Динамічна балансова модель адміністративного регіону

де   - вектор відносних цін у році t; At -матриця технологічних коефіцієнтів у році t;   - вектор доданої вартості у році t; Т - горизонт планування. 
     Виходячи з того, що для оцінки технологічних коефіцієнтів немає необхідної статистичної інформації в потрібному розмірі, пропонується представлення елементів матриць A за допомогою нечіткої термінології. Елементи матриці A задамо як лінгвістичну змінну «Вид міжгалузевого зв’язку» [1]. 
Наступним кроком досліджень є аналіз роботи нечіткої моделі, а за умови адекватної реакції, переведення кінцевих результатів з нечіткої термінології в чіткий вид, тобто їхня дефазифікація [2]. 
   Використання цінової моделі дає можливість визначити реакцію цін в усіх галузях економіки на зміну доданої вартості в галузях з урахуванням фактору часу. Запропонована нечітка модель МГБ може бути використана органами законодавчої та виконавчої влади для побудови комплексних прогнозів соціально-економічного розвитку області в умовах неповноти статистичної інформації.

Рівняння стану, що описують систему, яка моделюється, часто записують у нормальній формі Коші, тобто у вигляді  системи диференціальних рівнянь, у лівій частині якої записуються похідні координат, а у правій – вирази для їх обчислень:

де x₁, ... , x_m – зовнішні збурення;

y₁, ... , y_n – координати системи;

t – незалежна змінна (час).

Враховуючи інтервальну  невизначеність попиту (2), представимо функцію витрат системи у вигляді природного інтервального розширення функції (5):

 

Тоді, для будь-якого  значення  справедливе включення

 

Необхідно визначити  оптимальну допустиму на інтервалі  стратегію управління яка мінімізує сумарні витрати системи в плановому періоді. Крім того, будемо вимагати, щоб запас на кінець періоду планування не перевищував заданого рівня Таким чином, маємо наступну оптимізаційну задачу

(6)

при обмеженні 

(7)

де  множина стратегій, допустимих при початковому запасі ( передбачається відомим).

Для будь-якого стану  системи  допустиме на інтервалі управління зі зворотним зв’язком в момент часу , , існує і визначається із включення

(8)

тоді і тільки тоді, коли виконані умови

	(9)
	(10)

Для будь-якого початкового  стану системи  існує допустима на інтервалі стратегія управління яка гарантує включення  
тоді і тільки тоді, якщо виконані умови (9), (10), інтервал допустимих початкових станів має вигляд

(11)

а граничний запас  на кінець періоду планування задовольняє умову

(12)

Для визначення оптимальної  в розумінні критерію (6) стратегії  управління скористаємося методом динамічного програмування. Згідно з принципом оптимальності Беллмана [6] для функції витрат рішення на всі відрізки, що залишилися повинні складати оптимальну поведінку відносно стану, отриманого в результаті попереднього рішення, незалежно від раніше прийнятих рішень і початкового стану. Визначимо послідовність функцій:

де  – мінімальні витрати за відрізків, що залишилися до кінця періоду планування, при рівні запасу ;

 – допустиме управління для стану в момент часу 

 а  визначається рекурентним співвідношенням (1).

Тоді для будь-якого  рекурентне співвідношення динамічного програмування має вигляд:

(13)

де  і :

	(14)
	(15)

Таким чином, отримуємо  задачу інтервального динамічного програмування.

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Методика підготовки вхідної інформації та побудови моделі.

Динамічна модель, описана диференціальними рівняннями, то, можливо представленій у формі  матричних рівнянь (матриці А, У, З, D) чи представленій у вигляді передавальної функції. Оскільки модель має 4 ступеня свободи, то перетворенняЛапласа необхідне отримання передавальної функції зробити досить важко. Тому уявімо модель у вигляді матриць, використовуючи їхнього розрахунку інтерактивну системуMATLAB.

>Дифференциальние  рівняння динамічної моделі:

>Преобразуем  систему.

Уявімо модель в матричної формі:

>Введем такі  позначення:

Динамічна модель набирає вигляду:

Помножимо обидві частини рівняння на зворотний матрицю :

 

>Обратную матрицю  з допомогоюMATLAB:

>L=[Is 0 0 0; 0I1 0 0; 0 0I2 0; 0 0 0Ip];

>inv(L)

>ans =

0.7383 0 0 0

0 0.2131 0 0

0 0 0.0038 0

0 0 0 0.6171.

Помножимо зворотний  матрицю на матрицю :

>F=[-k1k1 0 0; 0 ->k1k1 0; 0k2 ->k2 0; 0 0k2 ->k2];

>ans =

-0.7000 0.7000 0 0

0  -0.7000  0.7000 0

0  0.7000  -0.7000 0

0  0  0.7000 -0.7000

>ans=inv(L)*F

>ans =

-0.5168 0.5168 0 0

0 -0.1491 0.1491 0

0 0.0027 -0.0027 0

0 0 0.4320 -0.4320

Помножимо зворотний  матрицю на матрицю :

>R=[-c1c1 00;c1 ->c1 0 0; 0 0 ->c2c2; 0 0c2 ->c2];

>ans=R

-3163 3163 0 0

3163 -3163 0 0

0 0 -3500 3500

0 0 3500 -3500

>ans=inv(L)*R

>ans =

>1.0e+003 *

-2.3352 2.3352 0 0

0.6739 -0.6739 0 0

0 0 -0.0134 0.0134

0 0 2.1598 -2.1598

Помножимо зворотний  матрицю на матрицю :

>К=[Mn; -(>e-b)*Mn; -(>b-e)*Mn; ->Mo];

>ans=K

22.2000

27.0840

-27.0840

-15.0000

>ans=inv(L)*К

16.3898

5.7707

-0.1033

-9.2564

Матриці А, У, З, D мають вигляд:

>Введем отримані  матриці вM-fileMATLAB й одержимо передатну  функцію динамічної моделі, що  описує реакцію моделі на стрибкоподібне який задає вплив (рис. 5.5, 5.6).

>A=[0 0 0 0 1 0 0 0;

0 0 0 0 0 1 0 0;

0 0 0 0 0 0 1 0;

0 0 0 0 0 0 0 1;

-2335.2 2335.2 0 0 -0.5168 0.5168 0 0;

673.9 -673.9 0 0 0 -0.1491 0.1491 0;

0 0 13.4 13.4 0 0.0027 -0.0027 0;

0 0 2159.8 -2159.8 0 0 0.4320 -0.4320];

>B=[0; 0; 0; 0; 16.3898; 5.7707; -0.1033; -9.2564];

>C=[1 0];D=[0].

>Передаточная  функція має вигляд:

>W(s) = (->2.132e-014s^7 + 16.39s^6 + 6.586s^5 +3.275e004s^4 - 2343s^3-6.166e006s^2 -7.573e004s +1.407e008)/(s^8 + 1.101s^7 + 5156s^6 + 3080s^5 +6.401e006s^4 +6.915e005s^3 -1.742e008s^2 -2.015e007s +2.25e-007).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Побудова числової моделі та розв’язання її на ПК.

 

За даними А та побудувати модель Леонтьєва для двох галузей та знайти вектор валової продукції . Для цього виконати такі дії:

1. знайти матрицю (I-A), де І – одинична матриця

I=

,

2. обчислити визначник матриці |I-A|.

3. знайти мінори для  елементів матриці (I-A). Наприклад,  мінор М₁₁ дорівнює

,

М₁₁ = 0,6; М₁₂ = -0,2; М₂₁ = -0,125; М₂₂ = 0,75.

4.знайти алгебраїчні доповнення для елементів матриці (I-A). Позначимо алгебраїчне доповнення , ; . Алгебраїчним доповненням зветься мінор, який береться зі знаком (-1)^i+k

=(-1)^i+kM_ik.

А₁₁ = (-1)²*0,6 = 0,6

А₁₂ = (-1)³*(-0,2) = 0,2

А₂₁ = (-1)³*(-0,125) = 0,125

А₂₂ = (-1)⁴*0,75 = 0,75

(I-A) =

5. Транспонувати матрицю ,

(I-A)^/ =

6. Знайти обернену матрицю (І-А)^-1 за формулою

,

7.Знайти вектор валової продукції: =(І-А)^-1 ,

8.Знайти міжгалузеві потоки продукції за формулою

.

х₁₁ = 1,559; х₁₂ = 0,67675; х₂₁ = 1,2472; х₂₂ = 2,1656.

Таким чином, модель має  вигляд (табл. 2)

Таблиця 2

Виробляючі галузі		Споживаючі галузі				Кількість кінцевої продукції		Кількість валової продукції
		1		2
1	1,559		0,67675		4		6,236
2	1,2472		2,1656		2		5,414

 

 

5.2 Дослідження моделі міжгалузевого балансу витрат праці

На основі міжгалузевого  балансу виробництва та розподілення продукції побудувати міжгалузевий баланс витрат праці. Використати таку кількість трудових ресурсів

Користуючись даними попереднього підрозділу розробимо  схему міжгалузевого балансу виробництва та розподілу продукції. Ця схема включає чотири квадранти. Перший квадрант – це шахматна таблиця міжгалузевих потоків продукції. В другому квадранті показана кінцева продукція всіх галузей. Третій квадрант характеризує умовно-чисту продукцію, до якої відносяться амортизаційні відрахування, оплата праці, чистий дохід тощо. Складові третього квадранта можна знайти за формулою

E_i=X_i-

,

Таким чином Е₁ = 3,43, а Е₂ = 2,57.

Четвертий квадрант знаходиться  на перетині стовпця другого квадранта та рядка третього квадранта. Сума елементів другого квадранта має дорівнювати сумі елементів третього квадранта.

Міжгалузевий баланс виробництва та розподілу продукції  Таблиця 3.

Виробляючі галузі		Споживаючі галузі				Кількість кінцевої продукції		Кількість валової продукції
		1		2
1		1,559		0,67675		4		6,236
2	1,2472		2,1656		2		5,414
Кількість умовно-чистої продукції	3,43		2,57		6
Кількість валової продукції	6,236		5,414				11,65

 

 

Знаходимо коефіцієнти  прямої трудомісткості за формулою:

;

Далі обчислюємо коефіцієнти повної трудомісткості:

Помножуючи всі рядки  першого та другого квадрантів міжгалузевого  балансів на відповідні коефіцієнти  прямої трудомісткості,

;

;

;