Расчёт рекурсивного цифрового фильтра

       Данный метод синтеза осуществляется  путем применения прямого Z-преобразования к импульсной характеристике и вычислений системной функции Н(z). Для приведенного примера {h(n)} представляет собой бесконечный ряд:

{h(n)} = 1,, , , …

          Выполнив Z-преобразование данной импульсной характеристики, получим:

H(z) = = 1 + + +… =  

     Таким образом, функция определяет рекурсивный ЦФ 1-го порядка, содержащий масштабный блок, элемент задержки и сумматор.

         Из этого соотношения путем  подстановки z = e^-jωT  находим частотный коэффициент передачи цепи:

H () =  

2.2. Метод инвариантности  частотных характеристик  (метод билинейного  преобразования)

     Для расчета избирательных БИХ-фильтров со стандартными характеристиками наиболее простым и широко используемым является метод билинейного преобразования. С помощью этого метода передаточная функция Н(р) аналогового фильтра преобразуется в передаточную функцию Н(z) цифрового БИХ-фильтра. Достоинством данного метода является то, что передаточная функция цифрового фильтра определяется с помощью простых формул из передаточной функции аналоговых фильтров, для которых существуют подробные таблицы и справочники. Это позволяет решать аппроксимационную задачу без использования компьютера.

         Достоинство этого метода заключается  также в том, что данный метод  обеспечивает построение такого  БИХ-фильтра, выходной сигнал которого приближенно совпадает с выходным сигналом аналогового фильтра-прототипа при одинаковых произвольных входных сигналах.      

     При билинейном преобразовании  для ФНЧ используют замену  переменной вида:

                                              s = γ                                               (1.4)

         Использование подстановки обеспечивает  преобразование передаточной функции  H(s) аналогового фильтра-прототипа в передаточную функцию H(z) цифрового фильтра:

         Однако соотношение между нормированными  «аналоговыми частотами» Ω и  нормированными «цифровыми частотами»  ω является нелинейными.

         Подставляя в выражение z =  , вместо z = e^j2πω и s = jΩ получаем:

= =

         Отсюда:                                        Ω = γ·tg (π )                                          (1.5)

         При изменении частоты f от 0 до 0,5f или ω от 0 до 0,5 нормированная частота Ω в шкале аналоговых частот будет пробегать значения от 0 до бесконечности. Таким образом имеет место «деформация» шкалы частот. На рисунке 2.2.1 показана трансформация частотной оси при билинейном Z-преобразовании для ФНЧ. 
 

Рисунок 2.2.1 – Трансформация частотной  оси при билинейном Z-преобразовании

     Выход, однако, чрезвычайно прост. Деформация шкалы частот не приводит к нарушению избирательных свойств при билинейном преобразовании (и это главное). А деформация шкалы частот можно скомпенсировать с помощью предискажений в аналоговом фильтре. Компенсация эффекта деформации может осуществляться путем предварительного искажения шкалы частот аналогового фильтра противоположным образом, так, чтобы после применения билинейного Z-преобразования критические частоты были сдвинуты назад, к требуемым значениям. 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Расчет передаточной  функции аналогового  фильтра-прототипа

         Для расчета передаточной функции  аналогового фильтра-прототипа необходимо  рассчитать: нормированные «цифровые»  частот ω_з и ω_п:

ω_{з  =  =     = 0,325}

ω_{п  =    =     = 0,141666}

где ω_з – нормированная частота полосы задержки

ω_п – нормированная частота полосы пропускания

         Из таблицы 5.1 (1) для ФНЧ находим:

γ = ctg π = ctg (3.1415 · 0.141666) = 2.0965435

где γ – постоянный множитель, не меняющий форму преобразования

=  γ ·tg π =  2.0965435 · tg(3.1415 · 0.325) = 3.42101681

где Ω_k – граничная «аналоговая» частота. 

