Уравнение Лейбензона

 

 

 

                                        Содержание

Введение

1. Уравнение Лейбензона

2. Линеаризация уравнения Лейбензона и основное решение        линеаризованного уравнения

Вывод

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Основатель советской школы нефтегазовой гидромеханики академик Л.С. Лейбензон заложил основы теории газ в пористой среде. Он получил дифференциальное уравнение неустоновившеися фильтрации совершенного газа в пласте по закону Дарси. При выводе уравнения предполагалось, что коэффициенты пористости и проницаемости не изменяются с давлением, т.е. пласт недеформируем, вязкость газа также не зависит от давления, газ совершенный, а фильтрация газа в пласте происходит при неизменных во времени температурах газа и пласта (изотермический закон).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение Лейбензона

используем уравнение, которое справедливо для любого сжимаемого флюида:

 

,                                                           (1)

 

где k-коэффициент проницаемости; η-коэффициент вязкости; m-коэффициент пористости; ρ-плотность жидкеости.

Функция Лейбензона для совершенного газа определяется по формуле:

 

Р = ρ_атp²⁄(2p_ат) + С.                                                                  (2)

 

Продифференцируем (2) по координатам 2 раза:

 

, ,                  (3)

Преобразуя правую часть уравнения (1) и считая пористость m₀ постоянной и учитывая, что для совершенного газа

 

ρ = ρ_ат p ⁄ p_ат,                                                                                (4)

где ρ-плотность газа.

 

получим:

 

                                                                          (5)

 

Подставив выражения (3) и (5) в уравнение (1), получим:

 

                                                    (6)

где, k/2ηm₀-переменная формула, U-оператор Гамельтона.

Где выражение в скобке представляет собой оператор Лапласа относительно р², поэтому уравнение (6) принимает вид:

 

                                                                                  (7)

 

Полученное дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации совершенного газа называется уравнением Лейбензона и представляет собой нелинейное уравнение параболического типа.

Уравнение Лейбензона (6) можно записать следующим образом, умножив правую и левую части на давление р и заменив

 

 

                                                    (8)

 

В такой записи под знаками производных по координатам и по времени находится одна и та же функция р², но коэффициент в правой части kр/(ηm₀)-переменный, в него входит искомая функция p(x,y,z,t).

Неустановившаяся фильтрация реального газа с уравнением состояния ρ = ρ_ат p ⁄ [p_атz(p)] и с учетом зависимости коэффициента вязкости от давления η=η(p) и недеформируемости пористой среды (m₀=const, k=const) описывается следующим нелинейным дифференциальным уравнением параболического типа:

 

 (9)

z(p)-коэффициент сжимаемости газа

 

Для решения задач, связанных с неустановившейся фильтрацией газа, дифференциальное уравнение в форме (6) или (8) должно быть проинтегрировано по всей области газовой залежи при заданных начальных и граничных условиях.

Так как уравнение (6) или (8) представляет собой сложное нелинейное уравнение в частных производных, оно в большинстве случаев не имеет точных аналитических решений. Его можно проинтегрировать численно с помощью ЭВМ или решить приближенным способом. Приближенные способы хорошо разработаны.

Численные методы решения различных задач фильтрации газа на основе уравнения Л.С. Лейбензона достаточно хорошо обоснованы в приложениях к проблемам разработки месторождений природных газов. Наибольшее распространение получили методы конечных разностей и конечных элементов. Вместе с тем, развитие теории фильтрации газов, вызванное требованиями практики разработки газовых месторождений, связанных с изменением горно-геологических условий их залегания (большие глубины, высокие давления и температуры, многокомпонентность газа и т.д.) потребовало учета в основном уравнении, предложенном Л.С. Лейбензоном, многих дополнительных факторов. Оказалось, что использование функции Лейбензона в форме (2) допустимо при небольших давлениях, в условиях недеформируемых пластов. При достаточно больших давлениях в условиях деформируемых коллекторов под знак интеграла в формуле (2) необходимо внести зависимости изменения проницаемости, вязкости и коэффициента сверхсжимаемости газа от давления. При неизотермической фильтрации во многих случаях необходимо учитывать также изменение свойств газа oт температуры.

Уравнение (6) получено с использованием в качестве уравнения движения закона Дарси. Вместе с тем, последующие исследования И.А.Чарного, Е.М. Минского и других показали, что при фильтрации газов в природных пластах в большинстве случаев следует пользоваться нелинейным (двучленным) законом фильтрации.

Одним из эффективных путей решения уравнения Лейбензона является линеаризация, т.е. сведение его к линейному уравнению Фурье. В некоторых практических случаях использование различных способов линеаризации уравнения (6) позволяет получать приближенные решения, удовлетворяющие требованиям практики.

Будем считать пласт недеформируемым, фильтрацию изотермической и происходящей по двучленному закону. Рассмотрим плоскорадиальный поток к осесимметрично расположенной скважине.

Воспользуемся уравнением неразрывности для плоскорадиального движения:

 (10)

где, w-средняя скорость течения жидкости, r-радиус скважины

 

Воспользовавшись выражением для массовой скорости ρw, полученным из двучленного закона фильтрации, после подстановки в них значений плотности из уравнения состояния (4), получим:

 

; (11)

. (12)

где, r-произвольный радиус скважины; sgn-оператор Лапласа

Подставив выражения (11), (12) и (5) в уравнение неразрывности (10) и сократив на ρ_ат / p_ат ,получим:

 

,(13)

 

где .

Если сделать замену , то дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации газа по двучленному закону примет следующий вид:

_. (14)

 

Аналитическое решение уравнения (14) наталкивается на значительные трудности, однако численное решение для обычных в подземной гидромеханике начальных и граничных условий не представляет затруднений.

 

 

2.Линеаризация уравнения Лейбензона и основное решение линеаризованного уравнения

Если заменить нелинейное дифференциальное уравнение (8) линейным, т. е. линеаризовать его, то оно упростится - для линейного уравнения существуют точные аналитические решения. Ясно, что эти точные решения линеаризованного уравнения будут приближенными для нелинейного. Оценить погрешность решения, которая возникает при замене точного уравнения линеаризованным, можно, например, сравнивая приближенное решение с решением на ЭВМ точного уравнения.

Были предложены различные способы линеаризации уравнения (8). Если рассматривается плоскорадиальный приток к скважине, то, как известно из теории установившейся фильтрации газа воронка депрессии очень крутая, и в большей части пласта давление мало отличается от контурного. На этом основании Леибензон предложил заменить переменное давление p в коэффициенте уравнения (8) на постоянное давление p_к, равное начальному давлению в пласте. Тогда, обозначив получим вместо уравнения (8) уравнение

 (15)

 

которое является линейным уравнением пьезопроводности относительно функции р², где χ-константа, аналогичная коэффициенту пьезопроводности. Такой способ линеаризации, когда переменный коэффициент χ в уравнении при различных значениях давления принимается константой, называется линеаризацией по Лей6ензону. В дальнейшем различными авторами были предложены уточнения к линеаризации по Лейбензону. Так. И. А. Чарный предложил свести уравнение (8) к линейному заменой переменного давления в коэффициенте на значение

 

p_ср=p_min+0,7(p_max-p_min),

 

где p_mах и p_min - максимальное и минимальное давления в газовой залежи на расчетный период.

Используем линеаризованное уравнение (15) для решения конкретной задачи о притоке газа в скважину бесконечно малого радиуса (точечный сток), расположенную в бесконечно протяженном пласте с постоянной толщиной h. В начальный момент времени пласт невозмущен, т.е. давление во всем пласте постоянно и равно p_k. С этого момента начинается отбор газа с постоянным дебитом Q_ат. Нужно найти изменение давления по пласту с течением времени p(r, t).

Для плоскорадиальной фильтрации газа (15) запишется следующим образом:

 

 (16)

 

Проинтегрировав уравнение (16) при начальном условии

p² = p_k² при t =0, 0 < r < ∞ (17)

и при граничном условии в удаленных точках

р² = р_k² при r = ∞, t > 0. (18)

Выведем условие для давления на забое скважины. Записав выражение для массового дебита исходя из закона Дарси в дифференциальной форме для плоскорадиальной фильтрации:

 

 

И использовав равенства

 

 

а так же сократив на р_ат, получим:

 

 

Из этого соотношения можно выразить условие на стенке газовой скважины бесконечно малого радиуса:

 

при r=0. (19)

 

Таким образом, для решения поставленной задачи уравнение (16) должно быть проинтегрировано при условиях (17), (18), и (19).

Полученные выражения для совершенного газа аналогичны соотношениям для упругой жидкости, только давление входит в квадрате:

p² = p_k² при t = 0, 0 < r < ∞

р² = р_k² при r = ∞, t > 0

при r = 0

 

Решение лиеаризованного уравнения Лейбензона для газа получим по основной формуле упругого режима для упругой жидкости с учетом для газа и коэффициента , аналогичных коэффициенту пьезопроводности и коэффициенту для жидкости:

 

 (20)

 

Для малых значений аргумента в соответствии можно заменить интегральную показательную функцию логарифмической

 

 (21)

 

Решения (20)-(21) являются приближенными, так как получены в результате интегрирования линеаризованного уравнения (16), а не точного (6).

Формулы (20) и (21) определяют (при фиксированных значениях времени t распределение давления вокруг газовой скважины, работающей с постоянным дебитом с момента t = 0. Эти депрессионные кривые имеют такой же характер, как при установившейся фильтрации очень крутые вблизи скважины (рис.1,а). Если задать значение r можно найти изменение давления в данной точке с течением времени. Можно найти изменение давления на забое (при r=r_c) после начала работы скважины (рис.1,б):

 

 (22)

 

Кривые распределения давления по пласту при неустановившемся притоке газа к скважине в разные моменты времени (а) и динамика давлений в фиксированных точках пласта (б)

 

Рис.1. Изменение давления на забое  после начала работы скважины

 

 

Г.И.Баренблатт, применяя анализ размерностей, показал, что нелинейное уравнение Лейбензона при определенных начальных и граничных условиях имеет точное решение, которое может служить эталоном для сравнения с ним приближенных решений.

Для его получения рассматривается задача о нестационарном плоскорадиальном притоке газа с постоянным дебитом к скважине в бесконечном пласте. Необходимо проинтегрировать нелинейное уравнение Лейбензона

 

 (23)

 

При начальных граничных условиях

 

p² = p_k² при t =0, 0 < r < ∞

р² = р_k² при r = ∞, t > 0. при r = 0

 

Г.И.Баренблаттом показано, что в такой постановке давление зависит от некоторого единого комплекса, включающего в себя обе переменные - r и t, а дифференциальное уравнение в частных производных приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое легко интегрируется. Чтобы установить, от каких аргументов будет зависеть давление, проведем анализ размерностей. Распределение давления в пласте зависит, как следует из постановки задачи, от пяти определяющих параметров (n=5): r, t, p_k, k/(2ηm₀), Q_атp_атη/(πkh).

Если обозначить размерность длины через L, размерность времени Т, размерность давления [p], то размерности этих параметров выразятся следующим образом:

 

[r]=L, [t]=T, [p_k]=[p], [k/(2ηm₀)]=L²/[p]T, [Q_атp_атη/(πkh).]= [p]².