Сызба геометриясы

Жоспар

Кіріспе

Түзу  сызбасы

Проекциялаушы түзулер

Проекциялаушы түзуден айналдыру тәсілі

Қорытынды

Негізгі түсініктемелер

Қолданылған әдебиеттер тізімі 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Кіріспе

              Сызық – геометриялық ұғым. Сызықтың әзірше мүмкін жағдайлардың бәрін қамтитын анықтамасы жоқ және ол геометрияның әр түрлі саласында түрліше тұрғыдан қарастырылады. 1) Элементар геометрияда түзу сызық, түзуден бөлінген кесінділер, кесінділерден құралған сынық сызық және кейбір қисық сызық қарастырылады. Әрбір сызық арнайы тәсілдермен анықталады (мысалы, шеңбер D центрінен бірдей қашықтықта жатқан барлық нүктелердің жиынтығы арқылы анықталады). Түзу сызық көбіне анықтамасыз қабылданады. Сынық сызық кесінділерді бір-біріне ұштастыру арқылы құрастырылады. Қисық сызықтың ең қарапайым түрі – шеңбер. Беттің кез келген бөлігінің шекаралары, сондай-ақ қозғалыстағы нүктелердің траекториясы да сызық болып есептеледі. 2) Нүктенің траекториясы ретінде қарастырылатын сызықты параметрлік теңдеулер арқылы сипаттауға болады. Мысалы, жазықтықтағы тік бұрышты (х, у) координаттар жүйесінде радиусы R болатын, центрі координаттар басында орналасқан шеңберді x = Rcost, y = Rsіnt теңдеулері арқылы енгізуге болады. Мұндағы t параметрі 0 ≤ t ≤ 2 кесіндісіндегі мәндерді қабылдаса, онда М(х, у) нүктесінің траекториясы шеңбер болады. Жалпы алғанда жазықтықтағы cызық x = ƒ(t), y = ƒ(t) теңдеулерімен, ал үш өлшемді кеңістіктегі cызық x = ƒ(t), y = ƒ(t), z = ƒ(t) түріндегі теңдеулерімен өрнектеледі. Бұл жерде t параметрі сан осінің шектеулі немесе шектеусіз аралығындағы мәндерді қабылдайды. ƒ(t), ƒ(t), ƒ(t) – осы аралықтағы үздіксіз функциялар. 3) Аналитикалық геометрияда жазықтықтағы сызық Ғ(х, у) = 0 теңдеуімен, ал үш өлшемді кеңістіктегі сызық Ғ₁(х, у, z) = 0, Ғ₂(х, у, z) = 0 теңдеулер жүйесімен беріледі. Егер Ғ(х, у) функциясы n=1 дәрежелі көпмүшелік болса, Ғ(х, у) = 0 теңдеуімен анықталатын сызық алгебралық қисық сызық деп аталады. n саны алгебрfks0 қисық сызықтың реті.Түзу – бірінші ретті сызық. Шеңбер, эллипс, гипербола, парабола – екінші ретті сызықтар, олар (х-у)² = 0 теңдеуімен анықталады. Үшінші (Декарт жапырағы, кубтық парабола, жартылай кубтық парабола т.б.) Tөртінші (Бернулли лемнискатасы, Декарт овалдары, кардиоида, т.б.) және одан да жоғары (Лама қисығы, синусоидалық спираль) ретті сызықтардың жиі кездесетін түрлері. Алгебралық қисықтардан өзгеше сызықтар трансцендент сызықтар (тригонометриялық, көрсеткіштік, логарифмдік, гиперболалық функциялардың графиктері, квадратриса, трактриса, т.б.) деп аталады. Сызылу әдісі жағынан біріне-бірі жақын бір топ сызық циклоидалық қисық сызықтар (астроида, гипоциклоидалар, эпициклоидалар, т.б.) деп аталады. Циклоидалық сызықтардың кейбіреулері алгебралық қисық сызықтарға, кейбіреулері трансцендент қисықсызықтарға жатады. Үшінші ретті сызықтардың 76 түрі (И.Ньютон), төртінші ретті сызықтардың 146 түрі (Л.Эйлер) бар. 4) Проективтік геометрияда жазықтықтағы алгебралық сызық біртектес координаталар арқылы Ғ(х1, х2, х3) = 0 теңдеуімен берілуі мүмкін. 5) XIX ғасырдың 80-жылдарында француз математигі К.Жорданның ұсынуы бойынша кез келген шағын аймақтағы байланысқан континуум (мысалы, үшбұрыш, төртбұрыш, куб, т.б.) кесіндінің үздіксіз бейнесі бола алады. Кесіндінің бірмәнді үздіксіз бейнесін қарапайым доға немесе жордан доғасы деп, ал шеңбердің бірмәнді үздіксіз бейнесін қарапайым тұйық сызық деп атайды. Қазіргі топологияда сызық ұғымының 1921 ж. кеңес математигі П.С. Урысон ұсынған анықтамасы қолданылады. Оның айтуы бойынша сызық – өлшемділігі 1-ге тең еркін алынатын континуум. 6) Екінші ретті сызықтарды ежелгі заманның математиктері зерттей отырып, бірқатар жоғары ретті алгебралық қисықтарды және транцендент сызықтарды қарастырды. Алайда сызықтарды зерттеу және оларды кластарға бөлу аналитикалық геометрия қалыптасқаннан кейін ғана басталды. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Түзу  сызбасы

