Использование фиктивных переменных в эконометрических моделях

     В рассматриваемом примере вся  совокупность из 25 единиц подразделена на две подгруппы: с зяблевой вспашкой — 13 полей и с весенней - 12 полей, т. е. п₁ = 13 и п₂ = 12. Соответственно разделению на эти две группы имеем:

           

 (28)

     Тоща  система нормальных уравнений примет вид:

             (29)

     Решая ее, получим уравнение регрессии

             (30)

     Уравнение регрессии статистически значимо:

             (31)

     Как видим, добавление в регрессию фиктивной переменной существенно улучшило результат модели: доля объясненной вариации выросла с 27,5% ( ) до 58,7% ( ). При этом сила влияния количества внесенных органических удобрений на урожайность осталась практически неизменной: коэффициенты регрессии, по существу, одинаковы (0,326 в парном уравнении и 0,331 во множественном). Корреляция между видом вспашки и количеством внесенного удобрения на 1 га практически отсутствует r_xz = - 0,016.

     Применение  зяблевой вспышки способствует росту урожайности в среднем на 2,9 и с 1 га при одном и том же количестве внесенного удобрения на 1 га, что в целом соответствует и различию средней урожайности по видам вспашки (15,3 и с 1 га для зяблевой вспашки и 12,5 центнера с 1 га для весенней вспашки). Частный F- критерий для фактора z составил 16,58, что выше табличного значения при числе степеней свободы 1 и 22 (4,30 при и 7,94 при ). Это подтверждает целесообразность включения фиктивной переменной в уравнение регрессии.

     Уравнения парной регрессии по отдельным видам  вспашки показывают, практически  единую меру влияния количества внесенного удобрения на урожайность:

             (32)

     Поэтому вполне реально предположить единую меру влияния данного фактора независимо от вида вспашки, что и имеет место в уравнении регрессии с фиктивной переменной. Включив фиктивную переменную, удалось измерить ее влияние на изменение урожайности: частный коэффициент корреляции , оценивающий в чистом виде влияние данного фактора, составил 0,6555, что несколько выше, чем аналогичный показатель для фактора х, т. е. .

     Частные уравнения регрессии по отдельным  видам вспашки составили:

             (33)

     Как видим, функция урожайности для  первой группы (при  ) параллельна функции для второй группы, но сдвинута вверх.

     В рассмотренном примере качественный фактор имел только два состояния, которым и соответствовали обозначения 1 и 0. Если же число градации качественного признака-фактора превышает два, то в модель вводится несколько фиктивных переменных, число которых должно быть меньше числа качественных градаций. Только при соблюдении этого положения матрица исходных фиктивных переменных не будет линейно зависима и возможна оценка параметров модели.

     В отдельных случаях может оказаться  необходимым введение двух и более  групп фиктивных переменных, т. е. двух и более качественных факторов, каждый из которых может иметь несколько градаций. Например, при изучении потребления некоторого товара наряду с факторами, имеющими количественное выражение (цена, доход на одного члена семьи, цена на взаимозаменяемые товары и др.), учитываются и качественные факторы. С их помощью оцениваются различия в потреблении отдельных социальных групп населения, дифференциация в потреблении по полу, национальному составу и др. При построении такой модели из каждой группы фиктивных переменных следует исключить по одной переменной. Так, если модель будет включать три социальные группы, три возрастные категории и ряд экономических переменных, то она примет вид:

         (34)

где у - потребление;

             (35)

             (36)

где

     Фиктивные переменные широко используются для оценки сезонных различий в потреблении. Фиктивные переменные могут вводиться не только в линейные, но и в нелинейные модели, приводимые путем преобразований к линейному виду. Так, модель с фиктивными переменными может иметь вид:

              (37)

где z - фиктивная переменная.

     Целесообразность  такого вида модели диктуется характером связи между экономическими переменными:

             (38)

     Фиктивная переменная вводится в эту модель как очередной сомножитель:

             (39)

     Логарифмируя  данное выражение, получим модель вида

             (40)

которая равносильна приведенной ранее

             (41)

где параметры и случайная составляющая представлены в логарифмах.

     Включение в модель фиктивных переменных может иметь цель отразить в модели неоднородность совокупности. Однако нельзя рассматривать фиктивные переменные как панацею при применении методов регрессии к неоднородным данным.

1. Использование фиктивных переменных в моделях с временными рядами

     В регрессионных моделях с временными рядами используется три основных вида фиктивных переменных:

1. Переменные-индикаторы принадлежности наблюдения к определенному периоду — для моделирования скачкообразных  структурных сдвигов. Границы периода (моменты “скачков”) должны быть установлены из априорных соображений. Например, 1, если наблюдение принадлежит периоду 1941-45 гг. и 0 в противном случае. Это пример использования для моделирования временного структурного сдвига. Постоянный структурный сдвиг моделируется переменной равной 0 до определенного момента времени и 1 для всех наблюдений после этого момента времени.

     2) Сезонные переменные — для  моделирования сезонности. Сезонные  переменные принимают разные  значения в зависимости от  того, какому месяцу или кварталу года или какому дню недели соответствует наблюдение.

     3) Линейный временной тренд —  для моделирования постепенных  плавных структурных сдвигов. Эта фиктивная переменная показывает, какой промежуток времени прошел от некоторого “нулевого” момента времени до того момента, к которому относится данное наблюдение (координаты данного наблюдения на временной шкале). Если промежутки времени между последовательными наблюдениями одинаковы, то временной тренд можно составить из номеров наблюдений.

     Фиктивные переменные помогают отразить тот факт, что коэффициенты линейной регрессии  могут меняться во времени. В простейшем случае изменяется константа, а тем  самым и мат. ожидание зависимой переменной.

     Коэффициенты  при значащих переменных тоже могут быть подвержены изменениям. Проинтерпретировать это можно так, что сила их влияния на независимую переменную меняется со временем.

     Временной тренд отличается от бинарных фиктивных  переменных тем, что имеет смысл  использовать его степени: t² , t³ и т. д. Они помогают моделировать гладкий, но нелинейный тренд. (Бинарную переменную нет смысла возводить в степень, потому что в результате получится та же самая переменная.)

     Можно также комбинировать три указанных  вида фиктивных переменных, создавая переменные “взаимодействия”  соответствующих эффектов.

     Регрессионные модели с фиктивными переменными  являются альтернативой ARIMA-моделям  и регрессионным моделям с AR- или MA-процессом в ошибке. В первом случае изменение мат. ожидания во времени можно назвать детерминированным трендом, во втором — стохастическим (строго говоря, термин “стохастический тренд” употребляют только по отношению к нестационарным процессам). Решить, какой вид модели применять, сложно.

     Дело  в том, что трудно отличить (в случае малых выборок), когда случайная величина имеет линейный детерминированный тренд со стационарными отклонениями от него, а когда она формируется нестационарным авторегрессионным процессом. То же самое верно для выбора способа моделирования сезонности.

     Использование фиктивных переменных имеет следующие преимущества:

     1) Интервалы между наблюдениями  не обязательно должны быть  одинаковыми. В выборке могут  быть пропущенные наблюдения.

     2) Коэффициенты при фиктивных переменных  легко интерпретировать, они наглядно  представляют структуру динамического  процесса.

     3) Для оценивания модели не приходится  выходить за рамки классического  метода наименьших квадратов.

2. Использование фиктивных переменных для моделирования сезонных колебаний

     Рассмотрим  еще один метод моделирования  временного ряда, содержащего сезонные колебания, — построение модели регрессии с включением фактора времени и фиктивных переменных. Количество фиктивных переменных в такой модели должно быть на единицу меньше числа моментов (периодов) времени внутри одного цикла колебаний. Например, при моделировании поквартальных данных модель должна включать четыре независимые переменные - фактор времени и три фиктивные переменные. Каждая фиктивная переменная отражает сезонную (циклическую) компоненту временного ряда для какого-либо одного периода. Она равна единице для данного периода и нулю для всех остальных периодов.

     Пусть имеется временной ряд, содержащий циклические колебания периодичностью k. Модель регрессии с фиктивными переменными для этого ряда будет иметь вид:

             (42)

где

     Уравнение тренда для каждого квартала будет  иметь следующий вид:

             (43)

     Параметр  b в этой модели характеризует среднее абсолютное изменение уровней ряда под воздействием тенденции. В сущности, модель

      

  (44)

есть  аналог аддитивной модели временного ряда, поскольку фактический уровень  временного ряда есть сумма трендовой, сезонной и случайной компонент.

 

6. Линейные регрессионные модели с переменной структурой

     До  сих пор мы рассматривали регрессионную  модель, в которой в качестве объясняющих переменных (регрессоров) выступали количественные переменные (производительность труда, себестоимость продукции, доход и т. п.). Однако на практике достаточно часто возникает необходимость исследования влияния качественных признаков, имеющих два или несколько уровней (градаций). К числу таких признаков можно отнести: пол (мужской, женский), образование (начальное, среднее, высшее), фактор сезонности (зима, весна, лето, осень) и т. п.

     Качественные  признаки могут существенно влиять на структуру линейных связей между переменными и приводить к скачкообразному изменению параметров регрессионной модели. В этом случае говорят об исследовании регрессионных моделей с переменной структурой или построении регрессионных моделей по неоднородным данным.

     Например, нам надо изучить зависимость  размера заработной платы  работников не только от количественных факторов но и от качественного признака (например, фактора «пол работника»).

     В принципе можно было получить оценки регрессионной модели

             (15)

     для каждого уровня качественного признака (т. е. выборочное уравнение регрессии  отдельно для работников-мужчин и  отдельно — для женщин), а затем изучать различия между ними.

     Но  есть и другой подход, позволяющий  оценивать влияние значений количественных переменных и уровней качественных признаков с помощью одного уравнения регрессии. Этот подход связан с введением, так называемых фиктивных (манекенных) переменных, или манекенов (dummy variables).

     В качестве фиктивных переменных обычно используются дихотомические (бинарные, булевы) переменные, которые принимают всего два значения: 0 или 1 (например, значение такой переменной по фактору «пол»: для работников-женщин и — для мужчин).