Экономико-математическое моделирование многофакторной производительности

    или   

      где ∏ - коэффициент замещения живого труда; 
      Y - коэффициент эластичности производительности труда по его фондовооруженности, показывающий, на сколько процентов растет производительность труда при росте фондовооруженности последнего на один процент.

Индекс многофакторной производительности Д.Кендрика может быть применен как  ко всей экономике, так и к ее отдельным  частям. Однако в силу несоблюдения очевидного требования к одинаковой размерности труда и капитала данный показатель не получил широкого практического распространения.

Предлагаемый подход позволяет  соизмерить затраты живого труда  со средствами труда. Поскольку здесь  складываются величины одинаковой размерности, значение ∏ прямо пропорционально величине Υ. 

В общем случае из формулы    или   следует, что в результате роста Υ и ∏ в составе совокупных затрат факторов производства усиливается значение средств труда, т.е. растет отношение  ∏= . Это имеет четкии экономический смысл: при росте коэффициента замещения живого труда средствами труда значение К увеличивается и вклад L уменьшается таким образом, что совокупные затраты растут медленнее результатов производства.

Хотя в индексе многофакторной производительности Д.Черникова снимается  проблема разной размерности макрофакторов, характерная для индекса Д.Кендрика, все же он также не нашел широкого применения.  Это обусловлено, по крайней мере, тремя причинами.

Первая из них – утяжеленная  интерпретация данного показателя из-за использования такой сложной  конструкции, как коэффициент замены труда капиталом.

Вторая – не очень удачная  размерность показателя (грн./чел.), носящая явно частный характер.

Третья причина – относительная  сложность расчета, т.к. для оценки коэффициента эластичности производительности труда по его фондовооруженности, вообще говоря, необходимо построение эконометрической модели; в упрощенном случае данная характеристика носит интервальный характер и рассчитывается для двух последовательных временных точек. 

Производственная функция. Наряду с индексом многофакторной производительности в экономико-математическом моделировании  широко используется производственная функция. Эта математическая модель позволяет установить зависимость между объемом конечного продукта и объемами используемых факторов производства.

Производственная функция  имеет вид: 

 

где Y - конечный продукт; 
   А - параметр, играющий двоякую роль: характеризует долю неучтенных в модели факторов и обеспечивает приведение к единой размерности всех факторов; 
   X₁, Х₂, Х_n - важнейшие факторы производства; 
   а₁, а₂, а_n - коэффициенты эластичности, характеризующие степень воздействия факторных признаков на результативный.

Сумма коэффициентов эластичности может быть больше, меньше или равна 1. Если сумма коэффициентов эластичности равна 1, имеет место нейтральная  отдача от масштаба, т.е. конечный объем  производства растет теми же темпами, что и объем факторов производства. Когда сумма коэффициентов эластичности меньше 1, наблюдается отрицательная  отдача от масштаба, т.е. конечный объем  производства увеличивается в меньшей  степени, чем суммарный объем  факторов производства. Если же сумма  коэффициентов эластичности больше 1, то говорят о положительной  отдаче от масштаба, т.е. конечный объем  производства растет быстрее, чем объем  факторов производства.

Первой моделью производственной функции была производственная функция  Кобба - Дугласа. Производственная функция – это зависимость между набором факторов производства и максимально возможным объемом продукта, производимым с помощью данного набора факторов. С помощью производственной функции определяется минимальное количество затрат, необходимых для производства данного объема продукта. Она построена в результате обработки статистических данных по обрабатывающей промышленности США за 1899-1922 гг. В модели исследована зависимость объема выпуска продукции от двух факторов: объема трудовых ресурсов и основного капитала. 

Функция Кобба - Дугласа имеет  вид:

 

где L - объем трудовых ресурсов; 
  а - коэффициент эластичности труда; 
  К - объем основного капитала;  
  ß - коэффициент эластичности капитала. 
   В данной модели а + ß = 1.

Например, равенство Q = L^0,73 К^0,27 означает, что доля труда в совокупном продукте составляет 73%, а доля капитала — 27%.

На основе анализа коэффициентов  эластичности в производственной функции  Кобба - Дугласа можно выделить: 
1)     пропорционально возрастающую производственную функцию, когда   (   ). 
2)     непропорционально – возрастающую   ); 
3)     убывающую   .

Данная производственная функция имела серьезный недостаток: она рассматривала только вариант  экстенсивного роста, не учитывая влияния  научно-технического прогресса. 
   В 1942 г. Я. Тинберген (Нидерланды) ввел в функцию Кобба - Дугласа фактор НТП:

 

где е - основание натуральных  логарифмов; 
   n - коэффициент эластичности фактора НТП, т.е. параметр приростной совокупной эффективности факторов (данная величина и характеризует показатель многофакторной производительности как темп прироста выпуска продукции в дополнение к приросту, обусловленному экстенсивными факторами); 
   t - период, для которого определяются параметры роста.

Таким образом, НТП описывается  показательной функцией времени. 
   Подобная корректировка производственной функции позволила Я. Тинбергену количественно оценить влияние показателя многофакторной производительности (удельного веса интенсивных факторов) в процессе экономического роста:

 

 

 Другой подход к оценке изменений величины производительности факторов производства предложил Д. Р. Хикс . Данный подход предполагает учет действия НТП на основе изучения коэффициентов эластичности замещения отдельных факторов производства.

Графически иллюстрация  такого подхода представлена на рисунке:

На оси ординат К - объем  капитала; на оси абсцисс L - объем  трудовых ресурсов. Кривые, приведенные  на графике, называются изоквантами. Они  показывают различные комбинации факторов производства (труда и капитала), при которых производится один и  тот же объем продукции. При сдвиге изокванты вправо (от E₁F₁ до E₂F₂) объем выпуска продукции возрастает, а при сдвиге влево (от E₁F₁ до E₃F3) - сокращается. 

Величина коэффициента эластичности замещения показывает, на сколько  процентов изменится расход одного фактора при изменении затрат другого на один процент:

 

где dK/dL - предельная норма  замещения одного фактора другим. 
   В данной формуле присутствуют натуральные объемы факторов, тогда как технологические способы производства различаются их соотношениями.  

Эти соотношения обусловлены  предельной нормой замещения, каждому  значению которой соответствуют  определенные технологии. Если L/K = Р, dK/dL = q, то получается:

 

Величина E показывает эластичность замещения не самих факторов, а  их соотношений: при изменении предельной нормы замещения на 1% соотношение  факторов производства изменится на Е%. 
         Если при изменении технологии коэффициент эластичности замещения не меняется, то НТП считается нейтральным, поскольку соотношение факторов производства остается одним и тем же. Если же коэффициент эластичности изменился, это свидетельствует о действии фактора НТП. При увеличении доли капитала имеет место трудосберегающий, а при увеличении доли труда - капиталосберегающий тип НТП.

При замещении одного фактора  другим и прочих равных условиях средняя  производительность замещаемого фактора  растет, замещающего - снижается. Увеличение капиталоемкости технологии повышает темп выпуска, если труд растет медленнее, чем капитал, и понижает темп роста  выпуска, если капитал является относительно медленно растущим фактором. 
      Индекс многофакторной производительности и производственная функция взаимодополняют друг друга. С одной стороны, каждый из этих подходов имеет свою специфику. Так, если индекс многофакторной производительности позволяет определить как абсолютный уровень совокупной эффективности факторов производства, так и его динамику, то производственная функция оперирует только показателем приростной эффективности. Но если индекс многофакторной производительности не отражает форму взаимосвязи темпов прироста производительности труда и его фондовооруженности, то производственная функция позволяет определить ее конкретный вид. С другой стороны, использование индекса многофакторной производительности и производственной функции приводит к однозначному выражению параметров эластичности выпуска продукции по средствам труда и трудовым ресурсам, а значит, и показателю, характеризующему динамику совокупной производительности факторов производства.

Многофакторная модель измерения  производительности (МФМИП) Американского  центра производительности. Она отражена в работах Д. Скотта Синка (США).

Коэффициенты производительности в модели МФМИП рассчитываются по формулам:

   ,    

Таким образом, традиционный индекс физического объема продукции  последовательно соотносится с  аналогичными индексами реальных затрат каждого ресурса, фактора производства и всех затрат. 
   Расчет индексов производительности в модели МФМИП позволяет рассчитать индексы результативности. Помимо индексов производительности они включают индексы возмещения затрат и индексы прибыльности. Модель позволяет установить долю каждого элемента затрат, фактора производства и совокупности всех затрат в доходе фирмы, а также оценить изменение доли этих затрат в текущий период по сравнению с базисным. 

