Контрольная работа по "Эконометрике"

8.         Техническая часть прогнозных расчётов по уравнению множественной регрессии сравнительно проста. Достаточно определить прогнозные значения каждого факторного признака хj,p, подставить их в уравнение и выполнить с ними расчёт прогнозного значения результата - ỹр. При этом следует помнить, что требования к точности и надёжности прогноза предъявляют к используемой модели повышенные требования. В нашем случае, прогнозное значение каждого из факторов, то есть х1,1 и х2,1 , получено на основе средней величины:

х1,1 = х1 * 1,077 = 7,758 * 1,077 = 8,355.       

х2,1 = х2 * 1,077 = 168,6 * 1,077 = 181,582.

После подстановки в уравнение получаем следующий результат:

ỹх1,1;х2,1 = - 5,125 + 2,544 * 8,355 + 0,165 * 181,582 = 46,09 (млрд. руб.)

Если среднегодовой стоимости основных фондов в экономике возрастет до 181,582 млрд. руб., а инвестиции 2000 года в основной капитал составят 8,355 млрд. руб., тогда следует ожидать, что валовой региональный продукт возрастёт до 46,09 млрд. руб., то есть увеличится на 8,6% от своего среднего уровня.

Задача №4.

Предлагается изучить взаимосвязи социально-экономических характеристик региона за период.

Y1 – доля занятых в экономике в процентах от численности экономически активного населения региона, %;

Y2 – среднемесячная заработная плата 1-го занятого в экономике региона, тыс. руб.;

Y3 – стоимость продукции и услуг в среднем на 1-го занятого в экономике региона, тыс. руб.;

X1 – доля лиц в возрасте 25-45 лет в общей численности населения региона, %;

X2 – процент лиц со специальным профессиональным образованием среди занятых в экономике региона, %;

X3 – инвестиции текущего года в экономику региона, млрд. руб.;

X4 – среднее число членов в семьях региона, чел.;

X5 – среднее число детей в семьях региона, чел.

Приводится система рабочих гипотез, которые необходимо проверить.

Y1 = f (Y2, X1, X4);

Y2 = f (Y3, X2, X3, X5);

Y3 = f (Y1, Y2, X1, X2, X3).

Задание:

1.      Используя рабочие гипотезы, постройте систему структурных уравнений и проведите их идентификацию;

2.      Укажите, при каких условиях может быть найдено решение каждого из уравнений и системы в целом. Дайте обоснование возможных вариантов подобных решений и аргументируйте выбор оптимального варианта рабочих гипотез;

3.      Опишите методы, с помощью которых будет найдено решение уравнений (косвенный МНК, двухшаговый МНК).

Решение.

1.          В соответствии с предложенными рабочими гипотезами построим график, отображающий связи каждой из представленных переменных с другими переменными. Отличительной особенностью уравнений системы является наличие прямых и обратных зависимостей между переменными Y1, Y2 и Y3. Указанная особенность характерна для так называемых структурных уравнений. В состав структурных уравнений входят:

а) эндогенные переменные (Yj), значения которых формируется в условиях данной системы признаков и их взаимозависимостей и

б) экзогенные переменные (хm), значения которых формируются вне данной системы признаков и условий, но сами экзогенные переменные участвуют во взаимосвязях данной системы и оказывают влияние на эндогенные переменные. Коэффициенты при эндогенных переменных обозначаются через аm,i, коэффициенты при экзогенных переменных обозначаются через bj,i, где i – число изучаемых объектов; m – число экзогенных переменных, которые обычно обозначают через x; j – число эндогенных переменных, обычно обозначаемых через Y. Таким образом, в каждом уравнении системы каждый коэффициент при переменной имеет двойную индексацию:

1) - номер эндогенной переменной, расположенной в левой части уравнения и выступающей в качестве результата;

2) - номер переменной, находящейся в правой части уравнения и выступающей в качестве фактора.

В нашей задаче система уравнений для описания выдвигаемые рабочие гипотезы будет иметь следующий вид:

Y1 = a12*Y2 + b11*x1 + b14*x4

Y2 = a23*Y3 + b22*x2 + b23*x3 + b25*x5

Y3 = a31*Y1 + a32*Y2 + b31*x1 + b32*x2 + b33*x3

Выполним идентификацию каждого структурного уравнения и всей системы для ответа на вопрос – имеют ли решения каждое из уравнений и система в целом. Воспользуемся счётным правилом, по которому в каждом уравнении системы необходимо сравнить число эндогенных переменных в данном уравнении – Yн и число отсутствующих в уравнении экзогенных переменных из общего для всей системы их перечня – ХD. Для удобства анализа представим результаты в таблице.

Результаты идентификации структурных уравнений и всей системы.

2.          В том случае, когда хотя бы одно из уравнений не имеет решения, система в целом также не имеет решения. Если подобный результат нас не устраивает, необходимо внести коррективы в исходные рабочие гипотезы и отредактировать их таким образом, чтобы идентификация была возможна.

3.          В нашем случае система сверхидентифицирована.

4.      Для поиска решений сверхидентифицированной системы уравнений применяются:

а)              косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) для решения точно идентифицированных уравнений и

б)              двухшаговый МНК (ДМНК) для поиска решений сверхидентифицированных уравнений.

Задача № 6.

Площадь всего жилого фонда, приходящегося в среднем на 1 жителя, на конец года, кв. метры, в 1990-2000 гг. в Российской Федерации характеризуется следующими сведениями:

Задание:

1.      постройте график фактических уровней динамического ряда - Ut.

2.      Рассчитайте параметры уравнений линейного тренда Ut = а0 + а1*t

3.      Оцените полученные результаты:

      С помощью показателей тесноты связи (r и r2);

      Значимость модели тренда (F-критерий);

      Качество модели через корректированную среднюю ошибку аппроксимации ε', а также через коэффициент автокорреляции отклонений тренда – rdUtdUt-1

4.      Выполните прогноз до 2003 года, рассчитайте ошибки прогноза, доверительный интервал прогноза и оцените его точность;

5.      Проанализируйте полученные результаты.

Решение.

1.         Общее представление о форме основной тенденции в уровнях ряда даёт график их фактических значений. Для его построения введём дополнительные обозначения для комплекса систематически действующих факторов, который по традиции обозначим через t и условно отождествим с течением времени. Для обозначения комплекса систематических факторов используются числа натурального ряда: 1,2, 3, ..., n. См. табл. В первую очередь выявим линейный тренд и проверим его статистическую надёжность и качество. Параметры рассчитаем с помощью определителей второго порядка, используя формулы, рассмотренные нами в задании 1. Получены значения определителей: Расчёт определителя системы выполним по формуле:

∆ = n * ∑(X2) - ∑Х * ∑Х = 11*506,0 – 66,0*66,0 = 1210,0;

Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:

∆а0 = ∑Y * ∑(X2) - ∑(Y*X) * ∑Х = 196,8*506,0 – 1214,9*66,0 = 19397,0.

Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:

∆а1 =n * ∑(Y*X) - ∑Y * ∑Х = 11*1214,9 – 196,8*66,0 = 375,1.

2.         Расчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие параметры линейного тренда:

а0 = ∆а0/∆ = 19397,0/1210,0 = 16,03;

а1 = ∆а1 /∆ = 375,1/1210,0 = 0,31.

уравнение имеет вид: Ut = 16,03 + 0,31*t.

Средняя ошибка аппроксимации ε' очень невелика (ε' = 0,52%), что указывает на высокое качество модели тренда и возможность её использования для решения прогнозных задач. В данном случае выявлена заметная связь, существенность которой подтверждает сравнение фактического и табличного значений F- критерия: Fфакт = 5,63 > Fma6, = 5,32. Следовательно, нулевая гипотеза о случайной природе отклонений не может быть принята, отклонения связаны между собой и не являются случайными величинами. То есть, линейный тренд не полностью исключил из фактических уровней влияние систематических факторов, формирующих основную тенденцию.

При выполнении прогнозов на 2001, 2002 и 2003 гг. подставим в уравнение прогнозные значения фактора, t = 12, 13, 14, что позволяет получить результат U2001 = 19,75, U2002 = 20,06 и U2003 = 20,37.

Литература:

1.      Елисеева И.И., Курышева С.В. Эконометрика. – М.: Финансы и статистика, 2001

2.      Елисеева И.И., Курышева С.В. Практикум по эконометрике. – М.: Финансы и статистика, 2001

3.      Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ, 1998

23