Использование в экономики теории магисталей

Итак, с одной стороны мы имеем магистральные  модели, а с другой - оптимизационные  или еще шире - нормативные модели экономики. Изучение этих двух моделей  во взаимосвязи, т.е. изучение связи  между магистральными и оптимальными (в том или ином смысле) траекториями и является предметом магистральной  теории. Можно говорить, что магистральная  теория является одним из средств  качественного анализа оптимальных  траекторий. Основной целью этой теории является исследование условий так  называемых «слабой» и «сильной» теорем о магистралях. Слабая теорема утверждает, что за исключением некоторого малого периода (или некоторого числа дискретных моментов из), не зависящего от продолжительности T планового периода, все оптимальные траектории сосредотачиваются в относительной близости к магистральной траектории. Сильная теорема говорит о том, что те небольшие промежутки времени, на которых оптимальные траектории удалены от магистральной, если они существуют, то разве лишь в начале периода, т.е., или в конце периода, т.е.; а в середине периода оптимальные траектории расположены в относительной близости к магистральной [14, с. 69].

В общем случае в моделях экономической  динамики даже при неизменности технологических  возможностей утверждения теорем о  магистрали не выполняются. Для их выполнения приходится вводить различные дополнительные предположения о свойствах исходной модели экономики. Другой путь состоит  в изучении реальных отраслевых пропорций  и сравнении их с магистральными. Благодаря техническому прогрессу и изменчивости во времени общественных предпочтений различных благ, реальное состояние экономики при детальном (дезагрегированном) ее описании всегда значительно отличается от магистрального. В то же время, как показывают полученные в этом направлении результаты исследований, при высоком уровне агрегирования экономические пропорции близки к магистральным.

Теоремы о магистралях доказываются для  ряда оптимизационных моделей расширяющейся  экономики. Наиболее общей из них  является известная теорема Раднера для нелинейных моделей расширения.

Здесь мы приведем подобные теоремы для линейных моделей Леонтьева и Неймана.

 

 

2.2.Модель  Неймана

 

 

Классическая (исходная) модель Неймана строится при следующих предпосылках:

-экономика, характеризуемая линейной технологией, состоит из отраслей, каждая из которых обладает конечным числом производственных процессов, т.е. выпускается несколько видов товаров, причем допускается совместная деятельность отраслей;

-производственные процессы разворачиваются во времени, причем осуществление затрат и выпуск готовой продукции разделены временным лагом;

-для производства в данный период можно тратить только те продукты, которые были произведены в предыдущем периоде времени, первичные факторы не участвуют;

-спрос населения на товары и, соответственно, конечное потребление в явном виде не выделяются;

-цены товаров изменяются во времени.

Перейдем  к описанию модели Неймана. На дискретном временном интервале  с точками рассматривается производство, в котором n видов затрат с помощью m технологических процессов превращаются в n видов продукции. Мы не будем указывать число отраслей, так как в дальнейшем не понадобится подчеркивать принадлежность товаров или технологий к конкретным отраслям. В модели Леонтьева технологические коэффициенты были отнесены к единице продукта. В модели Неймана, принимая в качестве производственных единиц не отрасли, а технологические процессы, удобно отнести эти коэффициенты к интенсивности производственных процессов.

Интенсивностью  производственного процесса j называется объем продуктов, выпускаемых этим процессом за единицу времени. Уровень  интенсивности j-го процесса в момент времени t обозначим через ( ). Заметим, что является вектором, число компонент которого соответствует числу выпускаемых j-ым процессом видов товаров и .

Предположим, что функционирование j-го процесса ( ) с единичной интенсивностью требует затрат продуктов в количестве

и дает выпуск товаров в количестве

Введем  обозначения  . Пара характеризует технологический потенциал, заложенный в j-ом процессе (его функционирование с единичной интенсивностью). Поэтому пару можно назвать базисом j-го производственного процесса, имея в виду, что для любой интенсивности соответствующую пару затраты-выпуск можно выразить как . Поэтому последовательность пар

                                                                           (1)

представляющих  собой затраты и выпуски всех производственных процессов в условиях их функционирования с единичными интенсивностями, будем называть базисными процессами.

Все m базисных процессов описываются  двумя матрицами 

,                                    (2)

где A- матрица затрат, B- матрица выпуска. Вектор называется вектором интенсивностей. Соответствующие этому вектору затраты и выпуски по всем m процессам можно получить как линейную комбинацию базисных процессов с коэффициентами :

,                (3)

Говорят, что в производственном процессе базисные процессы  участвуют с интенсивностями . Как видно из, неймановская технология, описываемая двумя матрицами A и B единичных уровней затрат и выпуска, является линейной в начале параграфа). Рассматривая все допустимые «смеси» базисных процессов, получаем расширенное множество производственных процессов

                                                                   (4)

которое и отражает допустимость совместной деятельности отраслей. Возможность совместного производства нескольких продуктов в одном процессе следует из того, что в каждом процессе j может быть отличной от нуля более чем одна из величин . Множество представляет собой неймановскую технологию в статике (в момент t ). Если в матрице A положить n=m, матрицу B отождествить с единичной матрицей, а интерпретировать как вектор валового выпуска, то превращается в леонтьевскую технологию.

Продолжим описание модели Неймана. Согласно предпосылок, затраты в момент t не могут превышать выпуска , соответствующего предыдущему моменту t-1 (рис. 1).