                Түзу өзінің бойында жатқан екі нүктемен анықталатыны белгілі. Демек, түзуді беру үшін оның екі нүктесін беру қажет және сол екі нүкте жеткілікті. Түзудің кешендік сызбасын жасау нүкте кешендік сызбасын жасауға ұқсас болады. (1 сурет) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Түзу  кесіндінің  IАВI көрнекі кескінін салу және оның проекциялар жазықтықтарына П1,П2 тікбұрышты проекциялануы келесі суретте көрсетілген.(2 сурет) 
 
 
 
 
 
 
 

Сонымен, сызбада түзуді кескіндеу үшін, оны  анықтайтын нүктелер проекцияларының  болуы қажет, мысалы 1,2 суреттердегі А және В нүктелерінің проекциялары. Түзудің үш проекциялық сызбасын орындағанда, баяндалған ережелерді қолданады. Үшінші проекция, сызбаның тұрақты түзуін К пайдаланып, немесе түзу нүктелерінің фронталь проекіия жазықтығынан П1 қашықтығының айырымы түрінде анықталады. (3 а,б сурет) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Мұнда түзудің К немесе проекцияның  С3 (немесе D3) орны еркінше алынады(бірақ  проекциялық байланыс ескерілуге тиіс). Жоғары суреттердегі кескінделген түзу сызықтары жалпы жағдай түзулері деп атайды. Олар проекция жазықтықтарының  ешбіріне параллель болмайды. Дербес жағдайдағы түзу проекция жазықтықтарының  біреуіне немесе екеуіне параллель  орналасады. 4 суретте горизонталь  түзу Һ кескінделген. 
 
 
 
 
 
 

Оның  барлық нүктелерінің биіктігі, немесе деңгейі бірдей, сондықтан оның фронталь проекциясы һ1 х осіне параллеь болады, ал бұл – эпюрде оның графикалық белгісі болып табылады. Мұндай түзуді горизонталь деңгейлік сызық немесе горизонталь деп атайды.Фронталь проекция жазықтығына параллель түзу сызықты f – фронталь деңгейлік сызық, немесе фронталь деп атайды. (5 сурет)  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Оның  барлық нүктелері жазықтықтан П1 деңгей қашықтықта орналасқан, сондықтан  оның горизонталь проекциясы f2 xосіне  параллель болады. Профиль проекция жазықтығына параллель түзу сызықтары  р- профиль деңгейлік сызық, немесе профиль түзуі деп атайды. Бұл түзу нүктелерінің абсциссалары бірдей, сондықтан оның горизонталь және фронталь проекциялары бір түзу құрайды.(6 сурет) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Екі проекциялық  сызбада профиль түзуін беру үшін, ең кем дегенде, екі нүктесінің проекциялары берілуге тиіс. Әдетте, екі проекциялық  сызбада деңгейлік сызық проекцияларының  бірі байланыс сызығына перпендикуляр  болады, себебі оның барлық нүктелері, өзі параллель болатын жазықтықтан, бірдей қашықтықта орналасқан, ал екінші проекциясы – байланыс сызықтарына  бұрыш жасай бағытталады және түзудің өзімен беттеседі. Байланыс сызықтары мен осы екінші проекция арасындағы бұрыш түзудің, параллель болмайтын, проекция жазықтығына көлбеулік бұрышын анықтайды. Мысалы, 5,4 суреттерде түзу һ проекция жазықтығына һˆП1=β° көлбеген, ал түзу fˆП2=α° бұрыш жасай көлбеген. Проекция жазықтықтарының бірінде жататын деңгейлік түзулер, нөлдік деңгей түзулер деп аталады және ондай түзудің екінші проекциясы сәйкес координата осьтерінің бірінде жатады. Егер түзу проекция жазықтықтарының біреуіне перпендикуляр болса немесе бір мезгілде екі проекция жазықтығына параллель болса, онда ол проекциялаушы түзу деп аталады.(7 а,б суреттер) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Демек, кешендік сызбада проекциялаушы  түзу проекцияларының бірі нүктеге  айналады, ал басқалары байланыс сызықтарымен үйлеседі және түзудің өзімен  беттеседі. Проекциялаушы түзудің қандай проекция жазықтығына перпендикуляр болатындығына  байланысты, олар:

1. Горизонталь – проекциялаушы - түзулер, яғни горизонталь проекция жазықтығына перпендикуляр түзулер(түзу АВ);
2. Фронталь – проекциялаушы- түзулер, яғни фронталь проекциялар жазықтығына перпендикуляр түзулер(CD).
3. Профиль- проекциялаушы – түзулер, яғни профиль – проекциялар жазықтығына перпендикуляр түзулер (EF) деп аталады.

