Исследование и синтез системы автоматического управления

 

т.к. НЭ симметрично относительно начало координат, то .

 

Составляем гармоническую линеаризованную  функцию разомкнутой системы.

 

Частотный метод

 

Строим две частотных характеристики: годограф W_лин и график -W_НГ. Для удобства преобразования построим годограф -1/W_Л и график W_НГ.

 

.

 

Выполним замену переменных и выделим действительную и мнимую часть.

 

Построим годограф_:

 

График 11. Переходный процесс

(см.1.9. xls)

 

 

Определяем частоту автоколебаний:

 

Получаем  .

 

 

Определим амплитуду:

 

;

 

 

Корень не является комплексным, следовательно, в системе присутствуют автоколебания.

 

Подтвердим полученные результаты, приведя график, полученный моделированием в пакете МВТУ:

График 12. Автоколебания (см.1.9. mrj)

 

Полученные графическим путем результаты имеют значение, близкое к значениям результатов, полученным аналитически, что подтверждает результаты данного пункта.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЧАСТЬ  2.

 

2.1. Заменить аналоговый  регулятор импульсным элементом  с фиксатором 0-го порядка и периодом .

Звено заменим на

;

 

 

2.2. Получить  передаточные функции разомкнутой  импульсной системы.

 

;

 

Определим корни  характеристического уравнения:

                       

Определим дискретную передаточную функцию  как сумму вычетов по полюсам p_k

;

Найдем вычеты по полюсам p_k

 

 

 

 

Получаем передаточную функцию  разомкнутой системы:

 

  ;

 

Проверим полученные результаты моделированием в пакете МВТУ:

 

Схема 6  – Структурная схема

(см.2.2.mrj)

 

 

 

График 12.(см.2.2.mrj)

 

График подтверждает, что передаточная функция разомкнутой системы  получена правильно.

 

2.3. Получить передаточную  функцию замкнутой системы.

 

Передаточную функцию замкнутой  системы определим по правилу:

.

 

Передаточная функция замкнутой  системы имеет вид:

 

;

 

 

 

2.4. Оценить устойчивость  замкнутой системы по расположению корней ее характеристического уравнения.

 

Характеристическое уравнение  замкнутой системы имеет вид:

 

.

 

Найдем его корни:

 

 

Сделаем вывод, что система не является устойчивой, так как корни не лежат внутри единичной окружности.

 

Проверим полученный результат  в МВТУ:

 

Схема 7  – Структурная схема

(см.2.4.mrj)

 

График 13.(см.2.4.mrj)

 

Делаем вывод, что замкнутая  система действительно не является устойчивой.

2.5. Используя билинейное преобразование, подтвердить результаты п.4, используя критерии устойчивости непрерывных систем.

 

В передаточной функции W*(z) делаем замену переменной z: .

Получаем:

 

 

;

 

Проверим устойчивость, применив критерий Михайлова. Произведем замену  в исходном характеристическом уравнении.

 

;

 

;

Выделим действительную и мнимую части:

;

;

 

Построим годограф Михайлова:

График 14.(см.2.5. xls)

 

Для того чтобы система была устойчива, годограф должен начинаться на вещественной положительной оси и иметь  вид раскручивающейся против часовой  стрелки спирали, проходящей последовательно  квадранты комплексной плоскости. Полученный годограф не удовлетворяет данным условиям, т.к. при начинается на положительной оси, но не проходит во второй квадрант, а через четвертый попадает в третий. Кроме того, он не начинается в начале координат, что говорило бы о том, что система находится на границе устойчивости. Делаем вывод, что система является неустойчивой.

 

2.6. Вычислить переходную  характеристику замкнутой импульсной  системы.

 

Переходная характеристика замкнутой  импульсной системы выглядит следующим  образом:

 

.

Произведем следующее преобразование:

 

 

.

 

Разделим числитель на знаменатель:

                  |

|

 

В результате деления получим ряд  Лорана:

 

 

График 13.(см.2.4.mrj)

 

 

7. Используя билинейное  преобразование построить ЛАЧХ  и ЛФЧХ разомкнутой импульсной системы относительно абсолютной псевдочастоты.

