Синтез химико- технологической системы

система уравнений принимает вид

    
 
 
 
 
 
 

    
 
 
 
 
 
 

     Раскрывая скобки и перенося направо слагаемые, не содержащие неизвестных коэффициентов bJ, j=0,…,k, получим систему линейных алгебраических уравнений

    
 

    
 
 

    
 
 
 
 
 
 

     Таким образом, задача оценки неизвестных  коэффициентов уравнения линейной регрессии сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов bi,,i=0,1,...,k что легко выполнить, например, численными методами на ЭВМ.

1.4 Описание метода Брандона

 

     Статистические  модели создают на основании имеющихся экспериментальных данных, снятых на действующем объекте. Задачу формулируют следующим образом: по данной выборке объемом n (т.е. по заданному числу опытов) построить модель и оценить адекватность ее реальному объекту.

     В общем случае современный технологический процесс представляется в виде многомерного объекта. На объект действуют вектор входных параметров Х, составляющие которого {х₁,х₂,…,х_l}, и вектор управления Z, составляющие которого {z_1,z_2,…z_k}. Выходные параметры {y₁,y₂,…,y_p} составляют вектор выходных параметров Y. Общий вид статистической модели многомерного технологического объекта можно записать в виде системы алгебраических уравнений или в векторной форме:

y_{1 =} F₁{x₁,x₂,…x_m}

y_{2 =} F₂{x₁,x₂,…x_m}

……………………

y_{p =} F_p{x₁,x₂,…x_m}

Y=F(X), где X,Y – векторы входных и выходных параметров объекта. 

     В данной курсовой работе для построения модели многомерного технологического объекта используется метод Брандона.

    Сущность метода заключается в следующем. Предполагается, что функция F₁{x_1,x₂,…,x_m} в предыдущей системе является произведением функций от входных параметров, то есть

ŷ = yf₁(x₁)f₂(x₂)…f_m(x_m)

или в  более удобной форме:

ŷ = yПf_k(x_k)

где ŷ  – расчетное значение i-го выходного  параметра; y = Σ(y_0i/n) – средняя величина экспериментальных значений i-го выходного параметра; n – количество опытов в исходной выборке.

     При использовании метода Брандона большое  значение имеет порядок следования функций в уравнении. Чем больше влияние оказывает фактор на выходной параметр, тем меньшим должен быть его порядковый номер в указанном уравнении.

     Оценить степень влияния к-го фактора  на выходной параметр можно по величине частного коэффициента множественной  корреляции:

где rxy/x₁,x₂,…,x_m  - величина частного коэффициента корреляции, учитывающая влияние К-го фактора на выходной параметр у при условии, что влияние всех прочих факторов исключено; D – определитель матрицы, построенной из парных коэффициентов корреляции.

Матрица имеет вид:

 , k=1,2,3.

D_m+1,m+1 – определитель матрицы с вычеркнутыми m+1-ой строкой и m+1-м столбцом;

D_m+1,k – определитель матрицы с вычеркнутыми m+1-ой строкой и k-м столбцом;

D_k,k – определитель матрицы с вычеркнутыми k-ой строкой и k-м столбцом;

 r_xy – парные коэффициенты корреляции определяемые по формуле:

 

     Коэффициенты  корреляции по абсолютной величине не превышает единицы. (-1 ≤ r_xy ≤ 1).

     Чем ближе абсолютное значение коэффициента | r_xy | к единице, тем сильнее линейная связь между величинами. Следует отметить, что коэффициент корреляции одинаково отмечает долю случайности и криволинейность связи между х и у. Зависимость х и у может быть близкой к функциональной, но существенно не линейной; коэффициент корреляции при этом будет значительно меньше единицы.

     Объективное определение тесноты связи может быть проведено в результате совместного анализа качественной и количественной оценок.

    Порядок расположения влияющих факторов  определяют в соответствии с убыванием величины частных коэффициентов корреляции. Следует иметь в виду, что коэффициент корреляции – чисто статистический показатель и не содержит предположения, что изучаемые величины находятся в причинно-следственной связи.

    Прежде чем определять вид первой зависимости, следует представить исходные экспериментальные значения выходного параметра в каждом опыте  y_эj в безразмерной форме y_э0j

 
где у – средняя величина выходного  параметра.

     Таким образом, исходными данными для  поиска первой зависимости будут  нормированные значения вектора  выходных параметров ỹ₀ и опытные значения первого влияющего фактора. Выбрав зависимость ỹ = f₁(x₁)  с помощью метода наименьших квадратов, определяют остаточный показатель Yэ для каждого наблюдения.

    Предполагая, что у_э1  не зависит от х₁, а зависит от х_2,…_,х_m, выбирают зависимость от второго фактора. Получив расчетную зависимость      находят остаточный показатель у_э2 для каждого наблюдения:

  Выполнив аналогичные действия для каждого К-го влияющего фактора получают регрессионную зависимость для рассмотренного выходного параметра. Порядок расположения факторов для этой зависимости определен на этапе ранжирования и отличается от порядка в общем уравнении.

     Для оценки точности аппроксимации найденной  функции вычисляют корреляционное отношение:

и среднюю  относительную ошибку:

    Совокупность зависимостей по каждому выходному параметру представляет собой статистическую модель, многомерно технологического объекта.

1.5 Реактор идеального вытеснения

 

     Модель  идеального вытеснения предполагает, что в реакторе реализуется так  называемый поршневой режим движения потока, все частицы двигаются в одном заданном направлении, в реакторе отсутствует осевое перемешивание, но разрешено радиальное, в связи, с чем значения всех параметров технологического процесса изменяются плавно от начального до конечного состояния.

     Время пребывания всех частиц в аппаратах  идеального вытеснения одинаково, т.е. временной характеристикой реакторов  идеального вытеснения служит уравнение:

,

 где τ^’ – время пребывания в реакторе любого элементарного объема; τ – среднее время пребывания; V_c – расход смеси; υ – объем реактора.

     Математическая  модель – это система уравнений, которая устанавливает связь  входных и выходных параметров реактора.  

aA + bB →  cC

v=K*C_A^a*C_B^b

 

     _{В нашем случае скорость реакции в реакторе описывается уравнением:}

     Для определения скорости реакции по каждому веществу для многоступенчатых химических реакций составляется стехиометрическая матрица размером m на n, где m – число стадий, n – число компонентов.

     Элементы  матрицы соответствуют стехиометрическим  коэффициентам, причем коэффициент  будет отрицательным, если вещество расходуется и положительным, если вещество образуется. 

     Скорость  по i-му компоненту будет представлять собой сумму компонентов i – го столбца.

     v_A= -2w_I

      v_B= -w_I

                                                            v_C= 2w_I

      v_D= w_II 

Математическое описание: 

 

_{К этой системе необходимо добавить уравнение  теплового баланса:}

,

 где  λ₁=q/C_p – коэффициенты адиабатического разогрева.

     Модель  вытеснения можно применять для  технических реагентов при проектировании жидкофазных трубчатых реакторов с большим отношением, длины трубы к его диаметру. Такие реакторы широко применяются в производствах органических веществ. К режиму вытеснения относят по газовой фазе полочные контактные аппараты с фильтрующими слоями катализатора, шахтные печи и конверторы.

     Значительная  часть применяемых в промышленности насадочных башен для взаимодействия газов с жидкостями работает при  небольших скоростях газового потока и малых плотностях орошения.

1.6 Синтез оптимальных систем теплообмена

 

     В наиболее традиционной постановке задача синтеза тепловых систем (ТС) формулируется следующим образом: имеются m горячих и n холодных технологических потоков, которые называют основными технологическими потоками. Для каждого из этих потоков заданы начальные температуры и ,  конечные температуры , и значения водяных эквивалентов (произведение расхода на удельную теплоемкость) , . Здесь . Индексы "г" и "х" относят соответствующую величину к горячему и холодному потокам.

     Необходимо  определить структуру технологических  связей между теплообменными аппаратами заданного типа, а также же площади  поверхностей теплообмена каждого  аппарата, которые обеспечивали бы заданные начальные и конечные температуры основных технологических потоков при минимально возможном значении приведенных технологических затрат 3пр, связанных с эксплуатацией синтезируемой ТС.

     Для решения задачи синтезируемую ТС разделяют на две подсистемы: внутреннюю (рекуперативную), где в теплообмене участвуют только основные технологические потоки; и внешнюю, где при теплообмене используется вспомогательные теплоносители (вспомогательные технологические потоки) и вспомогательные теплообменники, осуществляющие теплообмен между основными и вспомогательными технологическими потоками.

      При этом внешняя подсистема используется только тогда, когда во внутренней подсистеме не удается получить заданные конечные температуры.

      Приведенные технологические затраты, связанные с эксплуатацией синтезируемой ТС, могут быть выражены следующим образом: 

 

- затраты на рекуперативные  теплообменники, руб;

- затраты на вспомогательные теплообменники, руб;

- затраты на вспомогательные  теплоносители, руб;

- нормативный коэффициент эффективности  ( = 0,12).

     Если  во внутренней подсистеме используются К1 теплообменных аппаратов, а во внешней – , то: