Контрольная работа по "Экономике"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Ивановская государственная текстильная  академия

(ИГТА)

 

Кафедра банковского дела, учета и аудита

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по предмету «ММ экономических систем»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила: студентка 3-го курса

Специальность 060800

Группа ЭС 0926                                                                

Мокрова В.Н.

№ зачетной книжки 097202

Проверил: Смирнова Т.С.

 

 

 

 

 

 

 

Иваново 2012

 

1. Задача

Для производства 3-х видов  изделий р₁, р₂, р₃ используют 2 типа сырья s₁, s₂ причем закупки сырья ограничены возможностями поставщиков:

Тип сырья	Нормы затрат сырья на одно изделие			Ограничения по закупке сырья, кг
	P1	P2	P3
S1	1	3	2	3000
S2	6	5	2	3320
Прибыль, руб. за штуку	24	32	19

 

 

 

 

 

 

 

Определить план производства продукции с целью максимизации прибыли от продажи изделий

1. Составить экономико-математическую модель задачи
2. Решить задачу симплексным методом
3. Составить двойственную задачу, найти значение двойственных оценок

 

1. Построим математическую модель задачи

Если обозначить: х₁ – объем производства изделия P_1;

                               х₂ – объем производства изделия P_2;

                               х₃ – объем производства изделия P₃.

то можно выразить суммарную прибыль :z=24 х₁+32 х₂+19 х₃→max.

Так как запасы сырья  на предприятии ограничены, то на введенные  переменные следует наложить ограничения:

для сырья 1-го типа: х₁+3х₂+2х₃≤3000

для сырья 1-го типа: 6х₁+5х₂+2х₃≤3320

т.к. объем производства не может быть отрицательным, то

х₁≥0, х₂≥0, х₃≥0.

Таким образом, получена задача линейного программирования:

z=24 х₁+32 х₂+19 х₃→max

х₁+3х₂+2х₃≤3000

6х₁+5х₂+2х₃≤3320

х₁≥0, х₂≥0, х₃≥0

2. Решим задачу симплексным методом
1. Запишем задачу в каноническом виде

Чтобы перейти к ограничениям-равенствам в каждое неравенство системы  ограничений введем дополнительную неотрицательную переменную

z=24 х₁+32 х₂+19 х₃→max

х₁+3х₂+2х₃+ х₄=3000

6х₁+5х₂+2х₃+ х₅=3320

х₁≥0, х₂≥0, х₃≥0, х₄≥0, х₅≥0

Экономический смысл  этих дополнительных переменных заключается  в количестве неиспользуемого соответствующего сырья

 

 

 

 

Составим симплекс таблицу

i	Базис	Сб	А0	с1=24	с2=32	с3=19	с4=0	с5=0
				А1	А2	А3	А4	А5
1	А4	0	3000	1	3	2	1	0
2	А5	0	3320	6	5	2	0	1
Z(X1)=0			zj	z1=0	z2=0	z3=0	z4=0	z5=0
			zj-cj	-24	-32	-19	0	0

Опорный план не является оптимальным, т.к. среди оценок есть отрицательные.

Добавляем в базис вектор А₂, т.к. ему соответствует минимальная отрицательная оценка, убираем вектор А_5.

Составляем новую симплекс таблицу

i	Базис	Сб	А0	с1=24	с2=32	с3=19	с4=0	с5=0
				А1	А2	А3	А4	А5
1	А4	0	1068	-13/5	0	4/5	1	-3/5
2	А2	32	644	6/5	1	2/5	0	1/5
Z(X1)=20608			zj	z1=192/5	z2=32	z3=64/5	z4=0	z5=32/5
			zj-cj	72/5	0	-31/5	0	32/5

Опорный план не является оптимальным, т.к. среди оценок есть отрицательные.

Добавляем в базис  вектор А₃, т.к. ему соответствует единственная отрицательная оценка, убираем вектор А_4.

Составляем новую симплекс таблицу

i	Базис	Сб	А0	с1=24	с2=32	с3=19	с4=0	с5=0
				А1	А2	А3	А4	А5
1	А3	19	1335	-13/4	0	1	5/4	-3/4
2	А2	32	110	5/2	1	0	-1/2	1/2
Z(X1)=28885			zj	z1=73/4	z2=32	z3=19	z4=31/4	z5=7/4
			zj-cj	-23/4	0	0	31/4	7/4

Опорный план не является оптимальным, т.к. среди оценок есть отрицательные.

Добавляем в базис  вектор А₁, т.к. ему соответствует единственная отрицательная оценка, убираем вектор А_2.

