом столбце вписаны базисные неизвестные, второй содержит коэффициенты при базисных неизвестных в целевой функции, в третьем – правые части уравнений системы ограничений. Далее записана матрица из коэффициентов левой части системы ограничений (). В верхней строке над неизвестными записаны соответствующие им коэффициенты в целевой функции. В последней строке записывается значение целевой функции при данном опорном плане, которое вычисляется по формуле f(x) = , и далее – оценки неизвестных, найденные по формуле j = - Cj. Если среди оценок j есть отрицательные, то опорный план не является оптимальным и значение целевой функции можно улучшить. Для этого нужно пересчитать  симплексную таблицу, выбрав соответствующим образом ключевой элемент, стоящий на пересечении ключевой строки и ключевого столбца (элемент 7), причем берется столбец с наибольшей по абсолютной величине отрицательной оценкой (-6).

Симплексная таблица 1

Значение целевой функции                             min        ключевой элемент            

при данном опорном плане

                                                                         ключевой столбец

                                                                         Оценки переменных j = - Cj

Для определения ключевой строки находим отношения правых частей уравнений к положительным элементам ключевого столбца. Полученные значения  записываются в последний столбец симплексной таблицы. Из них выбирается наименьшая величина, которая указывает на ключевую строку (min).

Пересчет таблицы производится по следующему правилу: элементы ключевой строки делятся на ключевой элемент. Далее, с помощью метода Жордана – Гаусса проводят пересчет таблицы таким образом, чтобы элементы ключевого столбца имели единицу на месте ключевого элемента и нули на месте всех остальных элементов:

              1. Чтобы получить 0 в третьем столбце в первой строке, умножим ключевую строку на 4/7 и вычтем ее из 1-й строки, получим: