Эконометрика. Лекции

 

1. Классификация эконометрических моделей

    Эконометрические  модели делятся на линейные и нелинейные.

    Линейная  модель парной регрессии имеет вид: у=bх+a+e

    b - коэф-т регрессии, показывающий, как изменится у при изменении х на единицу

    a - это свободный член, расчетная величина, содержания нет.

    e - это остаточная компонента, т.е. случайная величина, независимая, нормально распределенная, мат ожид = 0 и постоянной дисперсией.

    Присутствие e в модели свидетельствует о том, что функциональной зависимости м\у у и х нет. На изменение у оказывает влияние не только фактор х, но и какие-то др не учтенные моделью факторы.

    Первой  задачей регрессионного анализа  явл получение значения параметров  a и b. Найти эти параметры мы не можем (пришлось бы обследовать ген совокупность), поэтому находим выборочные оценки этих параметров.

    ŷ = a + b x

    Для нахождения выборочных оценок используем метод НК

    

    

    решением  системы нормальных уравнений будет:

    

    выборочные  оценки для ур-я (1)

    очевидно, что мин регрессия будет иметь  место только в том случае, если . если хi совпадает с в этом случае зависимость отсутствует.

    Нелинейная  модель. уравнение зависимости между  Уи Х может быть представлено степенной функцией У от Х, , показательной , гиперболической и д.р.

    Для оценки параметров в этих случаях  метод наименьших квадратов можно  применять после логарифмирования, либо после введения новой переменной. 

    Для показательной функции:

    ln y=ln a+x ln b

    Y      α       β

    Y = α + х β Þ а = еα; b=еβ

    Для степенной функции

    ln y=ln a+b ln x

    Y      α       X

    Y = α + β X  
 

    Для гиперболической функции

    у=а+b/x

    1/х=Х

    У=а+bХ

 

    

2. Тип эконометрических данных используемых в эконометрических исследованиях

    Эконометрика -  это наука, ɣ позволяет осуществить количественное выражение взаимосвязей экономических явлений.

    Для оценки кол-ого выражения необходимо построить эконометрическую модель.

    Все переменные эконометрической модели делят на экзогенные, эндогенные и предопреленные.

    Экзогенные  – это переменные, ɣ входят в модель, но задаются как бы из вне, т.е. так называемые независимые переменные.

    Эндогенные  – определяются самим явлением, для ɣ строится модель.

    ///В  модели они явл предметом объяснения, т.е. зависимости (объясняемыми) переменными. ///

    Предопределенными  называются переменных выступающие  в системе в роли аргументов или  так наз объясняющими переменными. Т.е. множество предопределенных переменных состоит из множества экзогенных переменных и так наз лаговых эндогенных переменных.

    Лаговые эндогенные  - это такие переменных, значение γ входят в изучаемую систему будучи оценены в прошлых периодах .

    /// Иначе, в настоящей момент времени  мы их считаем известными, заданными переменными. ///

 

3. Статистическая  зависимость (независимых  случайных переменных) ковариация

    Статистическая  зависимость м\у двумя переменными - каждому значению (одному) у соответствует не одно, а множество значений или ряд распределения х.

    В силу неоднозначности статистической зависимости между у и х . Особый интерес представляет собой усредненная по х зависимость, и т.е. закономерность в изменении признаковых средних х, а точнее условного мат ожидания (у в зависимости от х)

    М_ч(у) - Т.е. получим корреляционную зависимость.

    Наличие корреляционной зависимости не может  ответить на вопрос о причине связи. Корреляция устанавливает лишь меру этой связи, т.е. меру согласованного варьирования.

    Меру  взаимосвязи  м\у 2 мя переменными  можно найти с помощью ковариации.

     , ,

    Величина  показателя ковариации зависит от единиц в γ измеряется переменная. Поэтому для оценки степени согласованного варьирования используют коэффициент корреляции – безразмерную характеристику имеющую определенный пределы варьирования..

    Основными числовыми характеристиками меры связи  м\у переменными явл: парные кофэ-ы  корреляции, частные коэф-ы корреляции и множественные коэф-ы корреляции.

    /// Последние 2 имеют место если переменных больше 2. ///

    Для 2х  переменных парный коэффициент корреляции определяется по формуле: , где ; .

 

4. Анализ  линейной статистической связи. Вычисление коэффициента корреляции

    Основными числовыми характеристиками меры связи  м\у переменными явл: парные кофэ-ы  корреляции, частные коэф-ы корреляции и множественные коэф-ы корреляции.

    /// Последние 2 имеют место если  переменных больше 2. /// Для 2х переменных  парный коэффициент корреляции определяется по формуле:

      , где ; .

    Он  является показателем тесноты связи  лишь в случае линейной зависимости.

