Контрольная работа по "Тепломассообмену"

Таким образом выражения  для чисел Био будут иметь  вид:

 

 

 

После подстановки численных  значений получим:

 

 

 

2) Рассчитаем промежутки времени , необходимые для достижения температуры в центре тела.

Параллелепипед в этом случае рассматривают как пересечение  трёх бесконечно длинных пластин. Его температура равна произведению температур бесконечных тел, которые его образуют:

 

а) Рассмотрим первый случай, когда .

Безразмерная температура  для бесконечной пластины определяется согласно выражению:

 

где - число Фурье, и - табличные значения.

Как уже было отмечено, рассматриваемое тело состоит из трех бесконечных пластин. Найдем для каждой из них безразмерную температуру :

 

 

 

В приведенных зависимостях величины , и представляют собой и соответственно, поскольку температуру находим в центре тела.

Тогда безразмерная температура  для тела определится как:

 

Выпишем из таблиц значения и :

Таблица 3.1

	1,033	1,03	1,022
	0,196	0,177	0,125

 

Подставим численные значения в формулу для определения :

 

Однако в то же время  температура  может быть определена как:

 

Подставим значение в уравнение и решим его относительно времени . В итоге расчета имеем, что:

 

Таким образом, для достижении температуры в центре тела при заданных условиях необходимо затратить время

б) Рассмотрим второй случай, когда  .

Для данного случая будут  справедливы все выше записанные выражения, и время будет также определяться по формуле .

Отличие его, однако, состоит  в том, что изменится величина безразмерной температуры . Определим ее значение:

 

Подставим значение в уравнение и решим его относительно времени . В итоге:

 

в) Рассмотрим третий случай, когда  .

Определим значение безразмерной температуры :

 

Подставим значение в уравнение и решим его относительно времени . В итоге имеем, что:

 

 

3) Рассчитаем распределение  температуры на продольной и  поперечной осях параллелепипеда  в моменты времени  и построим соответствующие графики.

Температуры непосредственно  на осях параллелепипеда были рассчитаны в предыдущем задании. Однако, для того, чтобы построить график распределения температуры необходимо знать еще на поверхности тела.

а) Рассмотрим изначально распределение  температуры на продольной оси .

Введем понятие безразмерных координат , и :

 

 

 

Приведённая температура  поверхности тела на грани определяется как:

 

Выражения для расчета  температур и были определены в предыдущей задаче и имеют вид:

 

 

Для определения температуры  будем использовать формулу:

 

Или учитывая, что , то:

 

В представленных зависимостях, и представляют собой и соответственно.

 

 

Выпишем значение из таблицы, учитывая, что число :

 

Подставляя численные  значения необходимых величин в выше приведенные уравнения определим , и в момент времени :

 

 

 

Приведённую температуру  поверхности тела на грани  в момент времени определим как произведение полученных величин:

 

Аналогичным образом рассчитаем температуру  на грани в моменты времени и .

Для момента времени  запишем:

 

 

 

 

 

Для момента времени  запишем:

 

 

 

 

 

По рассчитанным значениям  построим график распределения температуры на продольной оси в моменты времени .

На графике представлены зависимости и Для иллюстрации изменения градиента температуры во времени, ко всем кривым были построены касательные в одной точке При измерении углов касательных к кривым было определено, что . Таким образом разница между температурой на оси и на поверхности параллелепипеда с течением времени уменьшается.

б) Рассмотрим второй случай: распределение температуры на поперечной оси .

Будем также как в предыдущем случае пользоваться понятием безразмерных координат , и .

Приведённая температура  поверхности тела на грани  может быть определена зависимостью:

 

 

 

Выражения для расчета  температур и были найдены в предыдущей задаче и имеют вид:

 

 

Для определения температуры  будем использовать формулу:

 

Или учитывая, что , то:

 

В представленных зависимостях, и представляют собой и соответственно.

