Проведение множественного корреляционно-регрессионного анализа

 

     Анализ  матрицы коэффициентов парной корреляции показывает, что  существенное влияние  на зависимую переменную оказывают все факторы. Для исключения явления мультиколлинеарности все факторы кроме X₂ и X₅ следует исключить из модели.

1.4. Регрессионные модели и способы их расчета.

     Пусть в результате измерений в процессе опыта получена таблица некоторой зависимости f(x):

 

     Нужно найти формулу, выражающую эту зависимость  аналитически.

     Поставим  задачу так, чтобы с самого начала учитывался характер исходной функции. Найти функцию заданного вида , которая в узловых точках принимает как можно более близкие значения к значениям из таблицы

     Практически вид приближающей функции F устанавливают следующим образом: по таблице строится точечный график функции  f, а затем проводится плавная кривая, по возможности наилучшим образом отражающая характер расположения точек:

      .   (2)

     Метод построения приближающих функции F(x) из условия минимума величины Q называется методом наименьших квадратов.

     В качестве приближающих функций в  зависимости от характера точечного  графика функции f часто используют следующие функции: 

 

     Здесь – параметры. Когда вид приближающей функции (1-8) установлен, задача сводится только к отысканию параметров.

     Рассмотрим  метод их нахождения в общем виде на примере F с тремя параметрами:

     Пусть  (3), где - постоянные, - независимая переменная, тогда значения и из выражения (2) примет вид

      =   (4)

     и является функцией трех переменных (параметров a, b, c). Задача сводится к отысканию ее минимума.

     Используем  необходимое условие экстремума частная производная функции должна быть равна нулю: , т. е. получаем систему из следующих уравнений

       (5)

     Решив эту систему трех уравнений с  тремя неизвестными относительно параметров a, b, c, мы и получим конкретный вид искомой функции F(x, a, b, c).

     Изменение количества параметров не изменит самого подхода, а приведет лишь к изменению количества уравнений в системе (5).

     Построив  функцию F(x), находят сумму квадратов отклонений Q. Из двух различных приближений выбирают то, для которого эта сумма минимальна. Обычно при обработке экспериментальных данных, определенных с погрешностью e, согласуют погрешность e с погрешностью МНК, т. е. . Это дает оптимальный результат.

     1.4.1. Линейная функция (линейная регрессия).

     Пусть приближающая функция имеет вид: F(x, a, c)=ax+b

     Тогда частные производные:

Составим  систему вида (3): (1)    (2)

     Разделим  каждое уравнение системы (2) на n и приведем ее к следующему виду:  .

     Обозначим:  (3)

     Тогда система имеет вид: (4)

     Коэффициенты  этой системы – числа, которые  легко вычисляются в каждой конкретной задаче по формулам (3) через значения и из исходной таблицы.

     Решив последнюю систему (4), получаем конкретный вид линейной функции y=ax+b.

     1.4.2. Квадратная регрессия (параболическая функция).

     В этом случае приближенная функция имеет  вид:

      .

     Частная производная  .

     Составим  систему вида: .

     Приведем  подобные слагаемые аналогично методу получения методу линии регрессии и обозначим

     тогда система примет вид:

     

     Решение последней системы дает значения параметров a, b, c для приближенной функции в виде параболы. 

     1.4.3. Степенная функция (геометрическая регрессия).

     Уравнение линии степенной функции иногда еще называют геометрической регрессией. Покажем, что нахождение приближенных функций с двумя параметрами F(x, a, b) в виде элементарных функций может быть сведено к нахождению параметров линейной функции.

     Будем искать функцию в виде: (1)

     Предположим, что любые  > 0 и > 0.

     Прологарифмируем (1):

                                                

                                                          (2).

     Т. к. – приближающая функция для f, то – приближающая для

     Введем  новую переменную и обозначим (*)

     Тогда - функция от

     Тогда (2) примет вид:   (3),

     т. е. задача свелась к отысканию  приближающей функции в виде линейной.

     Практически при нахождении приближающей степенной функции необходимо выполнить следующие действия:

• По исходной таблице составить новую, прологарифмировав значения х и у.
• По новой таблице найти параметры А и В для линейной функции вида (3).
• Используя введенные обозначения (*), найти а и m и подставить в выражение (1).

     1.4.4. Показательная функция.

     Пусть приближающая функция имеет вид: .

     Прологарифмируем  это равенство:

                                                                  

                                                                 .

     Обозначения те же: .

     Т. о. алгоритм построения приближающей функции  следующий:

• Прологарифмировать значения функции у в исходной таблице.
• Для новой таблицы с исходными значениями и новыми найти параметры А и В.
• Используя введенное обозначение найти а и m, подставить их в формулу показательной функции.

     1.4.5. Дробно – линейная функция.

     Пусть приближающая функция имеет вид: .

     Перепишем равенство следующим образом: . Отсюда следует, что для нахождения параметров а и b необходимо в исходной таблице значения оставить прежние, а значения заменить обратными числами, после чего по полученной таблице найти приближенную функцию ax+b.

     1.4.6. Логарифмическая функция.

     Пусть приближающая функция имеет вид: .

     Для перехода к линейной функции достаточно сделать подстановку: .

     Практически:

• в исходной таблице логарифмируем значения ;
• по новым значениям аргумента и исходным значениям находятся параметры а и b, которые подставляют в новое равенство.

 

     1.4.7. Гипербола.

     Если  точечный график, построенный по исходной таблице, дает ветвь гиперболы, то приближающую функцию можно искать в виде: .

     Выполнив  подстановку  , получим: .

     Практический  алгоритм:

• в исходной таблице значения аргумента следует заменить обратными числами и найти для новой таблицы приближающую функцию в виде линейной;
• полученные параметры а и b подставить в исходную формулу.

     1.4.8. Дробно-рациональная функция.

     Пусть приближающая функция будет иметь  вид: .

     Имеем: .

     Алгоритм  вычисления:

• в исходной таблице значения х и у заменяем обратными величинами: и ;
• по новой таблице строим функцию вида
• найденные значения а и b будут искомыми.

1.5. Проведение регрессионного анализа средствами MS Excel.

     1.5.1. Расчет параметров  линейной регрессии с использованием функции ЛИНЕЙН.

     Для линейной аппроксимации в Excel существует функция ЛИНЕЙН(изв. зн. Y, изв. зн. X, константа, статистика) она возвращает массив значений описывающих кривую вида:

     

     где изв. зн. Y – это известные значения функции

     изв. зн. X – это известные значения аргументов

     константа – определяет чему должно равняться b, если константа имеет значение ЛОЖЬ то b полагается равным 1, иначе b вычисляется обычным образом.

     статистика – если значение равно ИСТИНА то будет представлена дополнительная регрессионная статистика, если ЛОЖЬ то нет. 

     Для получения линейной регрессионной  зависимости, с выводом всей статистической информации следует выделить диапазон A54:С58, нажать клавишу F2, и ввести формулу =ЛИНЕЙН(P2:P38;N2:O38;1;1), после окончания ввода формулы нажать комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter так как данная функция возвращает массив значений. В результате в данных ячейках будет полная статистическая информация: