Контрольная по "Предприятиям легкой промышленности"

ЗАДАНИЕ

      По  предприятиям легкой промышленности региона  получена информация, характеризующая зависимость объема выпускаемой продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.): 

№ предприятия	X	Y
1	72	121
2	52	84
3	73	119
4	74	117
5	76	129
6	79	128
7	54	102
8	68	111
9	73	112
10	64	98

 

      Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию углового коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; определить стандартную ошибку регрессии; построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок метода наименьших квадратов.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (уровень значимости a=0,05).
5. Вычислить коэффициент детерминации R²; проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (уровень значимости a=0,05); найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование значения показателя Y при уровне значимости a=0,1, если прогнозное значения фактора Х составит 80 % от его максимального значения.
7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

• логарифмической;

• степенной;
• показательной.

      Привести  графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

РЕШЕНИЕ

      Для решения задачи используется табличный процессор EXCEL.

      1. С помощью надстройки «Анализ данных» проводим регрессионный анализ и определяем параметры уравнения линейной регрессии (меню «Сервис» ® «Анализ данных…» ® «Регрессия»):

 
 

В результате этого уравнение регрессии будет иметь вид:

 

      Угловой коэффициент b₁=1,404 показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции Y возрастает в среднем на 1,404 млн. руб.

2. При проведении регрессионного анализа в EXCEL одновременно были определены остатки регрессии (i=1, 2, …, n, где n=10 — число наблюдений значений переменных X и Y) (см. «Вывод остатка» в прил. 1) и рассчитана остаточная сумма квадратов

Стандартная ошибка линейной парной регрессии S_рег определена там же:

 млн. руб.

Стандартная ошибка регрессии S_рег показывает, что фактические значения объема выпускаемой продукции Y отличается от расчетных значений в среднем на 6,099 млн. руб.

      График  остатков e_i от предсказанных уравнением регрессии значений результата (i=1, 2, …, n) строим с помощью «Мастера диаграмм». Предварительно в «Выводе остатка» выделяются блоки ячеек «Предсказанное Y» и «Остатки» вместе с заголовками, а затем выбирается пункт меню «Вставка» ® «Диаграмма…» ® «Точечная»:

 

3. Проверим выполнение предпосылок обычного метода наименьших квадратов.

      1) Случайный характер остатков. Визуальный анализ графика остатков не выявляет в них какой-либо явной закономерности.

      Проверим  исходные данные на наличие аномальных наблюдений объема выпускаемой продукции Y. С этой целью сравним абсолютные величины стандартизированных остатков с табличным значением t-критерия Стьюдента для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы , которое составляет t_таб=2,306.

      Видно, что ни один из стандартизированных  остатков не превышает по абсолютной величине табличное значение t-критерия Стьюдента. Это свидетельствует об отсутствии выбросов.

2) Нулевая средняя величина остатков. Данная предпосылка всегда выполняется для линейных моделей со свободным коэффициентом b₀, параметры которых оцениваются обычным методом наименьших квадратов. В нашей модели алгебраическая сумма остатков и, следовательно, их среднее, равны нулю:

Для вычисления суммы и среднего значений остатков использовались встроенные функции «СУММ» и «СРЗНАЧ».

3) Одинаковая дисперсия остатков. Выполнение данной предпосылки проверим методом Глейзера в предположении линейной зависимости среднего квадратического отклонения случайной составляющей регрессионной модели от значений факторов. Для этого рассчитывается коэффициент корреляции между абсолютными величинами остатков и значениями (i=1, 2, …, n) с помощью выражения, составленного из встроенных функций: =КОРРЕЛ(ABS(Остатки);Предсказанное_Y)

Коэффициент корреляции оказался равным

 

Критическое значение коэффициента корреляции для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы составляет r_кр=0,632.

Так как  коэффициент корреляции не превышает по абсолютной величине критическое значение, то статистическая гипотеза об одинаковой дисперсии остатков не отклоняется на уровне значимости a=0,05.