Выпишем значение из таблицы, учитывая, что число :

 

Подставляя численные  значения необходимых величин в  выше приведенные уравнения определим , и в момент времени :

 

 

 

Приведённую температуру  поверхности тела на грани  в момент времени определим как произведение полученных величин:

 

Аналогичным образом рассчитаем температуру  на грани в моменты времени и .

 

 

 

Для момента времени  запишем:

 

 

 

 

Для момента времени  запишем:

 

 

 

 

По рассчитанным значениям  построим график распределения температуры на поперечной оси в моменты времени .

Сравнивая зависимости  с ранее полученными , можно заключить, что вдоль оси изменение температуры происходит с более высокой интенсивностью. Это обуславливается тем, что точки находящиеся на боковой грани более удалены от центра тела с максимальной температурой, нежели чем точки находящиеся на грани .

 

 

4) Рассчитаем изменение  температуры в одной из вершин  параллелепипеда с течением времени.

Как уже было отмечено, параллелепипед образован пересечением трех бесконечных пластин. Очевидно, что его вершина будет находиться на пересечении всех трех пластин. Тогда формула для определения температуры вершины запишется в виде:

 

Множители этого произведения и могут быть определены выражениями:

 

 

 

Значения температур и в моменты времени были определены в предыдущих заданиях.

Выпишем из таблицы значение , учитывая, что .

 

Определим значение температуры  в момент времени и выпишем найденные ранее и :

 

 

 

Температура вершины  в момент времени определится произведением полученных величин:

 

 

Аналогичным образом рассчитаем температуру вершины  в моменты времени и .

Для момента времени  запишем:

 

 

 

 

Для момента времени  запишем:

 

 

 

 

 

Выберем еще два промежутка времени  и для того чтобы оценить поведение зависимости вплоть до полного остывания тела, когда При расчетах будем использовать формулы

Для момента времени  запишем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для момента времени  запишем:

 

 

 

 

 

По рассчитанным значениям  построим график зависимости температуры в вершине параллелепипеда от времени . При построении, в начальный момент времени будем считать, что

 

Очевидно, что в начале охлаждения до времени процесс является неустановившимся и зависимость имеет экспоненциальный убывающий характер. По истечении этого времени процесс переходит в стационарный режим и кривая приобретает линейный характер.

 

 

5) Определим тепло, отданное  телом в процессе охлаждения  за промежутки  времени .

Отданное телом количество теплоты определяется зависимостью:

 

где - количество теплоты переданное за время полного охлаждения; - масса тела; - изобарная теплоемкость тела; - средняя по объему безразмерная температура, определяемая зависимостью:

 

Безразмерные температуры  и определяются выражением:

 

Учитывая, что , то:

 

 

 

Величины , и в выше приведенных зависимостях представляют собой и соответственно.

Определим численные значения и в момент времени :

 

 

 

 

Среднюю по объему безразмерную температуру в момент времени  определим перемножением выше полученных величин:

 

Аналогичным образом определим  среднюю по объему безразмерную температуру в моменты времени и .

Для момента времени  запишем:

 

 

 

 

Для момента времени  запишем:

 

 

 

 

Определим по формуле  тепло, отданное параллелепипедом за промежутки времени подставляя значения , и соответственно:

 

 

 

 

Список использованных источников

1) Сергеев, М.Н. Расчетно-графические задания по курсу "Тепломассообмен" [Текст]: Учебное пособие – Рыбинск: Изд-во РГАТА им. П.А. Соловьева, 2009. – 114 с.

2) Авчухов, В.В. Задачник по процессам тепломассообмена [Текст]/ В.В. Авчухов, Б.Я. Паюсте. – М.: Энергоатомиздат, 1986. –144с.

3) Краснощёков, Е.А. Задачник по теплообмену: – учебное пособие для вузов. – 4-е издание  [Текст]/ Е.А. Краснощёков, Сукомел А.С. – М.: Энергия, 1980, – 288 с.