3.1. Проверка правильности  расчета передаточной  функции аналогового  фильтра-прототипа

      Рассчитаем допустимые неравномерности  в полосе пропускания и задерживания  по формулам 1.1 и 1.2:

=  1 -   =   1 -   = 0.148862 

  =    =      = 0.019952 

    По таблице А1 приложения А (1) определяем модуль коэффициента отражения , для ∆A_max = 1.4 дБ, :        

                                                             L= 0,18

    По номограмме А2 (1) определяем порядок n передаточной функции H(s),

 учитывая  L= 0,18 и

    Проверим фильтр 3го порядка.

 В общем виде передаточная функция фильтра третьего порядка:

H(s) = · · ;

где С, a_i и b_i – коэффициенты, которые находим по таблице А2 приложения А (1):

Для фильтра  Баттерворта 3-го порядка:

С=0,57735027

-a₀=1,200936949

-a₁= 0,600468475

b₁= 1,040041906

Таким образом передаточная функция имеет вид:

H(s) = 1,73205 · · ;

Для проверки, удовлетворяет  ли фильтр 3-го порядка заданным значениям  рассчитываемого фильтра, необходимо проверить выполняются ли условия:

H(1) ≥ 1 -

и

H() ≤  

Для этого  необходимо сделать замену переменных:

│H(jΩ)│ = H(s)  │s = jΩ

│H(jΩ)│ = 1.73205 ·

Подставляя вместо :

При =0 получаем H(0)=1

При =1 получаем H(1)= 0,8660 > 1 - 0,851138

При = = получаем H() = 0,04321 > = 0,019952

Убеждаемся, что  фильтр 3го порядка не удовлетворяет  заданным значениям рассчитываемого  фильтра.

   Проверим фильтр 4го порядка.

      В общем виде передаточная функция фильтра из двух звеньев второго порядка:

H(s) = ;

где C, a_i и b_i – коэффициенты, которые находим по таблице А2 приложения А (1):

Для фильтра Баттерворта 4го порядка:

С = 0,57735027

-a₁ = 0,4390154575

-a₁ = 1,059877074

±b₁ = 1,059877074

±b₂ = 0,4390154575

         Таким образом, передаточная функция  имеет вид:

H(s) =  1,73205  ·   · ;            (3.1)

         Для проверки, удовлетворяет ли  фильтр 4го порядка заданным значениям  рассчитываемого фильтра, необходимо  проверить, выполняются ли условия:

|H(jΩ)| = H(s)|_s = jΩ

│H(jΩ)│ = 1.73205 ·

Подставляя вместо Ω:

При Ω = 0 получаем H(0) = 1

При Ω = 1 получаем H(1) = 0,86605 > 1 – ε_п = 0,851138

При Ω = Ω_k = 3.42 получаем Н(Ω_k) = 0,0126656 < ε_з = 0,019952

         Убеждаемся, что фильтр 4го порядка  удовлетворяет заданным значениям  рассчитываемого фильтра. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. Расчет передаточной  функции проектируемого  фильтра методом  билинейного преобразования 

Получение передаточной функции H(s) цифрового фильтра НЧ осуществляется путем подстановки из таблицы 5.1 (1):

S → γ ·

в выражение  (3.1), т.е.:

H(z) =  1,73205  ·   · ;

 Получаем передаточную функцию ЦФ в виде:

H(z) =    ·

После проведения расчётов получим:

H(z) =    ·  
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5. Расчет АЧХ проектируемого рекурсивного ЦФ 

         Для нахождения АЧХ проектируемого  фильтра, необходимо найти |H(e^j2πω)|, где

|H(e^j2πω)| = H(z)|_z = e^j2πω

причем  z^-1 = e^-j2πω = (cos2πω – jsin2πω).

 Общая передаточная характеристика:

H(ω) = C·H1(ω)·H2(ω)

где H1(ω) и H2(ω) – передаточные характеристики первого и второго звена проектируемого фильтра, каждое из которых: