Контрольная работа по "Эконометрике"

Федеральное агентство по образованию

 

 

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

«Тульский государственный  университет»

 

Кафедра финансов и менеджмента

 

 

 

 

 

Эконометрика

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНО - КУРСОВАЯ РАБОТА

 

Вариант № 3

 

 

 

 

 

 

Выполнил      группа

 

 

Проверил        Гучек Н.Е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тула 2011

 

Вариант №1.

Необходимо изучить зависимость  между издержками обращения (y) и величиной торгового товарооборота (x) по следующим данным:

Магазин	Издержки обращения, тыс. руб., y	Товарооборот, тыс. руб., x
Магазин №1	12,5	160
Магазин №2	9,3	120
Магазин №3	9,2	110
Магазин №4	5,1	80
Магазин №5	7,5	90
Магазин №6	11,6	130
Магазин №7	13,1	150
Магазин №8	5,2	70
Магазин №9	7,9	100
Магазин №10	4,4	60

Задание:

1. Постройте поле корреляции и  сформулируйте  гипотезу о форме связи.
2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, гиперболической парной регрессии.
3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
6. Оцените с помощью F – критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4,5 и данном пункте, выберете лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.
7. Сделать прогнозное значение y при x=x* и найти доверительные интервалы прогноза для двух уравнений регрессии.
8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Решение.

Используя пакет прикладных программ Excel, построим поле корреляции (Рисунок 1).

Рисунок 1 – Поле корреляции

По полученному полю корреляции достаточно сложно судить о наличии  определенной связи между x и y, поэтому рассмотрим линейную, степенную,  гиперболическую регрессию.

Для характеристики зависимости  y от x рассчитаем параметры линейной, гиперболической парной регрессии.

1. Линейная регрессия  вида

Для нахождения уравнения  регрессии построим расчетную таблицу (Таблица 1).

Для нахождения параметров a и b линейной регрессии воспользуемся методом наименьших квадратов (МНК), для этого решим систему уравнений:

→ →

Также можно использовать формулы:

,    

Уравнение линейной регрессии примет вид:

 

 

 

Таблица 1 – Расчетная таблица для линейной регрессии

№ п/п	x	y	xy	x2	y2				Аi
1	160	12,5	2000	25600	156,25	13,45854	-0,95854146	0,918801728	7,67%	3,92	15,3664
2	120	9,3	1116	14400	86,49	9,776623	-0,47662338	0,227169843	5,12%	0,72	0,5184
3	110	9,2	1012	12100	84,64	8,856144	0,343856144	0,118237048	3,74%	0,62	0,3844
4	80	5,1	408	6400	26,01	6,094705	-0,99470529	0,989438623	19,50%	-3,48	12,1104
5	90	7,5	675	8100	56,25	7,015185	0,484815185	0,235045763	6,46%	-1,08	1,1664
6	130	11,6	1508	16900	134,56	10,6971	0,902897103	0,815223178	7,78%	3,02	9,1204
7	150	13,1	1965	22500	171,61	12,53806	0,561938062	0,315774385	4,29%	4,52	20,4304
8	70	5,2	364	4900	27,04	5,174226	0,025774226	0,000664311	0,50%	-3,38	11,4244
9	100	7,9	790	10000	62,41	7,935664	-0,03566434	0,001271945	0,45%	-0,68	0,4624
10	60	4,4	264	3600	19,36	4,253746	0,146253746	0,021390158	3,32%	-4,18	17,4724
Сумма	1070	85,8	10102	124500	824,62	85,8	0,00	3,643016983	58,84%	0,00	88,46
Среднее значение	107	8,58	1010,2	12450	82,462				5,88%		8,8456

 

 

II Степенная регрессия вида

Для того, чтобы построить степенную модель, необходимо линеаризовать переменные путем логарифмирования обеих частей уравнения .

Пусть , тогда

Для нахождения параметров уравнения  воспользуемся расчетной таблицей 2 и формулами:

,

,

Получим линейное уравнение:

Потенцируя которое, получим:

 

 