Рисунок 1 – Последовательность затрат и  выпусков

 

Поэтому должны выполняться условия:

,                                                                                     (5)

где - вектор запаса товаров к началу планируемого периода.

Обозначим через  , вектор цен товаров. Неравенство (5) можно трактовать как непревышение спроса над предложением в момент t. Поэтому в стоимостном выражении (в ценах момента t) должно быть:

                                                                                (6)

По  предложению 5 прибыль базисного процесса на отрезке [t-1,T] равна величине , т.е. затраты осуществляются по цене начала периода, а готовая продукция - по цене момента ее реализации. Таким образом, издержки по всем базисным процессам можно записать как , а выручку - как (рис. 2).

Рисунок 2 – Последовательность издержек и  выручки

Будем говорить, что базисные процессы неубыточны, если , неприбыльны - если

                                                                                      (7)

В модели Неймана предполагается неприбыльность базисных процессов. Это объясняется тем, что издержки и выручки разведены во времени, т.е. относятся к разным моментам времени, и в условиях расширяющейся экономики «характерен случай падения цен ( )», т.е. покупательская способность денег в момент t будет выше, чем в момент t-1. С таким обоснованием можно согласиться или не согласиться. Главная же причина неприбыльности базисных процессов заложена в определении экономического равновесия. Поясним это чуть подробнее.

Основной  предмет исследования Дж. фон Неймана - это возможность существования равновесия в рассматриваемой им динамической модели экономики при заданных в каждый момент ценах. Как следует, при равновесии в условиях совершенной конкуренции имеет место стоимостной баланс. Таким образом, в условиях равновесия не создается никакой прибыли, и неравенство является отражением этого факта. Поэтому, если в (7) для некоторого базисного процесса j имеет место строгое неравенство, т.е. предложение превышает спрос:

,                                                                                         (8)

то  должно быть . Иначе говоря, отсутствие «отрицательной прибыли» обеспечивается нулевой интенсивностью. Отсюда получаем

,                                                                               (9)

Описание  модели Неймана завершено. Совокупность неравенств и уравнений (6) – (9) :

                                                                             (10)

где и - матрицы затрат и выпуска соответственно, называется (динамической) моделью Неймана.

Говорят, что в экономике наблюдается  сбалансированный рост производства, если существует такое постоянное число  , что для всех m производственных процессов

,                                                           (11)

Постоянное  число  называется темпом сбалансированного роста производства.

Содержательно (11) означает, что все уровни интенсивности возрастают одинаковыми темпами

Раскрывая рекуррентно правую часть(11), получаем

                                                             (12)

где - интенсивность процесса j , установившаяся к началу планового периода. Заметим, что t в правой части (12) является показателем степени, а в левой - индексом.

В случае сбалансированного роста  производства, с учетом постоянства  темпа роста, последовательность называется стационарной траекторией производства.

Говорят, что в экономике наблюдается  сбалансированное снижение цен, если существует такое постоянное число  , что для всех n товаров

                                                               (13)

Постоянное  число  называется нормой процента.

Содержательно (13) означает, что цены на все товары снижаются одинаковыми темпами

Название  «норма процента» для темпа снижения принято по ассоциации с показателем нормы процента (нормы доходности) в формуле сложного процента , где R0 - сумма начального вложения, Rn - получаемая через n периодов конечная сумма, - норма процента. Так как речь идет о снижении, то «норма процента» в (13) входит с отрицательным знаком ( ).

Из  равенства  (12) получаем

,                                                              (14)

где - цены, установившиеся к началу планового периода.

В случае сбалансированного снижения цен последовательность называется стационарной траекторией цен.

Подставляя  (12) и (14) в модель Неймана (10), получаем ее «стационарную» форму:

                                                     (15)

Эта система соотношений показывает, что по стационарным траекториям y и p экономика развивается согласно неизменному динамическому закону. Поэтому такую ситуацию естественно  назвать равновесной.

Четверка  , где y - стационарная траектория производства, p- стационарная траектория цен, а и - соответствующие им темп сбалансированного роста производства и норма процента (темп сбалансированного снижения цен), называется состоянием (динамического) равновесия в модели Неймана (10).

Сделаем следующие предположения:

а)

в) для каждого j существует хотя бы одно i , такое что  ;

г) для каждого i существует хотя бы одно j , такое что  ;

д) для каждого t .

Теорема 6.4. Если выполнены условия а-д, то в модели Неймана (10) существует состояние равновесия.

Условия в-г говорят о наличии в каждом столбце матрицы A и каждой строке матрицы B по крайней мере одного положительного элемента. Содержательно это означает, что среди всех производственных процессов нет таких, которые ничего не тратят, и каждый из n видов продуктов действительно производится. Условие д имеет чисто техническое предназначение.

Число

называется  максимальным темпом сбалансированного  роста, а число 

называется  минимальной нормой процента.

Оказывается, что в состоянии равновесия числа  и существуют и равны между собой:

,                                                                       (16)

если  только начальные точки y0 и p0 также  удовлетворяют этому равенству.

Траектория  производства , удовлетворяющая условиям (15) при и и соответствующая максимальному сбалансированному росту, т.е. , называется траекторией равновесного роста (или траекторией Неймана, или магистралью). Поскольку эту траекторию можно представить в виде , где , то ее еще называют лучом Неймана а цены (14), соответствующие минимальной норме процента , называют неймановскими ценами .