Проекциялаушы түзулерді деңгейлік түзулердің жеке жағдайы деп қарастыруға  болады. Деңгейлік және проекциялаушы  түзулер проекцияларындағы орналасу ерекшеліктері курстағы түрлі есептерді шығарғанда кеңінен қолданылады.  
 
 
 

                             Проекциялаушы түзулер

 

А - профильді проекциялаушы түзу

Б –  фронтальді проекциялаушы түзу

В- горизонтальді  проекциялаушы түзу 
 

 

       

 
 
 
 
 

Түзу  сызық – геометрияның негізгі ұғымдарының бірі. Геометрияның жүйелі түсіндірмелерінде түзу сызық әдетте тек қана геометрияның аксиомаларымен жанама түрде анықталған бастапқы ұғымдардың бірі деп есептеледі. Егер геометрияны құрудың негізі болып кеңістіктегі нүктелердің ара қашықтығы алынса, онда түзу сызықты екі нүктенің арасындағы ең қысқа сызық ретінде анықтауға болады. Түзу сызық – декарттық координаттар жүйесіндегі 1-ретті алгебралық сызық. Ол жазықтықта 1-дәрежелі теңдеу (сызықтық теңдеу) арқылы беріледі. Түзу сызықтың жалпы теңдеуі Ах+Ву+С=0 түрінде жазылады, мұндағы А, В, С – кез келген тұрақты сан, А мен В бір мезгілде 0-ге тең болмайды. Егер коэффициенттердің біреуі 0-ге тең болса, онда теңдеу толық емес деп аталады. Проекциялаушы түзулер – П1 немесе П2 проекциялар жазықтықтарының біріне перпендикуляр түзулер. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. n (AB)=n(n1,n2) перпендикуляр П2→Ха=Xв; Ya=Yв;

n перпендикуляр Х1,2^IА1,В1I=IАВI

n(n1n2) – горизонталь проекциялаушы түзулер 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. m(AB)↔m(m1,m2)→Xa=Xв; ZA=ZB; m2 перпендикуляр Х1,2

        IАВI=IA2B2I;

        m (m1,m) – фронталь проекциялаушы түзу 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Проекциялаушы түзуден айналдыру  тәсілі

              Бұл тәсіл жазық-параллель жылжыту тәсілінің дербес жағдайы болады. Шынында да, егер жазық-параллель жылжыту тәсілінде фигураның нүктесі қайсы бір жазық, проекциялар жазықтығына параллель қисықты сызса, ал мұнда нүкте шеңбер доғасын сызады және оның жазықтығы тағы да проекциялар жазықтығына параллель болады. Сондықтан бұл тәсілдерде сәйкес нүктелердің графикалық және аналитикалық алгоритмдерін жасаудың, жекелеген ерекшеліктерін ескермегенде, тұтастай алғанда айырмашылығы жоқ. Мысалы, проекциялаушы түзуден айналдыру түрлерінідіруінің формулалары төменде келтірілген (5) және (6) түрінде болады.

 

      Енді бұл формуладағы с, d және k,l, сәйкес фронталь проекциялаушы айналу осі j мен горизонталь проекциялаушы айналу осу i өзгеше проекцияларының координаталарының, ал u,y сәйкес j және I осьтерінен айналдырылғандағы бұрылу бұрыштарын анықтайды. Проекциялаушы түзуден айналдыру тәсілінде сәйкес нүктелерді салудың графикалық алгоритмінің ерекшелігі сонда, мұнда қозғалыстағы нүкте траекториясының екі проекциясы да көрсетіледі, ал жазық- параллель жылжыту тәсілінде сызбада қозғалыстағы нүкте проекциясының тек бір проекциясы салынады. Сонымен, проекциялаушы түзуден айналдыру тәсілі жазық параллель жылжыту қасиеттерінің бәріне де ие болады және көп жағдайда есеп шығару үшін қолайлырақ. Мысал, М нүктесін Ф(а II в) жазықтығы мен беттестіру үшін, оны фронталь проекциялаушы j түзуінен қандай бұрышқа бұру қажеттігін анықтаймыз: (1 сурет)  
 
 
 
 
 
 

М нүктесі j осінен айналғанда, центрі О=j      болатын, шеңбер m  сызады, мұндағы  – шеңбер   жазықтығы. Ф және Е жазықтықтары  фронталь f бойынша  қиылысады. Фронталь f және шеңбер m бір  жазықтықта Е-да жатқандықтан, олар екі нүктеде М̅,М̅̅  қиылысады. Демек, егер үлкен М нүктесі М̅,М̅̅  нүктелерімен беттессе, онда ол Ф жазықтығымен де беттеседі екен, яғни М нүктесін ОМ және ОМ̅ түзулері жасайтын     бұрышына немесе ОМ және ОМ̅̅ түзулері  жасайтын  v бұрышына бұру қажет. Егер, шеңбер mf түзуіне жанасса, онда М̅,М̅̅ нүктелері беттеседі және есептің бір ғана шешуі болады. Егер, m және f түзуінің нақты қиылысу нүктелерң болмаса, онда есептің шешуі болмайды, дәлірек айтқанда есептің екі жорамал шешуін аламыз.