Контрольная работа по "Экономике"

Проверил: Смирнова Т.С.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Иваново 2012

1. Задача

Для производства 3-х видов  изделий р₁, р₂, р₃ используют 2 типа сырья s₁, s₂ причем закупки сырья ограничены возможностями поставщиков:

Тип сырья	Нормы затрат сырья на одно изделие			Ограничения по закупке сырья, кг
	P1	P2	P3
S1	1	3	2	3000
S2	6	5	2	3320
Прибыль, руб. за штуку	18	27	17

 

 

 

 

 

 

 

Определить план производства продукции с целью максимизации прибыли от продажи изделий

5. Составить экономико-математическую модель задачи
6. Решить задачу симплексным методом
7. Составить двойственную задачу, найти значение двойственных оценок

 

5. Построим математическую модель задачи

Если обозначить: х₁ – объем производства изделия P_1;

                               х₂ – объем производства изделия P_2;

                               х₃ – объем производства изделия P₃.

то можно выразить суммарную прибыль :z=18 х₁+27 х₂+17 х₃→max.

Так как запасы сырья на предприятии ограничены, то на введенные переменные следует наложить ограничения:

для сырья 1-го типа: х₁+3х₂+2х₃≤3000

для сырья 1-го типа: 6х₁+5х₂+2х₃≤3320

т.к. объем производства не может быть отрицательным, то

х₁≥0, х₂≥0, х₃≥0.

Таким образом, получена задача линейного программирования:

z=18 х₁+27 х₂+17 х₃→max

х₁+3х₂+2х₃≤3000

6х₁+5х₂+2х₃≤3320

х₁≥0, х₂≥0, х₃≥0

6. Решим задачу симплексным методом
2. Запишем задачу в каноническом виде

Чтобы перейти к ограничениям-равенствам в каждое неравенство системы  ограничений введем дополнительную неотрицательную переменную

z=18 х₁+27 х₂+17 х₃→max

х₁+3х₂+2х₃+ х₄=3000

6х₁+5х₂+2х₃+ х₅=3320

х₁≥0, х₂≥0, х₃≥0, х₄≥0, х₅≥0

Экономический смысл  этих дополнительных переменных заключается  в количестве неиспользуемого соответствующего сырья

 

 

 

 

Составим симплекс таблицу

i	Базис	Сб	А0	с1=18	с2=27	с3=17	с4=0	с5=0
				А1	А2	А3	А4	А5
1	А4	0	3000	1	3	2	1	0
2	А5	0	3320	6	5	2	0	1
Z(X1)=0			zj	z1=0	z2=0	z3=0	z4=0	z5=0
			zj-cj	-18	-27	-17	0	0

Опорный план не является оптимальным, т.к. среди оценок есть отрицательные.

Добавляем в базис  вектор А₂, т.к. ему соответствует минимальная отрицательная оценка, убираем вектор А_5.

Составляем новую симплекс таблицу

i	Базис	Сб	А0	с1=18	с2=27	с3=17	с4=0	с5=0
				А1	А2	А3	А4	А5
1	А4	0	1068	-13/5	0	4/5	1	-3/5
2	А2	27	644	6/5	1	2/5	0	1/5
Z(X1)=17388			zj	z1=162/5	z2=32	z3=54/5	z4=0	z5=27/5
			zj-cj	72/5	0	-31/5	0	27/5

Опорный план не является оптимальным, т.к. среди оценок есть отрицательные.

Добавляем в базис  вектор А₃, т.к. ему соответствует единственная отрицательная оценка, убираем вектор А_4.

Составляем новую симплекс таблицу

i	Базис	Сб	А0	с1=18	с2=27	с3=17	с4=0	с5=0
				А1	А2	А3	А4	А5
1	А3	17	1335	-13/4	0	1	5/4	-3/4
2	А2	27	110	5/2	1	0	-1/2	1/2
Z(X1)=25665			zj	z1=49/4	z2=27	z3=17	z4=31/4	z5=3/4
			zj-cj	-23/4	0	0	31/4	3/4

Опорный план не является оптимальным, т.к. среди оценок есть отрицательные.

Добавляем в базис  вектор А₁, т.к. ему соответствует единственная отрицательная оценка, убираем вектор А_2.

