Расчет и конструирование двутавровой балки покрытия

Расчет и конструирование двутавровой  балки покрытия

 

1. Исходные данные:

Пролет балки L_б=17950 мм

Высота сечения Н_б=790 – 1450 мм

Ширина верхнего пояса b_f^' =400 мм

Высота верхнего пояса H_f^' = h₁+h₂ = 160+50=210 мм, где h₁ =160 мм; h₂ =50 мм – высоты верхней и нижней части пояса

Ширина нижнего пояса b_f =270 мм

Высота нижнего пояса Н_f =h₃+h₄ =180+60 =240 мм, где h₃ =180 мм; h₄ =60 мм – высоты верхней и нижней части пояса

Толщина стенки балки t_с = 100 мм.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1. Опалубочный чертеж

 

Материал балки:

а) бетон класса В40  R_b,ser =29 МПа – расчетное сопротивление бетона для предельных 
состояний второй группы на осевое сжатие (см1, табл. 12)

R_bt,ser =2,1 МПа – расчетное сопротивление бетона для предельных состояний второй группы на осевое растяжение (см 1, табл. 12)

R_b =22 МПа – расчетное сопротивление бетона на осевое сжатие (призменная прочность) (см 1, табл. 13)

R_bt =1,4 МПа – расчетное сопротивление бетона на осевое растяжение (см1, табл. 13)

Е_b =32500 МПа – начальный модуль упругости бетона при сжатии и растяжении (см1, табл.13)

γ_b2 =0,9 – коэффициент условия работы бетона (см 1, табл. 15, п.2б)

R_bp =0,8B =0.8*40 =32 Мпа – предварительная прочность прочность бетона, назначается согласно (1, п.2.6*табл.8*); В=40 МПа – класс бетона

 

б) Арматура предварительно напрягаемая из высокопрочной проволоки периодического профиля диаметром 5 мм класса Вр-II ГОСТ7348-81:

R_s =1045 МПа (см1, табл.23)

R_s,ser =1255 МПа (см1, табл.20)

Е_s =2*10⁵ МПа (см1, табл.29*) – модуль упругости арматуры

 

в) Поперечная арматура из стали класса А-III ГОСТ5781-82:

R_s =355 МПа при d =6 – 8 мм(см1, табл.23)

R_s =365 МПа при d =10 – 40 мм (см1, табл.23)

R_s,ser =390 МПа (см1, табл.20)

Е_s =2 10⁵ МПа (см1, табл.29*) – модуль упругости арматуры

 

Предварительно контролируемое напряжение

Проверяем условие при 

<

>

Условия выполняются.

 

 

 

Коэффициент точности натяжения  арматуры:

– при механическом способе натяжения;

при неблагоприятном влиянии  предварительного напряжения

при благоприятном – 

 

2.  Расчетный пролет и нагрузки

, где Δ – расстояние от  оси здания до торца балки (25 – 30 мм); а₀ – расстояние от торца балки до середины опоры (15 – 20 см)

 

Таблица 1

Вид нагрузки	Нормативная нагрузка кН/м	Коэффициент надежности по нагрузке γf	Расчетная нагрузка кН/м
Постоянная от покрытия и собственного веса балки	g1n=23,95	1,2	g1=27,33
Временная (снеговая): длительная кратковременная	1 1		0,42 0,98
Полная: постоянная и длительная qld кратковременная Pcd	24,95 1		28,9 0,98
Всего	qn=25,95		q=29,88

 

3. Усилия в сечениях балки от действующих нагрузок

Максимальный момент в середине пролета от полной расчетной нагрузки:

, где γ_n=0,95 – коэффициент надежности по назначению

Максимальный момент в середине пролета от полной нормативной нагрузки:

Наибольшая поперечная сила от полной расчетной нагрузки:

Изгибающий момент в 1/3 пролета  балки от расчетной нагрузки (x₁=L₀/3=17,65/3=5,89 м):

 

4. Предварительный расчет сечения  арматуры

Из условия обеспечения прочности, сечение напрягаемой арматуры должно быть:

В сечении на расстоянии 1/3 пролета  от опоры балки:

,

где h₀=h-а=154 – 18/2=145 см;

- расстояние от торца балки  до сечения  в 1/3 расчетного  пролета;

;

h_os=0,79 м – высота сечения у опоры балки.

Ориентировочное сечение напрягаемой  арматуры из условия обеспечения  трещиностойкости:

, где β=0,6 – для тяжелого  бетона.

Необходимое число проволоки Ø5Вр-II, А_s=0,196 см²:

n=А_sp/А_s=14,2/0,196=72.

Назначаем 75Ø5Вр-II, А_s=14,7 см².

Для дальнейших расчетов принимаем  площадь ненапрягаемой арматуры в сжатой зоне бетона (полке) конструктивно 4Ø10А-III, А_s^'=3,14 см², то же, в растянутой зоне А_s=3,14 см².

 

 

Рис.2. Расчетное сечение балки в середине пролета

 

 

5. Определение геометрических характеристик приведенного сечения

Отношение модулей упругости

 

Приведенная площадь арматуры

 

Площадь приведенного сечения посередине балки

A_red=40·16+2·15·5/2+27·18+2·8,5·6/2+109·10+90,5+19,3=2452 см²

 

 

 

Статический момент сечения относительно нижней грани

S_red=40·16·(154-16/2)+2·15·5/2·(154-16-5/2)+27·18·(18/2)+2·8,5·6/2·(18+6/2)+109·10·(18+6+109/2)+

+90,5·9+19,3·(154-3)=198341 см³

 

Расстояние от центра тяжести приведенного сечения до нижней грани

y₀=S_red/А_red=198341/2452=81 см

то же до верхней грани    y₀^'=154-81=73 см.

Момент инерции приведенного сечения относительно центра тяжести  сечения

,

где I₀ – момент инерции рассматриваемого сечения относительно своего центра тяжести;

А – площадь сечения;

а_i – расстояние от центра тяжести рассматриваемой части сечения до центра тяжести приведенного сечения.

 

Момент  сопротивления приведенного сечения для нижней растянутой грани балки при упругой работе материалов

W_red=I_red/y₀=7306603/81=90205 см³;

то же для  верхней грани балки W^'_red=I_red/y^'₀=7306603/73=100091 см³

 

Расстояние  от центра тяжести приведенного сечения  до верхней ядровой точки

,

где при   

то же до нижней ядровой точки  

 

Момент  сопротивления сечения для нижней грани балки с учетом неупругих  деформаций бетона

где   

то же для верхней грани

где  

 

6. Определение потерь предварительного  напряжения арматуры

Потери предварительного напряжения в арматуре определяем по табл. 5 СниП2.03.01 – 84* «Бетонные и железобетонные конструкции».

Первые потери (до обжатия бетона):

- от релаксации напряжений арматуры

 

- от температурного перепада (при Δt=65⁰)

 

- от деформации  анкеров у натяжных устройств,  при длине арматуры l=19 м

где    Δl=1,25+0,15d=1,25+0,15·5=2 мм

d=5 мм – диаметр напрягаемой  арматуры

 

При прямолинейной  напрягаемой арматуре  σ₄=σ₄^'=0

 

Потери  от деформации формы не учитываем, т.к. натяжение арматуры производится на упоры стенда   σ₅=σ₅^'=0

 

Усилие  обжатия бетона с учетом потерь σ₁, σ₂, σ₃ при коэффициенте точности натяжения арматуры  γ_sp=1

 

Эксцентриситет действия силы P₁:    е_ор=y₀ – а=81 – (21/2)=70,5 см

 

Расчетный изгибающий момент в середине балки  от собственного веса, возникающий  при изготовлении балки в вертикальном положении

               где   q_с=5,55 кН/м – расчетная нагрузка от собственного веса балки

то же от нормативной 

 

Напряжение  обжатия бетона на уровне центра тяжести  напрягаемой арматуры от действия усилия  Р₁  и момента   М_с^п

Отношение σ_bp/R_bp=9,8/32=0,306<0,75, что удовлетворяет СниП. Это отношение меньше α_max=0,8 для бетона класса В40 (α=0,25+0,025R_bp≤0,8;  α=0,25+0,025·32=1,05; принято α=0,8). Поэтому потери напряжений от быстронатекающей ползучести для бетона, подвергнутого тепловой обработке, будут:

 

Первые потери:   

Вторые потери:

- от усадки бетона классаВ40, подвергнутого тепловой обработке  при атмосферном давлении σ₈=40 МПа

- от ползучести бетона при   σ_bp/R_bp=0,306<α=0,75

σ₉=0,85·150·σ_bp/R_bp=0,85·150·0,306=39 МПа

Суммарное значение вторых потерь:   σ_los2=σ₈+σ₉=40+39=79 МПа

 

Полные  потери предварительного напряжения арматуры

 

Усилие  обжатия с учетом полных потерь: P₂=А_sp·(σ_sp - σ_los)=14,7·(880-239)·100=94227 Н=243 кН

 

7. Расчет прочности балки по нормальному сечению

Определяем  положение нейтральной оси из условия (при γ₄=1)

                                       

1045·100·14,7<22·100·0,9·40·(16+5/2)+365·100·3,14

                                  1536150 Н<1579810 Н

следовательно, нейтральная ось  проходит в полке вблизи ребра.

 

Находим граничное значение относительной  высоты сжатой зоны бетона  ξ_R:

где  

σ_SR=R_S+400 - σ_SP=1045+400 – 880=565 МПа

σ_SC,U=500 Мпа       при       γ_b2<1

 

Высоту сжатой зоны   х    находят по формуле:

Проверяем условие      ξ<ξ_R

ξ=x/h₀=18/145=0,124<0,47

 

Изгибающий момент, воспринимаемый сечением в середине балки

 

8. Расчет прочности сечений,  наклонных к продольной оси  по поперечной силе

Максимальная поперечная сила у  грани опоры   Q=251кН

Размеры балки у опоры: h=80 см, h₀=80-9=71 см, b=10 см (на расстоянии 0,75 м от торца балки), b=27 см (на опоре)

 

Вычисляем проекцию расчетного наклонного сечения на продольную ось С

- коэффициент φ_f, учитывающий влияние свесов сжатой полки

принято φ_f=0,5

- коэффициент φ_n, учитывающий влияние продольного усилия обжатия (усилие предварительного обжатия при γ_sp=1:   N=P₂=943 кН):

принято  φ_n=0,5; параметр  (1+ φ_f +φ_n)=1+0,5+0,5=2>1,5, принимаем   1,5,

 

Вычисляем   ,

где   φ_b=2 – коэффициент, учитывающий влияние вида бетона

 

В расчетном наклонном сечении  предварительно принимаем  Q_b=Q_sw=Q/2, следовательно,

Тогда   - требуется поперечное армирование по расчету

Принимаем для поперечных стержней арматуру Ø10 класса А-III, А_sw=0,785 см²

По конструктивным требованиям шаг поперечных стержней S должен быть не более 1/3h и не более 50 см; S=h/3=80/3=27 см, принимаем предварительно на приопорных участках длиной около   3 м  S=10 см

 

Усилие, воспринимаемое поперечными  стержнями у опоры на 1 см длины  балки,

,

где R_sw=285 МПа для арматуры класса А-III; n_x=2 – число поперечных стержней в одном сечении

 

Проверяем условие: q_sw>0,5φ_b3(1+ φ_f +φ_n)R_btb

4474,5>0,5·0,6·1,5·1,4·100·10=630 Н/м – условие  удовлетворяется

Длина 

Поперечное усилие  Q_sw=q_swC₀=4474,5·68,8=307,8 кН

 

Поперечная сила при совместной работе бетона и поперечной арматуры

Q_b,sw=Q_b+Q_sw=307,8+307,7=615,5>Q_max=251 кН, следовательно прочность наклонного сечения обеспечена

На остальных участках балки  поперечные стержни располагаем в соответствии с эпюрой Q

Для средней половины пролета при h₀=107 см и по конструктивным требованиям S_max=50 см:

принимаем С₀=231,8 см; С=С₀=231,8 см; Q_sw=q_swС₀=894,9·231,8=207,4 кН;

Q_b,sw=Q_b+Q_sw=207,4+207,4=414,8 кН > Q=125,5 кН (в ¼ пролета)

 

 

Для сечения в 1/8 пролета при h₀=89 см, S=20см:

принимаем С₀=121,9 см; С=С₀=121,9 см

(в 1/8 пролета)

 

Рис. 3. К расчету балки на действие поперечных усилий

а – схема загружения балки; б  – эпюра усилий от нагрузки и  по армированию поперечными стержнями; 1 – эпюра Q по расчету; 2 – то же, по армированию

 

 

9. Расчет по предельным состояниям  второй группы. Расчет по образованию  трещин, нормальных к оси балки

В этом расчете следует проверить  трещиностойкость балки при действии эксплутационных нагрузок (при γ_f>1) и при отпуске натяжения арматуры.

 

Расчет при действии эксплуатационных нагрузок

Равнодействующая усилий обжатия  бетона с учетом всех потерь при  γ_sp=1

а при γ_sp=0,9         Р₀₂=0,9·942,3=848,1 кН

Эксцентриситет равнодействующей        е₀=у₀ – а=81-9=72 см

Момент сил обжатия относительно верхней ядровой точки

М_rp=Р₀₂(r+е₀)=848,1·(31,27+72)=875,83 кН·м

Момент, воспринимаемый сечением балки  в стадии эксплуатации непосредственно  перед образованием трещин в нижней части,

М_crc=R_{bt, ser}W_pe+M_rp=2,1(100)144235+87583·10³=1179·10⁵ Нсм=1179 кНм>M_cⁿ=960 кНм

Поэтому расчет на раскрытие трещин можно не производить.