 

Для построения ЛАЧХ воспользуемся  функцией, полученной билинейным преобразованием.

 

 

;

 

 

Из передаточной функции найдем и :

 

 и 

 

     

 

Построим ЛФЧХ, так же используя билинейное преобразование:

 

График 15.(см.2.7.xls)

 

Из ЛАЧХ определяем частоту  среза равную , при этом ЛФЧХ пересекает прямую –π в точке, соответствующей .

 

8. Получить модель  разомкнутой импульсной системы  в векторно-матричной форме.

 

Получим модель объекта в векторно-матричной  форме.

 

 

;

 

 

Тогда векторно-матричная форма  модели импульсной САУ:

 

 

Так же, для выполнения этого пункта воспользуемся блоком дискретных переменных состояния (пакет МВТУ), который реализует описание многомерной линейной дискретной системы в матричной форме:

 

x[k+1] = Ax[k] + Bg[k];

 y[k]    =  Cx[k] + Dg[k],

 

где A, B, C, D - матрицы: собственная, входа, выхода и обхода, соответственно:

 

; ; ; .

Проверим результаты моделированием в МВТУ пооператорной структурной  схемы, а затем  с помощью блока  дискретных переменных состояний.

 

Схема 8  – Структурная схема (см.2.8.mrj)

 

График 16.(см.2.8.mrj)

 

График дискретной передаточной функции  совпадает с графиком пооператорной  структурной схемы, что и требовалось  доказать с помощью моделирования.

Добавим к графикам исходной функции  и дискретной передаточной функции  блок дискретных переменных состояния.

 

Схема 9  – Структурная схема (см.2.8.а.mrj)

 

График 17.(см.2.8.1.mrj)

График дискретной передаточной функции  совпадает с графиком дискретных переменных состояния, что и требовалось  доказать с помощью моделирования.

8.1  Синтезировать последовательное корректирующее устройство вида

Синтезируем последовательное корректирующее устройство с помощью «Оптимизации» МВТУ:

Схема 10  – Структурная схема (см.2.8.1.mrj)

График 18.(см.2.8.1.mrj)

 

9. Синтезировать импульсный регулятор состояния из условия минимальной конечной длительности переходного процесса.

Передаточная функция системы:

 

;

 

 

 

 

;

 

;

 

 

;

 

Блоки для регулятора:

 

Блоки для регулятора:

 

Блоки для регулятора:

 

Так же, заметим, что и блоки , используются для того, чтобы график переходного процесса устанавливался в 1.

 

Схема регулирования в МВТУ и  ее график выглядят следующим образом:

 

 

 

 

 

Схема 11  – Структурная схема (см.2.9.mrj)

          

График 19.(см.2.9.mrj)

 

2.10. Построить наблюдатель  состояния.

 

Исходя из полученной векторно-матричной  формы наблюдателя состояния, получаем следующее его представление:

 

;

 

   ;

 

Выберем значения коэффициентов  , и   исходя из условия устойчивости системы. Устойчивость определим по принадлежности корней характеристического уравнения единичному кругу.

 

 

Построим в пакете МВТУ регулятор  состояния:

Выберем:

 

 

Найдем корни данного уравнения:

 

 

 

Все корни лежат внутри единичного круга, следовательно, система устойчива.

 

Схема 12  – Структурная схема (см.2.10.mrj)

 

График 20.(см.2.10.mrj)

11. Построить кривую  переходного процесса с использованием  векторно-матричного уравнения замкнутой  системы.

Уравнение векторно-матричной формы  для разомкнутой системы имеет  вид:

 

      

 

         

 

Начальные условия:

          

1.

_;

2. _;

;

3.

  _;

;

 

График 12.(см.2.2.mrj)

 

Для замкнутой системы:

Уравнение векторно-матричной формы  для замкнутой системы имеет  вид:

 

    

 

      

 

 

Начальные условия:

          

 

 

1.

_;

2. _;

;

3.

  _;

;

 

График 19.(см.2.10.mrj)