Статистическая обработка результатов измерений

          (6)

    где знаком Р обозначена вероятность попадания результата в интервал, записанный в фигурных скобках.

    Наглядное представление о смысле интегральной функции распределения может  быть получено если рассматривать числовую ось, на которой отложены значения аргумента  х. Интегральная функция распределения численно равна вероятности того, что случайная точка X_i , в результате i-го измерения займет положение левее точки х'.

    При таком определении функция распределения F(x) не может уменьшаться, т. е. F(x) является функцией возрастающей. При движении точки х' влево по числовой оси очевидно, что искомая вероятность будет стремиться к нулю, а при движении х' вправо функция F(x) стремится к единице. Это практически означает, что любой результат измерения попадет в какое-либо значение на числовой оси. Вероятность попадания в бесконечно малое значение х' равно нулю.

    Интегральная  функция распределения имеет  еще одно свойство - непрерывность. Оно выражает тот факт, что результат наблюдения может принять любое до опыта выбранное значение только с нулевой вероятностью.

    На  самом деле в реальных измерениях это не совсем так. Особенно понятно  это с позиций современной  квантовой теории. Квантовый (дискретный) характер изменения измеряемой величины, конечная разрешающая способность любого средства измерения, приводят к тому, что область значений измеряемой величины разбивается на ряд участков, в пределах которых данная величина постоянна или неразличима для наблюдателя. Поэтому интегральная функция распределения реально изменяется скачками на некоторое значение при переходе от одного участка числовой оси к другой.

    Мы  будем рассматривать случай, когда  ширина полос или участков постоянства  функции F(x) ничтожно мала и не влияет на анализ погрешностей. Итак, интегральная функция распределения вероятности получения определенного результата при измерении является непрерывной неубывающей функцией, стремящейся к нулю при х стремящимся к минус бесконечности и к единице при х стремящимся к бесконечности.

    Случайную погрешность δ будем рассматривать  как случайную величину, принимающую  в различных опытах различные  значения δ_i. Ее интегральную функцию будем рассматривать, поместив начало координат в точку х = Q, соответствующую истинному значению измеряемой величины, т. е.

           (7)

    Более наглядным является описание свойств  результатов наблюдений и случайных  погрешностей с помощью  дифференциальной функции распределения, называемой плотностью распределения вероятности. Обозначим дифференциальную функцию как P_x(х) или P_δ(δ) в зависимости оттого, где расположено начало координат в изменении аргумента. Обозначение х соответствует произвольному расположению начала координат, обозначение δ соответствует помещению начала координат в точку, соответствующую истинному значению измеряемой величины (x=Q, при этом δ=0).

    Дифференциальная  функция распределения является производной от интегральной функции  по своему аргументу

          (8)

    Систематической постоянной погрешностью называется отклонение математического ожидания результатов  измерения от истинного значения измеряемой величины

                                                    (9)

    Случайной погрешностью называется разность между результатом единичного измерения и математическим ожиданием результата

               (10)

    Истинное  значение равно:

               (11)

    Если  математическое ожидание рассматривать  как абсциссу центра тяжести фигуры, заключенной между кривой распределения и осью Ох, то дисперсия распределения является аналогом момента инерции этой фигуры относительно вертикальной оси, проходящей через центр тяжести. Дисперсия распределения имеет размерность квадрата размерности измеряемой величины. Для удобства сопоставления в качестве определяющего параметра, характеризующего рассеяние, рассматривают арифметический корень из дисперсии, называемый средним квадратическим отклонением результатов наблюдений:

            (12)

    Нормальное  распределение при  ограниченном числе  наблюдений. Распределение  Стьюдента

    Сформулированные  в предыдущем разделе понятия  и написанные формулы относятся  к случаю, когда число измерений  бесконечно велико. На практике мы всегда имеем дело с ограниченным числом измерений, и задача, которая всегда стоит перед оператором, состоит в том, как оценить точность измерений, т. е. найти его меру приближения к истинному значению на основании группы результатов наблюдения. Эта задача есть частный случай статистической задачи нахождения параметров функции распределения, в первую очередь среднего квадратического отклонения, на основе выборки, т. е. ряда значений, принимаемых этой величиной в результате п независимых опытов.

    В результате отдельных измерений мы получаем некоторые строго фиксированные результаты (точки) измеряемой величины. Их значения являются случайными с некоторым распределением, зависящим как от самой величины, так и от числа опытов. При случайном разбросе значений рассеяние (или среднее квадратическое отклонение) в большинстве случаев определяется характером и величиной случайных хаотических воздействий или на средство измерения, или на объект измерения, или на оператора.

    К точечным оценкам теория случайных  погрешностей предъявляет совершенно определенные требования, которые можно сформулировать следующим образом:

1. Оценка должна быть состоятельной, т. е. при увеличении числа опытов она должна приближаться к истинному значению измеряемой величины - должна сходиться по вероятности.
2. Оценка должна быть несмещенной, то есть ее математическое ожидание должно быть равно измеряемой величине.
3. Оценка должна быть эффективной, то есть ее дисперсия должна быть меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра.

    Пусть есть ряд результатов отдельных измерений x₁ ; x₂ ; x₃ ;...... x_n , где

    n - число наблюдений. Математическое  ожидание и дисперсия записываются  как

                  (13)

    За  оценку истинного значения измеряемой величины естественно принять значение среднего арифметического, т. е.:

                                  (14)

    Эта оценка математического ожидания результата измерений может стать оценкой  истинного значения измеряемой величины после исключения систематической  погрешности.

    Поскольку среднее арифметическое вычислено на основании ограниченного ряда измерений, оно само является величиной случайной. Вычислим его математическое ожидание:

        (15)

    Это значит, что среднее арифметическое является несмещенной оценкой истинного значения. Однако несмещенными будут и все другие оценки вида:

           (16)

    если  . Покажем, что из всех определенных так оценок, наименьшую дисперсию имеет среднее арифметическое

         (17)

    В теории погрешности показывается, что  последняя сумма  достигает минимума, если все а одинаковы и равны 1/n. Тогда дисперсия среднего арифметического равна:

          (18)

    т. е. дисперсия среднего арифметического  в n раз меньше дисперсии результата отдельного наблюдения. В терминах среднего квадратического отклонения это имеет вид:

           (19)

    т. е. среднее квадратическое отклонение среднего арифметического в раз меньше среднего квадратического отклонения результата отдельного наблюдения. По мере увеличения числа наблюдений

    Логическим  следствием сказанного является оценка истинного значения измеряемой величины по результатам отклонения от среднего арифметического:

          (20)

    В качестве точечной оценки дисперсии  случайной погрешности естественно  выбрать величину

          (21)

    Эта оценка состоятельна и эффективна, но немного смещена, поскольку ее математическое ожидание составляет

                                (22)

    Точечную  оценку среднего квадратического отклонения результата отдельного измерения принято определять как

          (23)

    Эта оценка есть тоже случайная величина, т. е. при повторении серии из п измерений мы получим несколько иное S\ значение оценки среднего квадратического отклонения. Поскольку среднее арифметическое значение имеет дисперсию в 1/n раз меньшую, чем результат для отдельного измерения, точечная оценка дисперсии (среднего квадратического отклонения) для среднего арифметического имеет вид:

         (24)

    где S_x² - среднее квадратическое отклонение для результата отдельного измерения.

    Общий итог введения понятий для нормального распределения вероятности для ограниченного числа измерений можно записать в виде

           (25)

    где Q - истинное значение измеряемой величины, равное математическому ожиданию Q=m_F; - среднее арифметическое значение результатов серии независимых измерений; - среднее квадратическое отклонение среднего арифметического при повторении серии измерений.

    При увеличении числа измерений доверительный  интервал сокращается в  раз. Этот очень важный вывод теории погрешностей позволяет с любой наперед заданной вероятностью в принципе сколь угодно близко подойти к истинному значению измеряемой величины, увеличивая число независимых измерений. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание на курсовую работу 

 «Статистическая  обработка результатов измерений» 

Таблица. Данные для статистической обработки ряда из n измерений