Контрольная работа по "Эконометрике"

Министерство образования и науки Российской Федерации

ГОУ ВПО Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики

___________________________________________

Выборгский филиал

Кафедра «Гуманитарных и естественнонаучных дисциплин»

Контрольная работа

по дисциплине:  ЭКОНОМЕТРИКА

вариант:              №4                              

                                          Выполнил:  Галкова Н.А.

                                      Группа:                   4/2109

                                            Проверил:   Суханов В.В.

Выборг

2010

СОДЕРЖАНИЕ

1.      Задача № 1…………………………………………………………………3

2.      Задача № 2………………………………………………………………..10

3.      Задача № 4………………………………………………………………. 17

4.      Задача № 6………………………………………………………………..20

Литература ……………………………………………………………… 23

Задача 1.

По территориям Южного федерального округа приводятся статистические данные за 2000 год:

Таблица № 1.

Задание:

1.     Расположите территории по возрастанию фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.

2.     Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.

3.     Рассчитайте параметры a1 и а0 парной линейной функции ух = а0 + a1х и линейно-логарифмической функции уln x = а0 + a1lnх

4.     Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции (ryx и ηylnx) и детерминации (r2yx и η2ylnx), проанализируйте их значения.

5.     Надёжность уравнений в целом оцените через F-критерий Фишера для уровня значимости α = 0,05.

6.     На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и поясните свой выбор.

7.     По лучшему уравнению регрессии рассчитайте теоретические значения результата (ŷ), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации – ε'ср., оцените ее величину.

8.     Рассчитайте прогнозное ) составит 1,040 отзначение результата ỹ, если прогнозное значение фактора (х  среднего уровня (хˉ).

9.     Рассчитайте интегральную и предельную ошибки прогноза (для α = 0,05), определите доверительный интервал прогноза (γmax; γmin), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала (Dγ), оцените точность выполненного прогноза.

Решение:

1.      Построим график: расположим территории по возрастанию значений фактора Xi . См. таблицу 2. Если график строится в табличном процессоре ЕХСЕL, то в исходной таблице фактор должен находиться на первом месте, а результат - на втором. Из графика может быть сделан вывод о возможной форме связи инвестиций (Y) с основными фондами (X). В этом случае для описания зависимости следует построить несколько моделей разного вида и на основе оценочных характеристик выбрать оптимальную форму модели.

Таблица № 2.

2.      Как правило, моделирование начинается с построения уравнения прямой:

Y = а0 +а1*Х, отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X.

3.      Рассчитаем неизвестные параметры уравнения методом наименьших квадратов (МНК), построим систему нормальных уравнений и решим её, относительно неизвестных а0 и а1. Для расчёта используем значения определителей второго порядка ∆, ∆а0 и ∆а1. Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X2, Х*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X.

См. таблицу З.

Расчётная таблица № 3

4.      Согласно данной формуле выполним расчёт определителя системы:

∆ = n * ∑(X2) - ∑Х * ∑Х = 12*318732,7 – 1433,2*1433,2 = 1770729,68;

Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:

∆а0 = ∑Y * ∑(X2) - ∑(Y*X) * ∑Х = 204,01*318732,7 – 49450,6*1433,2 = – 5847904,09.

Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:

∆а1 =n * ∑(Y*X) - ∑Y * ∑Х = 12*49450,6 – 204,01*1433,2 = 301019,68.

5.      Расчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:

а0 = ∆а0 /∆ = – 5847904,09/1770729,68 = – 3,3;

а1 = ∆а1 /∆ = 301019,68/1770729,68 = 0,17.

В конечном счёте, получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:    Ŷх= – 3,3 + 0,17 * X

В уравнении коэффициент регрессии а1 = 0,17 означает, что при увеличении среднегодовой стоимости основных фондов в экономике (по полной балансовой стоимости) на 1 % (от своей средней) оборот розничной торговли возрастет на 0,17 млрд. руб. (от своей средней).

Свободный член уравнения а0 = - 3,3 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на оборот розничной торговли.

6.      Относительную оценку силы связи даёт общий (средний) коэффициент эластичности:                ЭYX = f ' (X) * X/Y

В нашем случае, когда рассматривается линейная зависимость, расчётная формула преобразуется к виду:

ЭYX = а1 * X/Y = 0,17 * 119,43/17,0008 = 1,194

Это означает, что при изменении общей суммы среднегодовой стоимости основных фондов в экономике (по полной балансовой стоимости) на 1% от своей средней оборот розничной торговли увеличиваются на 1,194 процента от своей средней.

7.      Для оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

rYX = а1 * σX/σY = 0,17 * 110,89/19,89 = 0,948         rYX 2 = 0,899.

Коэффициент корреляции, равный 0,948, показывает, что выявлена весьма тесная зависимость между общей суммой среднегодовой стоимости основных фондов в экономике (по полной балансовой стоимости) и оборотом розничной торговли. Коэффициент детерминации, равный 0,899, устанавливает, что вариация оборота розничной торговли на 89,9% из 100% предопределена вариацией общей суммы среднегодовой стоимости основных фондов в экономике (по полной балансовой стоимости); роль прочих факторов, влияющих на оборот розничной торговли, определяется в 10,1%, что является сравнительно небольшой величиной.

8.      Для оценки статистической надёжности выявленной зависимости рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера - Fфакт и сравним его с табличным значением - Fтабл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе Н0: а0 = а1 = rYX = 0, то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости α = 0,05).

В нашем случае, 

Fфакт = rYX 2 /1- rYX 2 : k – 1/n – k = 0,899/0,101 : (2 – 1)/(12 – 2) = 8,9 : 0,1 = 89,0.

Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата почти в 89 раз больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия среднегодовой стоимости основных фондов в экономике (по полной балансовой стоимости) и оборота розничной торговли. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия: Fта6л = 4,96 при степенях свободы df1= k – 1 = 1 и df2 = n – k = 12 – 2 = 10 и уровне значимости α = 0,05.

Значения Fта6л представлены в таблице «Значения F-критерия Фишера для уровня значимости 0,05 (или 0,01)».

В силу того, что Fфакт = 89,0 > Fта6л = 4,96, нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.

9.      Определим теоретические значения результата Yтеор. Для этого в полученное уравнение последовательно подставим фактические значения фактора X и выполним расчет.

Например, Ŷ1 = – 3,3 + 0,17 * 4,2 = – 2,59. См. графу 5 расчётной таблицы. По парам значений Yтеор и Хфакт строится теоретическая линия регрессии, которая пересечётся с эмпирической регрессией в нескольких точках. См. график 1.

График 1

10. Оценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации:

ε΄ = 1/n * ∑| Yфакт – Ŷ/Y| * 100% = 60,87% .

В нашем случае, скорректированная ошибка аппроксимации составляет 60,87%. Она указывает на невысокое качество построенной линейной модели. Которое не позволяет использовать ее для выполнения точных прогнозных расчётов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора X (относительно его среднего значения X).

Если предположить, что прогнозное значение фактора Х составит 1,07 от уровня его средней, то есть Хпрогн.= 1,07 * 4,2 = 4,494, тогда прогнозное значение результата сформируется на уровне: Yпрогн.=  0,336 + 0,512 * 4,494 = 2,637 млрд. руб.

Задача № 2

Производится изучение социально-экономических показателей по территориям Сибирского федерального округа РФ за 2000 год.

Y – Валовой региональный продукт, млрд. руб.,

X1 – Инвестиции 2000 года в основной капитал, млрд. руб.;

Х2 – Среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.;

X3 – Инвестиции 1999 года в основной капитал, млрд. руб.