Контрольная работа по «Эконометрике»

 

Министерство образования и  науки РФ

Федеральное агентство по образованию  ГОУ ВПО

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ  ИНСТИТУТ

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по «Эконометрике»

 

Вариант № 1

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                   Преподаватель: доц.

Студент:  

                          Учетно-статистический факультет

                             Специальность: Бухгалтерский учет,

                                                       анализ и аудит 

 

 

 

 

 

 

Калуга 2012 г.

 

 

 

Задача 1.

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость  объема выпуска продукции ( , млн. руб.) от объема капиталовложений ( , млн. руб.)

 

Таблица№1 Исходные данные.

	26	18	33	42	41	44	15	27	41	19
	43	28	51	62	63	67	26	43	61	33

 

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости  ,  если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.
7. Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

• гиперболической;

• степенной;
• показательной.

Привести  графики построенных уравнений  регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод. 

Решение .

 

Для решения  задачи используется табличный процессор  EXCEL.

1. Строим диаграмму рассеяния (Мастер диаграмм Þ Точечная). Показываем на графике прямую и уравнение линейной регрессии (выделить данные щелчком на любой точке, нажать правую кнопку мыши, в открывшемся меню выбрать Добавить линию тренда (оставить тип Линейный), затем на вкладке Параметры отметить Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации.

 

Врезультате получаем уровнение: у=1,38х+5,43

Вывод:  при увеличении  объема капиталовложений Х на 1 млн. руб., объем  выпуска продукции Y возрастет на 1,38 млн. руб.

2. Используя вкладку Анализ данных получаем таблицу регрессионного.

Таблица №2 Регрессионная статистика.

 

График остатков

 

3. Находим табличное значение F-критерия для заданного уровня значимости a с помощью функции FРАСПОБР (группа Статистические). Сделать вывод о качестве модели, сравнив наблюдаемое и табличное значение F-критерия

 

Определим линейный коэффициент парной корреляции по формуле:

Рассчитаем  коэффициент детерминации:

Вариация  результата Y (объема выпуска продукции) на 99,31 % объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Оценку  значимости уравнения регрессии  проведем с помощью F-критерия Фишера:

 для  ,

где - уровень значимости; k₁ и k₂ – степени свободы.

Уравнение  регрессии    с вероятностью 0,95 статистически    значимое, т.к

 F >  F_табл.

 

4.Копируем исходные значения Y рядом с остатками. Добавляем в таблицу строку (столбец) значений относительных ошибок с помощью функции ABS (группа Математические). Находим среднюю относительную ошибку аппроксимации (функция СРЗНАЧ группы Математические или опция Среднее из списка автосуммы). Сделать вывод о качестве модели:

• хорошее, если средняя относительная ошибка аппроксимации не больше 7%,
• удовлетворительное, если средняя относительная ошибка аппроксимации больше 7%, но меньше 15%,
• плохое, если средняя относительная ошибка аппроксимации больше 15% .

Вывод: В среднем расчетные значения ŷ для степенной модели отличаются от фактических значений на 2,404%.

В нашем  случае коэффициент a и b  регрессии значимы, следовательно, предпосылки о значимости  выполняются; коэффициент детерминации R² = 0,9931 – модель качественная; F-критерия Фишера расчётный >  F_табл. – уравнение значимо; средняя относительная ошибка = 2,404% , следовательно, точность модели высокая. Таким образом, модель нуждается в совершенствовании.

5. Находим  табличное значение t-критерия t_a для заданного уровня значимости a с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР (группа Статистические). Сделать вывод о значимости параметров a и b, сравнивая наблюдаемые и табличное значение t-критерия.

Критерий Стьюдента: t_расч = = = 33,97

Табличное значение критерия Стьюдента  равно:

t_табл = (a = 0,05; k = n-2=8)=2,31.

Сравнивая числовые значения критериев, видно, что t_расч >  t_табл, Таким образом, полученное значение коэффициента корреляции значимо.

, следовательно, параметр b статистически значим, существенно отличается от 0.

6. С помощью функции МАКС (группа Математические) найти максимальное значение переменной Х. Определить прогнозное значение Х_р как 80% от максимального значения. Вычислить прогнозное значение Y_p , подставляя значение Х_р в уравнение регрессии.

Хmax=44

Xр=44*80/100=32,5

Ур=1,38*32,5+5,4=53,98

7.  Добавить в таблицу строку (столбец) значений . Вычислить сумму квадратов отклонений от среднего значения (функция СУММКВ группа Математические). Вычислить стандартную ошибку прогнозного значения по формуле . Определить границы доверительного интервала по формуле ==0,47

границы доверительного интервала =5.43+1.38*35.2=54.05

 

 

Y	54,054209	35,2
верх	55,12726615	35,2
ниж	52,97765385	35,2

 

 

8. Представить на графике точку прогноза и границы доверительного интервала.

