Исторический аспект использования математических методов в экономике

  Здесь общее экономическое равновесие определяется с помощью стационарных траекторий интенсивности использования основных процессов и цен на продукты. Стационарность означает постоянство структуры траекторий и постоянный темп падения цен. Динамическое равновесие играет важную роль в анализе траекторий многосекторных и многопродуктовых динамических моделей.

  Модель Дж. Фон Неймана состоит из двух сфер: производственной и матричной. Задается в матричной форме с помощью матриц затрат и выпуска. Эту модель также можно задать с помощью многогранного конуса в пространстве, образуемом пространством затрат и пространством выпусков. Такой конус представляет собой постоянное по времени технологическое множество модели. Однако вместо многогранного конуса модель можно задать с помощью «круглого конуса», от которого переход к матричной конструкции невозможен. Соответствующая модель была предложена Гейлом Д. (США), она представляет собой обобщение модели Дж. Фон Неймана.

  В моделях Дж. Фон Неймана и Гейла Д. конусы, т.е. технологические множества, не меняются во времени, что означает, что означает, что в этих моделях не учитывается научно-технологический прогресс. Его можно учесть в экзогенной форме путем использования переменных во времени конусов, т.е. технологических множеств моделей.

  Динамическая межотраслевая модель с лагом капитальных вложений продолжительностью, равной одному году и более, может быть преобразована так, что ее матрицы образуют матричные агрегаты, которые формально соответствуют матрицам затрат и выпуска модели Дж. Фон Неймана, что означает, что эта модель может играть роль каркаса, охватывающего в качестве частного случая разнообразные динамические межотраслевые модели.

    Большое и важное место в исследовании экономической динамики занимают сильно агрегированные модели с производственными функциями. Можно выделить три периода развития моделирования экономического роста на основе сильно агрегированных моделей. Первый связан с работами Харрода Р.Ф. и Домара Е. конца 30-40-х годов 20 века. Они пытались соединить кейнсианский анализ с элементами экономического роста, и их результаты в настоящее время практически не востребованы. Второй период связан с работами Солоу Р. (1956 г.) и Свана Т.У. (1956 г.), в которых была использована неоклассическая форма производственной функции, которая предполагает постоянную отдачу от масштаба, уменьшающуюся отдачу от фактора и положительную эластичность замены факторов. В неоклассической модели роста темп долгосрочного роста капиталовооруженности привязан к темпу экзогенного научно-технического прогресса. Необходимо, чтобы новые достижения определили долговременный темп роста внутри модели, т.е. требуется создание моделей экзогенного роста. Третий период связан с работами Ромера П.М. (1986) и Лукаса Р.Е. (1988) и благодаря появлению все новых работ, посвященных моделированию экзогенного экономического роста, учету в моделях роста наряду с производственным сектором сектора НИОКР, образования, экологического и социального факторов продолжается до сих пор. Современные модели экономического роста имеют форму задач оптимального управления с целевым функционалом типа максимизации и дисконтированного суммарного душевого потребления, а также форму задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

    На основании моделей экономического роста разными авторами было в разное время выявлено большое число работ по определению оптимальных траекторий равновесия на базе реальных и экспертных данных. Результаты многих исследований показали высокий их уровень, что свидетельствовало о том, что модели экономического роста достаточно адекватны тем фрагментам экономической реальности, для исследования которых они строились.

    Много расчетов на базе реальных и экспертных данных в разных странах было выполнено на основании статических и динамических межотраслевых моделей.

    До 1991 г., в органах государственной статистики СССР и союзных республик действовали матрицы прямых затрат и матрицы основного производственного капитала, на основании которых строились вычислимые динамические межотраслевые модели, результаты расчетов по которым использовались для решения задач анализа, планирования и прогнозирования на народохозяйственном и региональном уровнях. Из зарубежных стран в Японии и во Франции в практике индикативного планирования активно используются результаты расчетов на основе межотраслевых балансов большой размерности (с числом отраслей 100 и более).

  Значительное место в математическом моделировании экономических отношений и процессов занимают так называемые качественные исследования решений математических моделей, т.е. исследования характерных свойств решений без явного знания этих решений. Это относится, прежде всего, к решениям динамических моделей, которые называются траекториями. Результаты качественных исследований представляют прежде всего теоретический интерес. Например, качественные исследования оптимальных траекторий сильно агрегированных и многопродуктовых и многосекторных моделей. Характер поведения этих траекторий во времени в случае продолжительных временных промежутков: оптимальная траектория состоит из трех участков, главным из которых является второй, который по существу представляет собой траекторию максимального постоянного пропорционального роста, которая расположена на луче, называемом магистралью. Первый участок оптимальной траектории – участок перехода от исторически обусловленного начального вектора к магистрали, а третий участок демонстрирует отход оптимальной траектории от магистрали к ее терминальному вектору. Описанный результат демонстрирует максимальный постоянный пропорциональный рост в качестве эндогенного эффекта в поведении оптимальной траектории. Магистральное свойство позволяет строить траектории, аппроксимирующие оптимальные, упрощает проблему сглаживания «ухабистых» участков оптимальных траекторий, строить приемлемое решение так называемой «проблемы хвоста». Суть этой проблемы в том, что в последние периоды временного промежутка в оптимальной траектории процессы накопления элиминируются, а текущее потребление становится неадекватным реальности в связи с тем, что последний период временного промежутка является «концом света» динамической модели.

  Для анализа и прогнозирования динамики населения, в том числе под воздействием экономических, экологических, социальных, политических и других факторов строятся демографические модели. Для решения многих задач анализа и прогнозирования производства, важное значение имеют результаты расчетов на основе моделей численности населения, которые включают модель передвижки возрастов, показательную модель, логистическую модель, модель стационарного населения.

    Важную роль в моделировании экономических состояний и процессов играет учет экологического фактора как в сильно агрегированных моделях экономического роста, так и в многопродуктовых и многосекторных статистических и динамических моделях. Многие авторы применяют в сильно агрегированных моделях специальные индексы, отражающие изменение показателей, характеризующих состояние экологии и социальной сферы. Экономический и социальный индексы строятся исходя из доступной статистической информации по показателям, характеризующим загрязнение окружающей среды и развитие социальной сферы. Более конкретно экологический индекс характеризует относительное изменение состояния окружающей среды в связи с изменением массы выбросов в атмосферу загрязняющих веществ от стационарных источников, площади нарушенных в результате хозяйственной деятельности земель, объемов сброшенных загрязненных вод по сравнению с базовым годом. Экологический индекс растет при уменьшении загрязнений окружающей среды и уменьшается, если объем загрязнений увеличивается. Принцип построения социального индекса аналогичен.

   В статической межотраслевой модели учитывать экологический фактор предложили американские авторы Леонтьев В. и Форд Д. В динамической межотраслевой модели - японские авторы Цукуи Дж. И Мураками Й. Суть основной идеи японских авторов состоит в построении матриц дополнительных величин, которые приплюсовываются соответственно к матрицам прямых затрат, основного и оборотного производственного капитала, что, естественно «утяжеляет» первоначальную динамическую межотраслевую модель. Матрицы дополнительных величин формировались на реальных данных японской статистики, которые характеризовались высокой степенью детализации и вполне приемлемым качеством.

  Со второй половины 20 века резко возросла значимость финансовой математики – совокупность математических методов и средств для расчетов, связанных с операциями на финансовых рынках, т.е. рынках ценных бумаг и финансовых услуг: расчет, анализ и оптимизация денежных потоков, возникающих при использовании разнообразных финансовых инструментов. Основными направлениями современной финансовой математики являются: математика процентов, внутренняя процентная ставка ( норма доходности), теория выбора инвестиционного портфеля, нормальная модель для курсов активов, логнормальная модель, обобщающая правило сложных процентов, теория производных финансовых инструментов (деривативов), модель Блэка-Шоулза (она позволяет получить явные формулы для цен опционов), метод биноминальных деревьев, принцип риск-нейтрального оценивания, модель временной структуры процентных ставок, прикладные модели финансовых процессов более тесные, чем логнормальная модель, эконометрические модели финансовых временных рядов.