    Его свойства:

    1)

    2) - кожф-т корреляции не зависит от выбора начала отсчета

    коэф-т  корреляции величина безразмерная

    если  , то это свидетельствует о функциональной зависимости м\у х и у., Если ρ=0, то связи нет. Если , то это свидетельствует о положительном направлении связи, т.е. с ростом одной переменной 2-я так же возрастает, если , направление отрицательное, т.е. с возрастанием одной переменной другая убывает.

    В практических расчетах генеральный коэффициент корреляции ρ не известен, его оценивают по результатам выборочного исследования. Точечная оценка ρ, иначе выборочный коэффициент корреляции: .

    Для оценки сущ-ти (значимости) коэффициента корреляции ρ (генерального) применяется коэффициент t-статистики. Значение этого критерия t_распр = t_набл определяется по формуле:

    Значение  вычисленной t-статистики сравнивается с табличным, т.е. критическим значением t. Критическое значение t берется на заданном уровне значимости α и числе степеней свободы n-2/

    

    Выдвигается нулевая гипотеза Н₀, что коэф-т корреляции равен нулю. Н₀ ρ =0. Вычисляется t расч, сравнивается с t_крит. Если t _расч > t _крит, то гипотеза Н₀ отклоняется, и принимается противоположная гипотеза, т.е. ρ≠0. Если t _расч ≤ t_крит, то гипотеза принимается. Как видно из формулы t _набл, это t-статистика определяется выборочным коэф-м корреляции и числом наблюдений n, поэтому не трудно для заданного числа степени свободы найти наименьшее значение выборочного коэф-та r, при γ гипотеза Н₀ будет отклонена к заданной доверительной вероятностью.

 

5. Основные  этапы построения эконометрических моделей

    На  первом постановочном этапе построения эконометрической модели формируются  цели моделирования, определяется набор участвующих в модели факторов, т.е. устанавливается, какие из переменных будут рассматриваться как экзогенные, а какие как эндогенные и лаговые.

    Пусть У ={у1 у2 …уm}, множество эндогенных переменных ; Х = {х1 х2 …хm} – множество экзогенных переменных.

    Задачей экзогенного моделирования является получение каждой эндогенной переменной от совокупности экзогенных переменных и возможно от части эндогенных.

    y1 = f (x1 … xk у2 … уm)

    При этом зависимые переменных лаговые.

    На 1 ом этапе осуществляется анализ экономической сущности изучаемой модели.

    На 3 ем этапе выбор общего вида модели: парная, множественная; сколько должно войти факторов; линейная не линейная; а так же определение коэффициентов функции f.

    4 ый этап отбор необходимой  статистической информации и предварительный анализ данных.

    5 ый этап – идентификация модели, т.е. стат анализ модели, стат  оценка независимых параметров  модели. Наиболее часто для оценки (нахождения) параметров модели применяют  метод наименьших квадратов (МНК)

    6 ой этап – сопоставление реальных и модельных значений. Иначе оценка адекватности и точности модели.

    По  точной и адекватной модели осуществляется прогнозирование. 

 

6. Линейная  модель парной регрессии. Оценка параметров модели с помощью МНК

    Линейная  модель парной регрессии есть: у=bх+a+e

    b - коэф-т регрессии, показывающий, как изменится у при изменении х на единицу

    a - это свободный член, расчетная величина, содержания нет.

    e - это остаточная компонента, т.е. случайная величина, независимая, нормально распределенная, мат ожид = 0 и постоянной дисперсией.

    Присутствие e в модели свидетельствует о том, что функциональной зависимости м\у у и х нет. На изменение у оказывает влияние не только фактор х, но и какие-то др не учтенные моделью факторы.

    Первой  задачей регрессионного анализа явл получение значения параметров  a и b. Найт этои параметры мы не можем (пришлось бы обследовать ген совокупность), поэтому находим выборочные оценки этих параметров.

    ŷ = a + b x

    Для нахождения выборочных оценок используем метод НК

    

    

    решением  системы нормальных уравнений будет:

    

    выборочные  оценки для ур-я (1)

    очевидно, что мин регрессия будет иметь  место только в том случае, если , если хi совпадает с .

    В этом случае зависимость отсутствует.

    

 

    

7. Оценка  существенности (значимости) параметров линейной регрессии 

    Проведем  оценку качества построенной моедли:

    А) оценим значимость уравнения регрессии, иначе ответим на вопрос, соответствует построенная математическая модель фактическим данным и достаточна ли выкюч в уравнение х-фактроров для объяснения изменения результативного показателя.

    Для проверки значимости модели уравнения  регрессии используется F-критерий Фишера по γ вычисляется F расчетное.

     ,

    Fрасч  сравнивается с F крит с 2-я  степенями свободы: υ1 = n-1,  υ2 = n-k-1, где k  - кол-во оцениваемых параметров. /k=1/