Добавляем ряд:

В значение Х =Лист1!$C$66:$C$68.

В значение Y =Лист1!$B$66:$B$68.

 

10. С помощью опции Добавить линию тренда (отметить на вкладке Параметры опцию Показывать уравнение на диаграмме) получаем графики и уравнения степенной и показательной (экспоненциальной) регрессии.

 

 

 

11.  Добавляем в таблицу строку (столбец) значений 1/X. С помощью функций НАКЛОН и ОТРЕЗОК получить параметры гиперболической регрессии. Добавить в таблицу строку (столбец) значения Y_гиперб, соответствующие гиперболической регрессии. Построить таблицу X и Y_гиперб и упорядочить значения Х по возрастанию. Показать значения на графике.

 

а 83,34015 (  отрезок)

б       -947,94  (   наклон ) 

 

10. Для указанных моделей находим коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации

 

 

Гиперболическая

       y=36,978ln(x)-76,331 
      R² = 0,9812

Средняя относительная  ошибка аппроксимации – 7,72%

Степенная

y = 2,3772x^0,8785 
R² = 0,9912

Средняя относительная  ошибка аппроксимации – 2,39%

Показательная (Экспоненциальная)

y =  17,39e^0,031x 
R² = 0,971

Средняя относительная  ошибка аппроксимации – 4,99%

Линейная

y = 1,381x + 5,430

R²  = 0,993

Средняя относительная  ошибка аппроксимации – 2,4%

Для выбора лучшей модели построим сводную  таблицу результатов:

 

Параметры     Модель	Коэффициент детерминации R2	Коэффициент эластичности	Средняя относительная ошибка аппроксимации
Степенная	0,9912	0,879	2,39
Показательная	0,9715	0,956	4,99
Гиперболическая	0,9812	0,592	7,72
Линейная	0,9931	0,886	2,4

 

Вывод (по коэффициенту детерминации) Гиперболическая модель учитывает 93% объема капитал вложений, тогда как степенная и показательная 99% , значит гиперболическая функция чть хуже описывает изучаемую зависимость , чем две другие функции.

Вывод (по средней относительной ошибке аппроксимации) Гиперболическая моделб не является одекватной и не подходит для онализа данной зависимости. Степенная и показательная модели являются адекватными ,  имеют высокую точность, что позволяет их использовать для анализа  данной зависимости.

Вывод (по коэффициенту эластичности) По гиперболической модели  значение показывает что связь между переменными обратно пропорциональная , что не соответствует экономическому смыслу задачи.

При сравнении  покозательной и степенной с  покозателями линейной модели очевидно , что степенная функция более  одекватна чем показательная.

 

Приложение 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Проверить выполнение предпосылок МНК.

Для оценки адекватности модели исследуют остатки  .

Исследование  остатков предполагает проверку наличия  у них следующих пяти свойств (предпосылок МНК):

а. Нулевая (или близкая к ней) средняя  величина остатка.

б. Случайность  характера остатка.

в. Независимость (отсутствие автокорреляции) остатков.

г. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения.

д. Гомоскедастичность (постоянство) дисперсии остатков.

А. Для вычисления среднего значения остатка используем функцию СРЗНАЧ

В данной задаче , поэтому первое свойство остатков выполняется.

Б.   Для проверки случайности остатков используем критерий поворотных точек. Анализируя построенный график остатков делаем вывод, что в этой задаче число поворотных точек р=8. В случайном ряду чисел должно выполняться строгое неравенство:

 при n=10

В нашем  случае p=8 , т.е. свойство случайности остатков выполняется.

В.   При проверке независимости (отсутствия автокорреляции) используется коэффициент автокорреляции .

Для расчета  автокорреляции используется стандартная  функция КОРРЕЛ(С25-С33;С26-С34)= -0,5349

Оценим  значимость полученного коэффициента автокорреляции с использованием t-критерия:

Расчетное значение t-критерия: =1,79 (расчет выполнен средствами Excel).

Табличное значение t-статистики определяется с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(0,05;8)=2,306 

Поскольку расчетное значение t-критерия меньше табличного, то коэффициент автокорреляции незначим, т.е. остатки не автокоррелированы. Свойства независимости остатков выполняется.

Модель  в целом адекватна.

Г. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определяется при помощи R/S-критерия.

Полученное  значение этого критерия попадает между  табулированными границами (2,67-3,57) с  заданным уровнем значимости ( ) и n=10, таким образом, свойство нормальности остатков выполняется.