Таблица 2 - Расчетная таблица для степенной регрессии

№ п/п	x	y	X	Y	XY	X2	Y2				Ai
1	160	12,5	2,204119983	1,096910013	2,417721279	4,858144898	1,203211577	13,65683278	-1,156832777	1,338262075	9,25%
2	120	9,3	2,079181246	0,968482949	2,013651584	4,322994654	0,937959222	9,716065886	-0,416065886	0,173110821	4,47%
3	110	9,2	2,041392685	0,963787827	1,967469421	4,167284095	0,928886976	8,765351551	0,434648449	0,188919274	4,72%
4	80	5,1	1,903089987	0,707570176	1,346569717	3,621751499	0,500655554	6,013040561	-0,913040561	0,833643065	17,90%
5	90	7,5	1,954242509	0,875061263	1,710081919	3,819063786	0,765732215	6,912432614	0,587567386	0,345235433	7,83%
6	130	11,6	2,113943352	1,064457989	2,25020389	4,468756497	1,133070811	10,68144199	0,918558007	0,843748812	7,92%
7	150	13,1	2,176091259	1,117271296	2,4312843	4,735373168	1,248295148	12,65258376	0,447416244	0,200181295	3,42%
8	70	5,2	1,84509804	0,716003344	1,321096366	3,404386777	0,512660788	5,134086669	0,065913331	0,004344567	1,27%
9	100	7,9	2	0,897627091	1,795254183	4	0,805734395	7,830381167	0,069618833	0,004846782	0,88%
10	60	4,4	1,77815125	0,643452676	1,144156181	3,161821869	0,414031347	4,277939052	0,122060948	0,014898875	2,77%
Сумма	1070	85,8	20,09531031	9,050624625	18,39748884	40,55957724	8,450238032	85,64015603	0,159843975	3,947191	60,45%
Среднее значение	107	8,58	2,009531031	0,905062462	1,839748884	4,055957724	0,845023803	8,564015603			6,04%

 

 

III Уравнение гиперболы вида

Линеаризуется при замене , тогда

Найдем параметры a и b, используя метод МНК.

Для этого решим систему  относительно a и b:

→ →

→

Все необходимые расчеты  представлены в таблице 5.

В результате получим уравнение:

 

 

Таблица 6 - Расчетная таблица для гиперболической регрессии

№ п/п	x	y	( )	( )					Ai
1	0,00625	0,078125	0,0000390625	12,08816185	0,411838154	0,169610665	3,29%	0,00625	0,078125
2	0,008333333	0,0775	0,0000694444	10,26540115	-0,965401145	0,931999371	10,38%	0,008333333	0,0775
3	0,009090909	0,083636364	0,0000826446	9,602579072	-0,402579072	0,162069909	4,38%	0,009090909	0,083636364
4	0,0125	0,06375	0,0001562500	6,619879743	-1,519879743	2,310034433	29,80%	0,0125	0,06375
5	0,011111111	0,083333333	0,0001234568	7,835053544	-0,335053544	0,112260877	4,47%	0,011111111	0,083333333
6	0,007692308	0,089230769	0,0000591716	10,82625059	0,773749408	0,598688147	6,67%	0,007692308	0,089230769
7	0,006666667	0,087333333	0,0000444444	11,72360971	1,376390294	1,894450241	10,51%	0,006666667	0,087333333
8	0,014285714	0,074285714	0,0002040816	5,057513428	0,142486572	0,020302423	2,74%	0,014285714	0,074285714
9	0,01	0,079	0,0001000000	8,807192584	-0,907192584	0,822998385	11,48%	0,01	0,079
10	0,016666667	0,073333333	0,0002777778	2,97435834	1,42564166	2,032454141	32,40%	0,016666667	0,073333333
Сумма	0,102596709	0,789527847	0,0011563338	85,8	0,00	9,054868592	116,12%	0,102596709	0,789527847
Среднее значение	0,010259671	0,078952785	0,0001156334	8,5800000000		0,9054868592	11,61%	0,010259671	0,078952785

 

 

Получив три различные модели связи результативного фактора (Товарооборот, тыс. руб. ) с факторным признаком (Издержки обращения, тыс.руб.), необходимо оценить тесноту связи и качество каждой из моделей с помощью коэффициента корреляции (для линейной модели), индекса корреляции ρ (для нелинейных моделей) и коэффициента детерминации , которые рассчитываются по следующим формулам:

  

    

Также найдем средний коэффициент эластичности по формулам из таблицы 7. Средний коэффициент  эластичности показывает, на сколько  процентов изменится y при изменении x на 1%.

Таблица 7

Вид регрессии	Формула
Линейная
Степенная
Гиперболическая

Средняя ошибка аппроксимации, показывающая среднее  отклонение расчетных значений от фактических, рассчитывается:

, где 

Оценим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F- критерия Фишера:

Для линейной модели таблица дисперсионного анализа  примет вид:

Таблица 8 – Таблица дисперсионного анализа для линейной модели

Источники вариации	Число степеней свободы	Сумма квадратов отклонений	Дисперсия на одну степень  свободы	F - отношение
				Факт	Табл
Общая	9	88,456
Объясненая	1	84,812983	84,81298302	186,24779	5,12
Остаточная	8	3,643017	0,455377123

 

Для сравнения полученных уравнений регрессии построим таблицу 9.

Таблица 9

Вид регрессии	ρ, r	,			F
Линейная	0,979191	0,9588155	5,88%	1,1479174	186,2478	88,46
Степенная	0,977434	0,9553768	6,04%	1,1834563	171,2789	88,46
Гиперболическая	0,947436	0,8976342	11,61%	0,8717742	70,15111	9,054869