Если доля всех затрат в  доходе меньше единицы, фирма получает прибыль, если больше единицы - убытки. Модель МФМИП дает возможность определить экономию каждого элемента затрат, каждого фактора производства и совокупности всех затрат на 1 долл. продукции. В отличие от производственной функции, где выпуск определяется величиной конечного продукта, в модели МФМИП под выпуском понимается сумма конечного и промежуточного продуктов. Модель измеряет производительность с помощью реальных параметров продукции и затрат при абстрагировании от их стоимостной формы. 

Метод счета излишка совокупной производительности. Этот излишек равен  разнице между стоимостью прироста выпуска продукции предприятия  в отчетном году (в ценах базового года) и стоимостью дополнительно  введенных в производство в отчетном году факторов производства (также  в ценах базового года). Полученный излишек совокупной производительности распределяется по трем направлениям.

Во-первых, определяется доля наемных работников в этом излишке, т.е. увеличение затрат на фактор труда (рост заработной платы), как разница  между затратами на заработную плату  в отчетном году, соответственно в  текущих ценах и ценах базового года. 

Во-вторых, рассчитывается доля акционеров (собственников капитала) в излишке, т.е. увеличение затрат на фактор капитала (рост прибыли), как  разница величины прибыли в отчетном году, соответственно в текущих ценах  и ценах базового года. 

В-третьих, устанавливается  доля потребителей в излишке за счет снижения цен на продукцию предприятия  как разница между объемом  производства в текущем году, соответственно в текущих ценах и ценах  базового года.

Следует иметь в виду, что данный метод предполагает, что  повышение совокупной производительности факторов обеспечивает снижение цен  на продукцию. Однако в условиях господства монополий в экономике, их стремления к постоянному повышению цен на свою продукцию такое условие практически не выполняется.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Можно выделить по крайней  мере четыре аспекта применения математических методов в решении практических проблем.  
1. Совершенствование системы экономической информации.  
Математические методы позволяют упорядочить систему экономической информации, выявлять недостатки в имеющейся и вырабатывать требования для подготовки новой или ее корректировки. Разработка и применение экономико-математических моделей указывают пути совершенствования экономической информации, ориентированной на решение определенной системы задач планирования и управления. Прогресс в информационном обеспечении планирования и управления опирается на бурно развивающиеся технические и программные средства информатики.  
2. Интенсификация и повышение точности экономических расчетов.  
Формализация экономических задач и применение ЭВМ многократно ускоряют типовые, массовые расчеты, повышают точность и сокращают трудоемкость, позволяют проводить многовариантные экономические обоснования сложных мероприятий, недоступные при господстве "ручной" технологии.  
3. Углубление количественного анализа экономических проблем.  
Благодаря применению метода моделирования значительно усиливаются возможности конкретного количественного анализа; изучение многих факторов, оказывающих влияние на экономические процессы, количественная оценка последствий изменения условий развития экономических объектов и т.п.  
4. Решение принципиально новых экономических задач.  
Посредством математического моделирования удается решать такие экономические задачи, которые иными средствами решить практически невозможно, например: нахождение оптимального варианта народнохозяйственного плана, имитация народнохозяйственных мероприятий, автоматизация контроля за функционированием сложных экономических объектов. 

Сфера практического применения метода моделирования ограничивается возможностями и эффективностью формализации экономических проблем  и ситуаций, а также состоянием информационного, математического, технического обеспечения используемых моделей. Стремление во что бы то ни стало  применить математическую модель может  не дать хороших результатов из-за отсутствия хотя бы некоторых необходимых  условий.  
В соответствии с современными научными представлениями системы разработки и принятия хозяйственных решений должны сочетать формальные и неформальные методы, взаимоусиливающие и взаимодополняющие друг друга. Формальные методы являются прежде всего средством научно обоснованной подготовки материала для действий человека в процессах управления. Это позволяет продуктивно использовать опыт и интуицию человека, его способности решать плохо формализуемые задачи.  
Можно предположить, что в связи с бурным развитием компьютерных технологий и науки в целом, математический метод исследования ещё долго не перестанет быть актуальным и широко применяемым как в экономике, так и в других научных сферах.