Составляем новую симплекс таблицу

i	Базис	Сб	А0	с1=18	с2=27	с3=17	с4=0	с5=0
				А1	А2	А3	А4	А5
1	А3	17	1478	0	13/10	1	3/5	-1/10
2	А1	18	44	1	2/5	0	-1/5	1/5
Z(X1)=25918			zj	z1=18	z2=193/10	z3=17	z4=33/5	z5=19/10
			zj-cj	0	23/10	0	33/5	19/10

 

т.к. среди оценок нет  отрицательных, опорный план является оптимальным планом. Получено решение: Х=(44;0;1478;0;0); Z_max=25918

8. 3.  Составим двойственную задачу, найдем значение двойственных оценок

Если обозначить у₁ – стоимость сырья 1 типа;

                              у₂ – стоимость сырья 1 типа;

то можно выразить стоимость всего имеющегося сырья:

w=3000 у₁+3220 у₂→min

Т.к. стоимость затраченных  ресурсов не может быть меньше стоимости  окончательного продукта, поэтому

 

у₁+6у₂≥18

3у₁+5у₂≥27

2у₁+2у₂≥17

Также у₁≥0, у₂≥0, поскольку стоимость выражается неотрицательными числами.

Т.о. получена задача линейного  программирования

w=3000 у₁+3220 у₂→min

у₁+6у₂≥18

3у₁+5у₂≥27

2у₁+2у₂≥17

у₁≥0, у₂≥0

Найдем оптимальный  план двойственной задачи.

Воспользуемся теоремой двойственности:

- если одна из пары  двойственных задач имеет оптимальный план, то и другая имеет оптимальный план, причем значения целевых функций задач при их оптимальных планах равны между собой: z(X)=w(Y)

С_б=(17;18) – из последней симплекс таблицы

      2  1

D= 1  6

Но чтобы найти Y, необходимо знать D^-1. Воспользуемся замечанием

Замечание: Матрица D^-1 совпадает с матрицей, составленной из конечных компонентов векторов, входящих в первоначальный базис.

 

            3/5       -1/10

D^-1=   -1/5       1/5

 

Найдем Y                    3/5 1/20

Y=C_б* D^-1=(18;17)*(  -1/5 1/5  )= (19*3/5+24*(-1/5);19*(-1/10)+24*1/5)=(33/5;19/10)

Т.о. получено решение  двойственной задачи:

Y=(33/5;19/10), w_min=25918.

 

2 задача

Решить задачу линейного  программирования графическим методом

z(x)= х₁+5х₂ →min.

 

  х₁-2х₂≤2

- 2х₁-3х₂≤-4

       - 2х₁+х₂≤5

х₁≥0, х₂≥0

 

1. Построим пространство  решений (для этого проведем  прямые, образующие ограничения,  и выберем соответствующие полуплоскости)

(1) х₁-2х₂=2          (2)    - 2х₁-3х₂=-4        (3)  - 2х₁+х₂=5         (4) х₁=0         (5) х₂=0

 

х1	0	2		х1	0	2		х1	0	-- 5/2
х2	-1	0		х2	4/3	0		х2	5	0

Таким образом, замечаем, что полуплоскость ABC является пересечением всех 5 полуплоскостей, а значит, образует пространство допустимых решений.

2. Строим линию уровня  целевой функции

Для этого берем произвольную константу и проводим прямую:

z(x)= х₁+5х₂ =const

Если const=5, то прямая х₁+5х₂=5 будет проходить через точки:

х1	0	5
х2	1	0

Чтобы определить направление  роста целевой функции, возьмем  константу больше предыдущей, например 10. Новая прямая х₁+5х₂=10 пройдет через точки:

х1	0	10
х2	2	0

то есть будет расположена  правее. Значит направление роста  целевой функции – слева направо (отмечено стрелкой).

7. Анализируем получившийся график.

Перемещая построенную  линию уровня в выбранном направлении, видим, что первой общей точкой её с пространством решений ABC является точка А (значит это точка минимума).

8. Ищем координаты выявленной точки

Задача направлена на отыскание минимума, поэтому найдем координаты точки А как точки пересечения двух прямых (1) и (2)

А (2;0)

Значение целевой функции в точке В определяем обычной подстановкой:

z(В)= 2+5*0=2

Таким образом найдены  оптимальный план задачи и минимальное значение целевой функции.

Ответ: Х=(2;0); z_max=2.