Контрольная работа по "Эконометрике"

Введение

 

Современная экономическая  теория, как на микро, так и на макро уровне, постоянно усложняющиеся  экономические процессы привели  к необходимости создания и совершенствования  особых методов изучения и анализа. При этом широкое распространение  получило использование моделирования и количественного анализа. Эконометрика – это наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов. Эта наука возникла в результате взаимодействия и объединения трех компонент: экономической теории, статистических и экономических методов. Задачей данной работы является рассмотрение эконометрики как науки в целом, то есть рассмотрение ее объекта, принципов, целей и задач в частности.

Эконометрика – быстроразвивающаяся  отрасль науки, цель которой состоит в том, чтобы придать количественные меры экономическим отношениям. Эконометрика - совокупность методов анализа связей между различными экономическими показателями (факторами) на основании реальных статистических данных с использованием аппарата теории вероятностей и математической статистики

Методологическая особенность  эконометрики заключается в применении достаточно общих гипотез о статистических свойствах экономических параметров и ошибок при их измерении. Поэтому  важная задача эконометрики - создание как более универсальных, так и специальных методов для обнаружения наиболее устойчивых характеристик в поведении реальных экономических показателей. Эконометрика разрабатывает методы подгонки формальной модели с целью наилучшего имитирования ею поведения моделируемого объекта на основе гипотезы о том, что отклонения модельных значений параметров от их реально наблюдаемых случайны и вероятностные характеристики их известны.

 

Задача 1

 

Найти МНК (метод наименьших квадратов) уравнения линейной регрессии и , где признак Х – среднесписочное число работников -го магазина, признак У – сумма розничного товарооборота (млн.руб.) -го магазина. ( )

 

Значения параметров и приведены в таблице, где - номер варианта.

Порядковый номер магазина
1	51	1,4
2	71	0,8
3	101	0,1
4	79	1,5
5	91	2,2
6	56	1,8
7	77	1,4
8	84	0,3

 

В случае линейной регрессии  параметры а и b находятся из следующей  системы нормальных уравнений метода МНК:

Отсюда:

По исходным данным рассчитываем ∑y, ∑x, ∑yx, ∑x², ∑y²

 

Расчет параметров линейной функции

i	х	у	ху	х2	у2
1	51	1,4	71,4	2601	1,96
2	71	0,8	56,8	5041	0,64
3	101	0,1	10,1	10201	0,01
4	79	1,5	118,5	6241	2,25
5	91	2,2	200,2	8281	4,84
6	56	1,8	100,8	3136	3,24
7	77	1,4	107,8	5929	1,96
8	84	0,3	25,2	7056	0,09
Итого	610	9,5	690,8	48486	14,99
Ср.зн.	76,25	1,19	86,35	6060,75	1,87

 

  

 

Получили уравнение:

Получили уравнение:

 

Задача 2

 

Наблюдения 10 пар (Х, У) дали следующие результаты:

Составить уравнение  линейной регрессии  и оценить полученную регрессию.

В случае линейной регрессии  параметры а и b находятся из следующей  системы нормальных уравнений метода МНК:

Подставим данные в систему  и решим систему методом Крамера:

     

Уравнение линейной регрессии:

Для оценки полученной регрессии  используем коэффициент корреляции:

Коэффициент корреляции указывает на тесную связь между  исследуемыми признаками.

Коэффициент детерминации:

Коэффициент детерминации характеризует долю вариации (дисперсии) результативного признака y, объясняемую регрессией (а, следовательно, и фактором х), в общей вариации (дисперсии) y.

Это означает, что 11% вариации у объясняется вариацией фактора х.

Определяем фактическое  значение F-критерия:

 

где m=1 для парной регрессии.

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=8, Fkp = 5,32.

Фактическое значение F-критерия равно 5,32>1,04, значит уравнение регрессии является статистически значимым.

