Истоки эконометрики, ее предыстория

ŷ = a₀ + a₁x , 

где ŷ - теоретические значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии;

     a₀ , a₁ -  коэффициенты (параметры) уравнения регрессии.

Поскольку a₀ является средним значением у в точке х=0, экономическая интерпретация часто затруднена или вообще невозможна.

Коэффициент парной линейной регрессии a₁ имеет смысл показателя силы связи между вариацией факторного признака х и вариацией результативного признака у. Вышеприведенное уравнение показывает среднее значение изменения результативного признака у при изменении факторного признака х на одну единицу его измерения, то есть вариацию у, приходящуюся на единицу вариации х. Знак a₁ указывает направление этого изменения.

Параметры уравнения a₀ , a₁ находят методом наименьших квадратов (метод решения систем уравнений, при котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений), то есть в основу этого метода положено требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических данных y_i от выравненных ŷ : 

S(y_i – ŷ)² = S(y_i – a₀ – a₁x_i)² ® min 

Для нахождения минимума данной функции приравняем к нулю ее частные производные  и получим систему двух линейных уравнений, которая называется системой нормальных уравнений: 

    .

Решим эту систему в общем виде:

Параметры уравнения парной линейной регрессии иногда удобно исчислять  по следующим формулам, дающим тот  же результат:

Определив значения a₀ , a₁ и подставив их в уравнение связи   ŷ = a₀ + a₁x , находим значения ŷ , зависящие только от заданного значения х. 

Рассмотрим  построение однофакторного уравнения  регрессии зависимости работающих активов у от капитала х (см. приложение, таблица 1).

Здесь представлены показатели 32 банков: размер капитала и работающих активов. Передо мной стоит задача определить, есть ли зависимость между этими двумя  признаками и, если она существует, определить форму этой зависимости, то есть уравнение регрессии.

За факторный  признак я взяла размер капитала банка, а за результативный признак  – работающие активы.

Сопоставление данных параллельных рядов признаков  х и у показывает, что с убыванием признака х (капитал), в большинстве случаев убывает и признак у (работающие активы).

Следовательно, можно предположить, что между х и у существует прямая зависимость, пусть неполная, но выраженная достаточно ясно.

Для уточнения  формы связи между рассматриваемыми признаками я использовала графический  метод. Я нанесла на график точки, соответствующие значениям х и у, и получила корреляционное поле (см. приложение, график 1).

Анализируя  поле корреляции, можно предположить, что возрастание признака у идет пропорционально признаку х. В основе этой зависимости лежит прямолинейная связь, которая может быть выражена простым линейным уравнением регрессии:

ŷ = a₀ + a₁x, 

где ŷ - теоретические расчётные значения результативного признака (работающие активы), полученные по уравнению регрессии;

     a₀ , a₁ -  коэффициенты (параметры) уравнения регрессии;

     х – капитал исследуемых банков.

Пользуясь вышеуказанными формулами для вычисления параметров линейного уравнения  регрессии и расчётными значениями из таблицы 1, получаем: 

Следовательно, регрессионная модель зависимости  работающих активов от капитала банков может быть записана в виде конкретного  простого уравнения регрессии: 

Это уравнение  характеризует зависимость работающих активов от капитала банка. Расчётные  значения ŷ , найденные по этому уравнению, приведены в таблице 1. Правильность расчёта параметров уравнения регрессии может быть проверена сравниванием сумм ∑у = ∑ŷ . В моем случае эти суммы равны.

Но для  того, чтобы применить мою формулу, надо рассчитать, насколько она приближенна  к реальности, то есть проверить  ее адекватность.