Исторический аспект использования математических методов в экономике

Федеральное агентство по образованию.

Институт бизнеса, информационных технологий и финансов.

Контрольная работа по дисциплине:

«Математическое моделирование экономических систем»

Тема: «Исторический аспект использования математических методов в экономике»

Введение.

   Наука об управлении народным хозяйством непрерывно обогащает арсенал своих методов и средств. Решающую роль в этом процессе играет ее математизация. Расширяющееся использование математических моделей и методов в управлении экономикой - одна из примечательных особенностей развития данной науки.

   Различные результаты исследований по созданию математических методов обоснования решений при управлении хозяйственными системами начали складываться в научную дисциплину в 60-е годы, хотя основные предпосылки для этого появились гораздо раньше. У этой науки пока еще нет общепринятого названия. В первое время она рассматривалась как один из разделов общей науки об управлении - кибернетики. Затем стали применяться такие названия, как «исследование операций», «математическая экономика», «экономико-математическое моделирование», «экономико-математические методы и модели» и др.

Причиной появления экономико-математических методов послужило усложнение экономики и управление хозяйством. Принимаемые в сфере хозяйственной деятельности решения уже не могут основываться исключительно на опыте и интуиции.

  Классификация наук основывается на различии предметов исследования. С этой точки зрения экономико-математические методы не образуют отдельной науки, поскольку они «не имеют собственного предмета исследования, отличного от предмета исследования специфических экономических дисциплин».

   С помощью экономико-математических методов решаются разнообразные задачи планирования и управления.

Исторический аспект использования математических методов в экономике

   Математические методы в экономических исследованиях используются, начиная с 18 века. Систематическое применение математических методов для описания и решения экономических задач относят ко второй половине 19 века. Тогда же понятие экономического равновесия стало одним из центральных экономических понятий. Некоторое время процесс взаимодействия математических методов и экономической проблематики был несколько односторонним: экономисты активно использовали различные математические результаты для анализа и решения своих задач, мало что возвращая в математику взамен.

   Однако потом (к 1940-м годам 20 века) ситуация стала более сбалансированной: под давлением содержательной экономической проблематики стали формироваться или развиваться новые разделы математики: линейное программирование, теория игр, выпуклый анализ. Важным явлением в траектории математических методов экономики следует признать появление понятия динамического равновесия и его связь с теорией динамической оптимизации (магистральное свойство оптимальных траекторий).

   Помимо важных теоретических результатов с помощью математических методов были построены вычислительные алгоритмы, которые позволили быстро выполнять большие объемы вычислительных работ.

    Начиная со второй половины 20 века, спектр математических методов был значительно расширен в целях описания и решения задач, связанных с учетом экономического и социального факторов, а также с рынком ценных бумаг и с рынком страхования.

   Математические и инструментальные методы экономики использовались и используются для решения разнообразных задач экономической теории и хозяйственной практики. Принято считать, что одним из первых авторов, применивших математическое построение в экономических исследованиях был французский врач и экономист Кенэ Ф. (Франсуа Кенэ, 1694 – 1774), основатель школы экономистов, называемых «физиократами», которые пользовались во Франции огромной популярностью в середине 18 века. Кенэ Ф. построил «экономическую таблицу» в виде зигзагообразной диаграммы, в которой затраты-выпуски выражались в терминах денежных потоков.

   Многие поздние экономисты ( Смит А., Маркс К., Шумпетер Й) высоко ценили положения, выдвинутые Кенэ Ф.

    Курно А. (Антуан О. Курно, 1801 – 1877) другой исследователь, который опередил свое время. Математик, философ, экономист (и администратор в области университетского образования) он был первым, кто дал определение функции спроса, нарисовал её график, всерьез применил в экономической теории дифференциальное исчисление для решения задач максимизации.

    Основной труд Курно А. «Исследования о математических основаниях теории богатства» (1838 г.), после первого выхода в свет, совершенно не заметили. Это обескуражило Курно А., который перестал заниматься экономической наукой 25 лет. В более поздних работах по экономике Курно А. отказался использовать математический язык. В то же время, Курно А. был хорошо известен современникам как автор ряда книг по дифференциальному исчислению, теории вероятностей, а также двух трактатов по философии. Модель олигополии (дуополии) Кюро А. занимает едва ли не главное место во всех учебниках по микроэкономике как прекрасный образец четкого и глубокого описания олигополии (дуополии) с использованием математических методов.

  Начало систематического использования математических методов в экономических исследованиях совпадает с появлением математической школы в экономической теории. Представители математической школы в разных городах и странах не были объединены каким-либо семинаром или научным кружком. Основными представителями математической школы были Вальрас Л. (Швейцария), Парето В. (Италия), Джевонс У.С., Эджуорт Ф. (Соединенное Королевство), Фишер И. (США), Кассель Г., Виксель К. (Швеция). К представителям Математической школы следует отнести и русского экономиста Дмитриева В.К. К середине 20 века понятие Математическая школа утрачивает свою прежнюю обособленность в связи с быстрым развитием эконометрики и математической экономики.

  Вальрас Л. в середине второй половины 19 в. ввел понятие общего экономического равновесия, которое было статическим, и предложил модель общего экономического равновесия народного хозяйства. Она определила на долгие годы траекторию взаимодействия математики с экономической теорией, сделав понятие равновесия основополагающим. Вербальное пояснение общего экономического равновесия для модифицированной модели дано понятие модели Вальраса- Эрроу- Дебре.

  Основу модели Вальраса составляют микроэкономические показатели, характеризующие производство и распределение отдельных продуктов, а не макроэкономические показатели типа валового национального продукта, инфляции, безработицы, которые в дальнейшем составили понятийную основу той версии макроэкономической теории, которую предложил Кейнс Дж. Пользуясь современным языком, можно сказать, что модель общего экономического равновесия Вальраса Л. была, по существу, первой многопродуктовой многосекторной статистической моделью народного хозяйства.

   На посту руководителя кафедры политической экономии университета в г. Лозанна (Швейцария) на рубеже 19 и 20 веков Вальраса сменил Парето В. (Италия), которому принадлежит выдающееся по своей значимости понятие – Парето-эффективности (Парето-оптимальности, эффективности по Парето): распределение благ между членами общества Парето-эффективно, если строгое увеличение благосостояния любого члена общества сопровождается строгим уменьшением благосостояния каких-либо других членов общества. Следует отметить, что концепция Парето-эффективности встречается у Эджуорта Ф., правда не в таком виде, что её можно заметить, не зная о ней из работ Парето В.

  Как и модель Вальраса Л., статическая модель «затраты-выпуск» американского экономиста Леонтьева В. представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с технологическими коэффициентами, которые равны затратам одних отраслей на производство продукции другими отраслями. Статическая модель «затраты-выпуск», предложенная в 30-е годы 20 века Леонтьевым В. имела в качестве предшественника также межотраслевой баланс Советской России, построенный впервые в середине 20-х годов 20 века группой из 11 российских экономистов. С 30-х по середину 50-х годов 20 в. в СССР межотраслевые исследования не проводились.

   После публикации основ метода «затраты-выпуск» Леонтьев В. обратил особое внимание на эмпирическую проверку и дальнейшее развитие методологических предпосылок метода «затраты-выпуск». До появления ЭВМ исследования по методу «затраты-выпуск» касались только экономико-статистического анализа межотраслевых связей в связи с тем, что невозможно было решать вручную системы линейных алгебраических уравнений достаточно большой размерности. С конца 40-х годов 20 века метод «затраты-выпуск» получил широкое распространение во многих странах мира как средство анализа экономической структуры национальных и региональных систем на базе использования современных (для своего времени) методов вычислительных средств. Матричная модель техпромфинплана предприятия воспроизводит применительно к предприятию идею матричного построения межотраслевого баланса.

  Предложив конструкцию своего инвестиционного блока, Леонтьев В. преобразовал статическую межотраслевую модель в динамическую с лагом капитальных вложений продолжительностью равной одному году. Разнообразные модификации динамической межотраслевой модели были построены иными отечественными и зарубежными авторами. Большой интерес представляют версии динамической межотраслевой модели с лагом капитальных вложений продолжительностью более одного года, предложенные в СССР (Гаврилец Ю.Н., Михалевский Б.Н., Лейбкинд Ю.Р.) и в Норвегии (Йохансен Л.). Эти модели в структурном отношении более адекватны реальности по сравнению с моделями, имеющими лаг, равный одному году, однако, с точки зрения комплексной адекватности, учитывающей не только структурную, но и информационную составляющую, ситуация не столь однозначна, учитывая серьезные трудности с оценкой матриц с распределенным лагом на базе реальных данных.

   Важный вопрос о существовании общего экономического равновесия в модели Вальраса Л. был открытым до 1954 г., когда в журнале « Эконометрика» была опубликована статья Эрроу К. и Дебре Ж. «Существование равновесия в конкурентной экономике», в которой была предложена совершенная (по тому времени) версия модели общего экономического равновесия Вальраса Л. (Модель Эрроу-Дебре) и строгое доказательство существования общего равновесия с использованием понятия точечно-множественного отображения и теоремы японского математика Какутани Ш. о неподвижной точке этого отображения.

   Публикация этой статьи положила конец эпохи, в которую, грубо говоря, у экономистов был некий комплекс неполноценности перед естественниками относительно уровня применяемого математического аппарата. Теперь естественники стали признавать, что экономисты могут по существу использовать свежий математический аппарат в своих исследованиях.

  В модели Эрроу-Дебре две сферы: производственная и потребления – конечное число продуктов (r), фирм (n) и потребителей (m). Каждая фирма имеет ограниченное технологическое множество и максимизирует свою прибыль. Каждый потребитель максимизирует свою функцию полезности при бюджетном ограничении, в котором доход складывается из дивидендов, получаемых потребителем с каждой фирмы.

   Общее экономическое равновесие – это цены равновесия, ориентируясь на которые каждая фирма и каждый потребитель решает свою задачу максимизации, а также все локальные рыночные равновесия всех фирм и всех потребителей. И, при этом, в моделируемой системе не будет дефицита ни по одному продукту, что означает, что в равновесии по существу спрос равен предложению, в чем, в свою очередь и есть суть равновесия. В статье Эрроу К. и Дебре Ж. общее экономическое равновесие выступает в виде неподвижной точки специально построенного точечно-множественного отображения.

  Активность взаимодействия содержательных экономических задач и привлекательность математического аппарата сначала в значительной мере была односторонней. Экономисты использовали математические результаты из разных разделов математики: математического анализа (прежде всего дифференциальное и интегральное исчисления, метод Лагранжа), линейной алгебры (системы линейных алгебраических уравнений, теория линейных пространств, теория матриц), теории вероятностей и математической статистики, дифференциальных и разностных уравнений, вариационного исчисления, теории оптимального управления, динамического программирования, теории графов, математической логики.

    С конца 30-х годов 20 века в математике под давлением экономической проблематики появляются новые разделы. Прежде всего, это линейное программирование, которое как математическая дисциплина постепенно превращается в нелинейное программирование, в теорию экстремальных задач, в блочное программирование, дискретное программирование, параметрическое программирование, в стохастическое программирование. Далее можно назвать выпуклый анализ и теорию игр как дисциплины, прогресс в развитии которых частично обусловлен и давлением экономических задач.

   Линейное программирование с прогрессом в развитии ЭВМ и cистем баз данных превратилось по существу в «народное» (для экономистов) средство решения разнообразных прикладных линейных задач на экстремум.

     В 1945 г. был опубликован английский перевод (с немецкого) статьи Дж. Фон Неймана «Модель общего экономического равновесия», которая сыграла решающую роль в становлении и развитии теории экономической динамики в случае многопродуктовых и многосекторных моделей.