 

Задача 3

 

В результате опроса руководителей 10 предприятий получена следующая  таблица:

Х	4	10	13	14	20	25	28	35	40	42
У	80	77	65	62	58	56	45	43	39	28

 

Случайная величина Х  – сумма кредита, полученного  данным предприятием (млн.руб.); случайная  величина У – годовой доход  этого предприятия (млн.руб.). Для  полученных данных вычислите следующие  величины:

а) коэффициент детерминации R² в регрессии У на Х при наличии свободного члена;

б) коэффициент детерминации R² в регрессии У на Х при отсутствии свободного члена;

При наличии свободного члена коэффициент детерминации определяется по формуле:

Определим уравнение  регрессии используя МНК:

Отсюда:

											Σ	СР.
х	4	10	13	14	20	25	28	35	40	42	231,00	23,10
у	80	77	65	62	58	56	45	43	39	28	553,00	55,30
ху	320	770	845	868	1160	1400	1260	1505	1560	1176	10864,00	1086,40
х2	16	100	169	196	400	625	784	1225	1600	1764	6879,00	687,90
	78,98	71,54	67,82	66,58	59,14	52,94	49,22	40,54	34,34	31,86	552,96	55,30
	560,74	263,74	156,75	127,24	14,75	5,57	36,97	217,86	439,32	549,43	2372,36	237,24
	610,09	470,89	94,09	44,89	7,29	0,49	106,09	151,29	265,69	745,29	2496,10	249,61
	6,32	15,8	20,54	22,12	31,6	39,5	44,24	55,3	63,2	66,36	364,98	36,50
	6400	5929	4225	3844	3364	3136	2025	1849	1521	784	33077,00	3307,70
	39,94	249,64	421,89	489,29	998,56	1560,25	1957,18	3058,09	3994,24	4403,65	17172,74	1717,27

Получили уравнение регрессии:

И коэффициент детерминации:

При отсутствии свободного члена коэффициент детерминации определяется по формуле:

А коэффициент регрессии  определяется по формуле:

Тогда

 

Задача 4

 

Бюджетное обследование пяти случайно выбранных семей дало следующие результаты, приведенные  в таблице:

Семья	Накопления, S, (млн.руб.)	Доход, Y, (млн.руб.)	Имущество, W, (млн.руб.
1	1	21	59
2	5	64	31
3	7	46	49
4	4	11	39
5	1	4	11

 

а) Оцените регрессию  S  на Y  и W.

б) Спрогнозируйте накопления семьи, имеющей доход 21 млн. руб. и имущество стоимостью 11 млн. руб.

в) Предположим, что доход семьи возрос на 1 млн.руб., в то время как стоимость имущества не изменилась. Оцените, как возрасту ее накопления

г) Оцените, как возрастут  накопления семьи, если доход  вырос  на 5 млн. руб., а стоимость имущества увеличилась на 5 млн. руб.

д) Найдите сумму квадратов  остатков и постройте оценку дисперсии регрессии.

Для нахождения параметров линейного уравнения множественной  регрессии

необходимо решить следующую  систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , , :

 

№	S	Y	W	SY	SW	YW	Y2	W2
1	1	21	59	21	59	1239	441	3481	3,21	4,88
2	5	64	31	320	155	1984	4096	961	5,94	0,88
3	7	46	49	322	343	2254	2116	2401	4,86	4,58
4	4	11	39	44	156	429	121	1521	2,31	0,01
5	1	4	11	4	11	44	16	121	1,54	0,29
Сумма	18	146	189	711	724	5950	6790	8485	17,86	10,65

 

Решаем систему  методом Крамера:

∆ D=

5   146   189   146   6790   5950   189   5950   8485

=

16010000

 

∆D1 =

18   146   189   711   6790   5950   724   5950   8485

=

18375200

 

∆D2 =

5   18   189   146   711   5950   189   724   8485

= 1148920

 

D3 =

5   146   18   146   6790   711   189   5950   724

=151120

  ,  
Решая полученную систему получим оценки параметров регрессии:

Т.е.

Накопления семьи, имеющей доход 21 млн. руб. и имущество стоимостью 11 млн. руб. составят:

 млн.руб.

Если доход семьи  возрос на 1 млн.руб., в то время как стоимость имущества не изменилась, накопления возрастут на млн.руб.

Если доход  вырос  на 5 млн. руб., а стоимость имущества увеличилась на 5 млн. руб, накопления возрастут на млн.руб.