Кривая Гомперца

 

КРИВАЯ ГОМПЕРЦА  

Кривая Гомперца используется в основном для описания процессов с насыщением и очень распространенная в демографии, маркетинге, исследовании рынка, сбыта продукции. Она имеет следующий вид:

       где  0<β<1

Отметим сначала, что путем  логарифмирования и дальнейшей замены переменных кривую Гомперца легко свести к модифицированной  экспоненте:

+ γ 

Исследуем свойства кривой Гомперца.

1. Граничные точки, когда х ->  будут такими:

 

2. Первая производная функции имеет вид:

β)

Ее знак совпадает со знаком параметра α, когда 0<β<1 β) <0)

Отсюда мы можем сделать  вывод, что функция снижается, когда  α > 0, и возрастает, когда α < 0.

3. Втора производна равняется:

β)β)

Знак этой производной  совпадает со знаком выражения -  α.

Если α >0, то функция  выпуклая, в противоположном случае, когда α < 0, кривая Гомперца является s-кривой и имеет точку перегиба, когда 1+=0, то есть x = ln(-1/ α) /.

В этой точке . Точка перегиба входит в интервал наблюдений , αβ если  < -1.

Если α >0, кривая снижается  асимптотично до (рис. 1).

Если α < 0, она имеет  форму s-кривой, то есть сначала возрастает быстро, а потом медленно. Такой функцией можно описать типичную эволюцию продажи товара.

  у

 

 

 

1. x

 

 

у

 

 

0                             х  

Рис.1 Кривая Гомперца

КРИВАЯ ГОМПЕРЦА (Частные случаи)

1. Случай.

Названа она в честь  Бенджамина Гомперца (1799—1865), английского статистика и математика, который первым предложил эту кривую как закон поведения уровней смертности. Было установлено, что она описывает также и распределение дохода.

Уравнением кривой Гомперца будет

 

Как и кривая Перла, кривая Гомперца простирается от нуля при t, равном минус бесконечности, до верхнего предела L при t, равном плюс бесконечности. Кривая, однако, несимметрична. Точка перегиба приходится на

 

 

На рис. 28 показана кривая Гомперца, у которой L, b и k равны единице. При подгонке кривой Гомперца к совокупности данных мы сталкиваемся с той же проблемой, что и в случае с кривой Перла. Если мы попытаемся минимизировать сумму квадратов разностей между значениями ординат кривой Гомперца и нашими данными, то получим трансцендентное уравнение, которое в замкнутой форме неразрешимо. Поэтому преобразуем уравнение (4-2) следующим образом:

 

Заметим, что L/y всегда больше единицы, следовательно, ln (L/y} всегда положителен, и операция с левой частью уравнения (4-6) всегда легко осуществима.

После того как верхний  предел определен и данные преобразованы  так, как показано в левой части  уравнения (4-6), примем

 

и найдем k и b, минимизируя

 

для нахождения регрессии  для Y на t. Свободным членом уравнения регрессии является ln b, а коэффициентом регрессии — k (заметим, что k — положительное число, а коэффициент регрессии здесь всегда будет иметь отрицательный знак, поэтому он равен k со знаком минус).

Как и в случае с кривой Перла, согласно этому методу минимизируется квадрат функции отношений между  ординатами выравнивающей кривой и  исходными данными, а не квадратов  разностей между значениями ординат  выравнивающей кривой и данными. Тем не менее, этот метод легок  в обращении, удобен на практике и, следовательно, удовлетворяет как инструмент прогнозирования.

2. Случай.

Кривая  Гомперца  имеет следующее уравнение:  , 
 
Где а, b — положительные параметры, причем b меньше единицы; параметр k – асимптота функции. 
 
 
 
В кривой Гомперца выделяются четыре участка:

• на первом– прирост функции незначителен,
• на втором –прирост увеличивается,
• на третьем участке прирост примерно постоянен,
• на четвертом – происходит замедление темпов прироста и функция неограниченно приближается к прямой Y=k. 

В результате конфигурация кривой напоминает латинскую букву S. 
Логарифм данной функции является экспоненциальной кривой; логарифм отношения первого прироста к самой ординате функции — линейная функция времени. 
 
На основании кривой Гомперца описывается, например, динамика показателей уровня жизни; модификации этой |кривой используются в демографии для моделирования показателей смертности и т. д.|

 

3. Случай.

Кривая Гомперца.

Исследование динамики социальных и экономических процессов выявило довольно сильную распространенность эффекта насыщения: выхода на асимптоту при достижении определенных значений показателей. В силу этого в  эконометрике большое распространение получили так называемые кривые с насыщением. К этому типу кривых относится кривая Гомперца – s-образная кривая, предложенная Б. Гомперцем (1799-1865), которая имеет вид:

где K, a, b – параметры;

t-время (1,2,...).

Кривая  Гомперца используется для аналитического выражения тенденции развития показателя во времени, имеющего ограничения на рост (рис. 1.2).

Если , то верхний предел для показателя у равен параметру K, а нижний – 0. Если , то кривая имеет лишь нижний предел, равный величине параметра K (рис. 1.2в, г).

 

Рис .  1.2 . Кривая Гомперца:

а - при log a < 0 при b < 1

б - при log a < 0 при b > 1

в - при log a > 0 при b < 1

г - при log a > 0 при b > 1

Для определения параметров тренда и может использоваться метод

наименьших квадратов, только если задан параметр K. В противном  случае возможно лишь приближенное оценивание параметров. Кривая Гомперца применяется в демографических расчетах и страховом деле.

 

 

4. Случай.

ОБЩАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТАРЕНИЯ Б.ГОМПЕРЦА

Первая осознанная четкая математическая модель старения была создана около 200 лет тому назад Б.Гомперцом (1825). Она до сих пор наиболее точно описывает смертность человека и, видимо, большинства других организмов. В основу ее было положено очень древнее представление о потере в течение жизни общей жизнеспособности организма - учение о "жизненной силе" ("энтелехии" Аристотеля), которая имеет тенденцию только растрачиваться со временем для любого родившегося организма.

Являясь специалистом по страхованию  жизни, Гомперц теоретически вывел практически необходимую для его профессии формулу интенсивности смертности, повышение которой во времени и служит наиболее общим определением старения как такового до настоящего времени.

Смертность, как количественную характеристику "неспособности противостоять  разрушению", Гомперц рассматривал как величину, обратную жизнеспособности - способности противостоять всей совокупности разрушительных процессов. Он предположил, что во времени жизнеспособность снижается пропорционально ей самой в каждый момент, что для смертности соответствует экспоненциальному нарастанию с возрастом.

Такое неспецифическое повышение  уязвимости организма ко всем воздействиям с возрастом и носит название старения как такового. Сам подход к написанию формулы в настоящее  время теоретически понятен: это  элементарное дифференциальное уравнение, описывающее, например, радиоактивный  распад в физике и иные простые  вероятностные процессы; сущность процесса в том, что в каждый момент времени  изменение состояния не зависит  от предыстории, а только от настоящего состояния системы.

Понятны и общие механизмы таких  процессов - это принципиально вероятностные  закономерности, связанные с конечной устойчивостью любых отграниченных  реально существующих неизменных элементов; тогда сложный организм, состоящий  из таких элементарных единиц, может  со временем их только утрачивать. Главным  вопросом является в таком случае природа таких "элементарных единиц жизни".

Гомперц отмечал сходство кривых изменения смертности и энтропии, а В.Перкс (1932) писал, что "неспособность противостоять разрушению имеет ту же природу, что и рассеяние энергии" (то-есть, старение эквивалентно увеличению энтропии, которая служит мерой неупорядоченности любой системы

В соответствии с разрабатываемой  Б.Гомперцом моделью жизнеспособность (А) снижается во времени пропорционально ей самой (Рисунок 1): dA/dt = - k A, где k - коэффициент.

Рисунок.1  
Моделирование потери жизнеспособности и нарастания смертности по формуле Гомперца  
По вертикали - значения параметров в условных единицах, по горизонтали время в условных единицах. А - жизнеспособность (при исходной Ао = 30 условных единиц и 1% гибели за единицу времени), М - смертность (М=(1/А)7), LgM - логарифм смертности (Lg(5М)10).

Смертность (М), как противоположность  жизнеспособности, можно определить как М=к 1/А, где "к"- коэффициент пропорциональности. Тогда повышение вероятности смертности для отдельного организма (или, что то же самое, повышение доли умерших в популяции) во времени будет происходить по экспоненте, а логарифм "М" будет меняться по линейному закону, что и наблюдается в действительности - конечная форма уравнения Гомперца принята: M(t)=Ro exp(a t),  
где "М" - смертность, изменяющаяся во времени - "t"; "Ro" - начальный уровень смертности, "а" - коэффициент, характеризующий скорость нарастания смертности со временем).

Эта формула была впоследствии модифицирована затем У.Мейкемом, добавившим в формулу Гомперца постоянный коэффициент, представляющий независимый от возраста компонент смертности, имеющий, как теперь становится ясно, эколого-социальную природу и выраженно меняющийся в истории человечества: М(t) = A + Ro exp(a t)

До настоящего времени формула  Гомперца-Мейкема остается наилучшей для описания смертности, связанной со старением, для самых раз-личных видов, включая человека.

Принято представлять график экспоненты в полулогарифмических координатах, где она имеет вид прямой. Однако, аддитивная поправка Мейкема в правой части уравнения обусловливает отклонение от прямой линии зависимости Ln(m) от t. Поскольку А является константой, получить в правой части уравнения чистую экспоненту можно, продифференцировав уравнение.

Для целей количественной геронтологии необходимо иметь возможность вычисления параметров уравнения Гомперца-Мейкема, что можно сделать методами нелинейной регрессии. Для вычисления "вручную" Л.А. Гаврилов и Н.С. Гаврилова (1991) предлагают нижеследующий алгоритм, дающий вполне удовлетворительную точность (1). Пусть мы имеем значения чисел доживших "l" для четырех равноотстоящих друг от друга моментов времени: t, t+n, t+2n...

Вначале вычисляют вспомогательные величины:  
y1 = ln[ l(t)/l(t+n)];  
y2 = ln[l(t+n)/(l(t+2n)];  
y3 = ln[l(t+2n)/(l(t+3n)];  
z = y1+y3-2y2;  
w= (y3-y2)/(y2-y1).

Тогда параметры формулы Гомперца-Мейкема могут быть найдены из следующих соотношений:  
A = (y1 y3-Y22)/(z n),  
Ro = [(y2-y1)2ln(w)]/[z n(w-1)wt/n],  
a = ln(w)/n,

Можно продолжить эти рассуждения  и получить, например, закон изменения  выживаемости популяции (для начального "N" ее членов) с возрастом: доля умерших будет во времени пропорциональна  в каждом возрастном интервале величине смертности для этого интервала: N(t) - N(t+1) = k M N(t), что дает хорошую аналогию с реальными кривыми выживаемости и смертности (Рисунок 2).

Рисунок. 2  
График расчетной выживаемости когорты для модели старения по Гомперцу  
По вертикали - значения параметров в условных единицах,по горизонтали время в условных единицах. 1 - выживаемость ( N(t) для начальной No=30), 2 - умершие (X(t)-X(t+1) )100. М – как для рисунка 1, k принято равным 0,001.

Интересны некоторые очевидные  и экспериментально известные выводы, иногда, однако, парадоксально звучащие. Так, например, очевидно, что наибольшее абсолютное снижение жизнеспособности можно наблюдать в раннем возрасте, что мы и видим по кривым изменения  в онтогенезе абсолютного значения многих физиологических функций. В  это время, соответственно, эффективны мероприятия по профилактике старения и удобно проводить экспериментальную проверку геропрофилактических средств. В то же время, в старости даже небольшие абсолютные изменения жизнеспособности ведут к выраженным изменениям смертности, поэтому в старших возрастах удобно изучать влияния адаптогенов и биостимуляторов, хотя малый жизненный ресурс может и не приводить к повышению длитель-ность жизни при их использовании.