Составляем новую симплекс таблицу

i	Базис	Сб	А0	с1=24	с2=32	с3=19	с4=0	с5=0
				А1	А2	А3	А4	А5
1	А3	19	1478	0	13/10	1	3/5	-1/10
2	А1	24	44	1	2/5	0	-1/5	1/5
Z(X1)=29050			zj	z1=24	z2=343/10	z3=19	z4=33/5	z5=29/10
			zj-cj	0	23/10	0	33/5	29/10

 

т.к. среди оценок нет  отрицательных, опорный план является оптимальным планом. Получено решение: Х=(44;0;1478;0;0); Z_max=29050

4. 3. Составим двойственную задачу, найдем значение двойственных оценок

Если обозначить у₁ – стоимость сырья 1 типа;

                              у₂ – стоимость сырья 1 типа;

то можно выразить стоимость  всего имеющегося сырья:

w=3000 у₁+3220 у₂→min

Т.к. стоимость затраченных ресурсов не может быть меньше стоимости окончательного продукта, поэтому

 

у₁+6у₂≥24

3у₁+5у₂≥32

2у₁+2у₂≥19

Также у₁≥0, у₂≥0, поскольку стоимость выражается неотрицательными числами.

Т.о. получена задача линейного программирования

w=3000 у₁+3220 у₂→min

у₁+6у₂≥24

3у₁+5у₂≥32

2у₁+2у₂≥19

у₁≥0, у₂≥0

Найдем оптимальный  план двойственной задачи.

Воспользуемся теоремой двойственности:

- если одна из пары  двойственных задач имеет оптимальный  план, то и другая имеет оптимальный  план, причем значения целевых  функций задач при их оптимальных  планах равны между собой: z(X)=w(Y)

С_б=(19;24) – из последней симплекс таблицы

      2  1

D= 1  6

Но чтобы найти Y, необходимо знать D^-1. Воспользуемся замечанием

Замечание: Матрица D^-1 совпадает с матрицей, составленной из конечных компонентов векторов, входящих в первоначальный базис.

 

            3/5       -1/10

D^-1=   -1/5       1/5

 

Найдем Y                  3/5   1/20

Y=C_б* D^-1=(19;24)*(-1/5  1/5  )= (19*3/5+24*(-1/5);19*(-1/10) +24*1/5)=(33/5;29/10)

Т.о. получено решение двойственной задачи:

Y=(33/5;29/10), w_min=29050.

 

2 задача

Решить задачу линейного программирования графическим методом

z(x)= 3х₁+х₂ →max.

 

- х₁+х₂≥1

  х₁+3х₂≤15

-2х₁+х₂≤4

х₁≥0, х₂≥0

 

1. Построим пространство решений  (для этого проведем прямые, образующие  ограничения, и выберем соответствующие  полуплоскости)

(1) - х₁+х₂=1          (2)    х₁+3х₂=15        (3)  -2х₁+х₂=4         (4) х₁=0         (5) х₂=0

 

х1	0	-1		х1	0	15		х1	0	-2
х2	1	0		х2	5	0		х2	4	0

Таким образом, замечаем, что четырехугольник ABCD является пересечением всех 5 полуплоскостей, а значит, образует пространство допустимых решений.

2. Строим линию уровня  целевой функции

Для этого берем произвольную константу и проводим прямую:

z(x)= 3х₁+х₂=const

Если const=9, то прямая 3х₁+х₂=9 будет проходить через точки:

х1	0	3
х2	9	0

Чтобы определить направление роста целевой функции, возьмем константу больше предыдущей, например 12. Новая прямая 3х₁+х₂=12 пройдет через точки:

х1	0	4
х2	12	0

то есть будет расположена  правее. Значит направление роста  целевой функции – слева направо (отмечено стрелкой).

3. Анализируем получившийся график.

Перемещая построенную  линию уровня в выбранном направлении, видим, что первой общей точкой её с пространством решений ABCD является точка А (значит это точка минимума), а последней общей точкой служит точка В (значит это точка максимума).

4. Ищем координаты выявленной точки

Задача направлена на отыскание максимума, поэтому найдем координаты точки В как точки  пересечения двух прямых (1) и (2)

В (3;4)

Значение целевой функции  в точке В определяем обычной  подстановкой:

z(В)= 3*3+4=13

Таким образом найдены оптимальный план задачи и максимальное значение целевой функции.

Ответ: Х=(3;4); z_max=13.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И  НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Ивановская государственная  текстильная академия

(ИГТА)

 

Кафедра банковского дела, учета и аудита

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по предмету «ММ экономических систем»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила: студентка 3-го курса

Специальность 060800

Группа ЭС 0926                                                                

Крупенина Е.П.

№ зачетной книжки 097201