    Теория и практика актуарных расчетов относятся к количественной стороне страхового дела и представляют собой комплекс методов, используемых в страховой практике для описания рисков, их структуризации, адекватного учета и, насколько возможно, точной оценки. С начала 1970-х годов финансовый мир перешел к плавающим обменным курсам и рыночной цене золота. Этот переход привел к появлению новых источников неопределенности и новых типов рисков в функционировании как финансовых, так и страховых структур. Произошедшие изменения привели к появлению широкого спектра производных ценных бумаг (форвардов, фьючерсов, опционов). Традиционное страхование, как показал кризис глобальной неплатежеспособности страховой системы начала 1980-х годов, объективно не в состоянии справиться с возникающими проблемами. Среда функционирования страховых структур заставляет их «работать» на финансовых рынках. Отражение этого феномена - появление таких страховых инструментов, в которых страховые гарантии связываются с рыночной ценой акционерного капитала. Что касается подсчета страховых премий и резервов при таком «гибком» страховании, то делается это с помощью синтеза методов традиционной актуарной науки и стохастической финансовой математики. Компьютеризация, «клиентская прихоть» требуют от страховых компаний и пенсионных фондов таких финансовых инноваций, на которые они никак не согласились бы в 1980 – 1990 гг. Страховые фирмы стараются привлечь клиентов страховыми производными ценными бумагами, учитывающими характерные для страхования риски. Здесь проявляется связь финансовых и инновационных процессов, которая обусловливает появление в актуарных расчетах аналогов знаменитых в теории финансов уравнения Блэка-Шоулза.

   В связи с резким повышением мощности компьютеров и тем обстоятельством, что многие прикладные экономико-математические модели не всегда отражают важные явления экономической реальности появился новый класс экономико-математических точнее компьютерных моделей, исследование которых проводится чисто экспериментальными методами. Такие модели называются имитационными, хотя границы этого понятия четко не определены. Термин имитационная модель появился в начале 1960-х годов. Основной режим взаимодействия пользователя (эксперта) с компьютером для исследования имитационной модели – это режим диалога. Одно течение в этом направлении – переход к многокритериальным человеко-машинным моделям, второе течение – перенос центра тяжести с моделей ориентированных на схему «условия-решение», на модели, дающие ответ на вопрос «что будет, если…?».

Закючение.

   Разработка математических методов и моделей оптимизации отдельных производственно-экономических процессов, общественного производства в целом, оказалось тесно связанной с конкретными проблемами экономической теории: теорией стоимости, ценообразования. Во всей полноте вновь встала проблема измерения затрат и результатов производства, эффективности капиталовложений и путей рационального использования ресурсов производства. Возникла необходимость выявления сущности предельных величин, их роли в экономическом анализе, в процессах ценообразования и определения эффективности затрат.

    Применение математических методов и моделей в экономике поставило перед экономической наукой ряд важных методологических проблем, связанных с выяснением закономерностей оптимизации общественного производства и его отдельных процессов, вызвало необходимость анализа и обобщения теоретических основ математического моделирования народнохозяйственных процессов.

Список литературы.

1.      Экономико-математический энциклопедический словарь. М.: Большая Российская Энциклопедия, «Инфра-М», 2003.

2.      Блауг М. 100 великих экономистов до Кейнса. СПб.: «Экономикус», 2008.

3.      О чем думают экономисты: Беседы с нобелевскими лауреатами/ Под ред. П. Самуэльсона и У. Барнетта, пер. с англ. – М.: Московская школа управления «Сколково», Альпина Бизнес Букс, 2009.

4.      Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М.: «Дело и Сервис», 2001.

5.      Гринин Л.Е. История и математика. М.: «КомКнига», 2007.

6.      Луговская Л.В. Эконометрика в вопросах и ответах. М.: «Проспект», 2005.