4) Отсутствие автокорреляции в остатках. Выполнение данной предпосылки проверяем методом Дарбина–Уотсона. Предварительно ряд остатков упорядочивается в зависимости от последовательно возрастающих значений результата Y, предсказанных уравнением регрессии. Для этой цели в «Выводе остатка» выделяется любая ячейка в столбце «Предсказанное Y», и на панели инструментов нажимается кнопка « » («Сортировка по возрастанию»). По упорядоченному ряду остатков рассчитываем d-статистику Дарбина–Уотсона

      Для расчета d-статистики использовалось выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:

=СУММКВРАЗН(«Остатки 2, …, n»; «Остатки 1, …, n–1»)/СУММКВ(«Остатки 1, …,n»)

      Критические значения d-статистики для числа наблюдений n=10, числа факторов p=1 и уровня значимости a=0,05 составляют: d₁=0,88; d₂=1,32.

Так как  выполняется условие

,

это указывает  на неопределенность ситуации.

Примечание:

• если , то остатки признаются независимыми (некоррелированными);
• если — имеется положительная автокорреляция;
• если — существует отрицательная автокорреляция;
• если или , то это указывает на неопределенность ситуации.

      Проверим  отсутствие автокорреляции в остатках также и по коэффициенту автокорреляции остатков первого порядка

(ряд  остатков упорядочен в той же самой последовательности).

      Для расчета коэффициента автокорреляции использовалось выражение, составленное из встроенных функций:

=СУММПРОИЗВ(«Остатки 2, …, n»; «Остатки 1, …, n–1»)/СУММКВ(«Остатки 1, …,n»)

      Критическое значение коэффициента автокорреляции для числа наблюдений n=10 и уровня значимости a=0,05 составляет r_(1)кр=0,632. Так как коэффициент автокорреляции остатков первого порядка не превышает по абсолютной величине критическое значение, то это указывает на отсутствие автокорреляции в остатках.

5) Нормальный закон распределения остатков. Выполнение этой предпосылки проверяем с помощью R/S-критерия, определяемого по формуле

где e_max=10,26; e_min=(–7,78) — наибольший и наименьший остатки соответственно; — стандартное отклонение ряда остатков (определено с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН»;

Критические границы R/S-критерия для числа наблюдений n=10 и уровня значимости a=0,05 имеют значения: (R/S)₁=2,67 и (R/S)₂=3,69.

Так как  расчетное значение R/S-критерия попадает в интервал между критическими границами, то статистическая гипотеза о нормальном законе распределения остатков не отклоняется на уровне значимости a=0,05.

      Проведенная проверка показала, что выполняются  все пять предпосылок обычного метода наименьших квадратов. Это свидетельствует об адекватности регрессионной модели исследуемому экономическому явлению.

4. Проверим статистическую значимость коэффициентов b₀ и b₁ уравнения регрессии. Табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы остатка линейной парной регрессии составляет t_таб=2,306.

 

,

были  определены при проведении регрессионного анализа в EXCEL: t_b0»1,037; t_b1»6,315. Их анализ показывает, что по абсолютной величине все они превышают табличное значение t-критерия Стьюдента. Это свидетельствует о статистической значимости обоих коэффициентов.

      Статистическая  значимость углового коэффициента b₁ дает основание говорить о существенном (значимом) влиянии изменения объема капиталовложений X на изменение объема выпускаемой продукции Y.

5. Коэффициент детерминации R² линейной модели также был определен при проведении регрессионного анализа:

 

 

Значение R² показывает, что линейная модель объясняет 83,3 % вариации объема выпускаемой продукции Y.

      F-статистика линейной модели имеет значение

 

Табличное значение F-критерия Фишера для уровня значимости a=0,05 и чисел степеней свободы и составляет F_таб=5,32. Так как F-статистика превышает табличное значение F-критерия Фишера, то это свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом.

      Среднюю относительную ошибку аппроксимации определяем по приближенной формуле

,

где млн. руб. — средний объем выпускаемой продукции, определенный с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ».