Метод цепных подстановок

 

1. Определение. Динамический ряд — ряд однородных величин, характеризующих изменения явления во времени
2. Область применения.
• для характеристики изменений состояния здоровья населения в целом или отдельных его групп, а также деятельности учреждений здравоохранения и изменения их во времени;
• для установления тенденций и закономерностей изменений явлений, углубленного анализа динамического процесса (скоростей, временных характеристик текущего и стратегического планирования;
• для прогнозирования уровней явлений общественного здоровья и здравоохранения
3. Числа (уровни) динамического ряда. Динамические ряды могут быть представлены только однородными величинами: абсолютными, относительными или средними величинами
4. Типы динамических рядов
• Моментный ряд — характеризует изменение значений явления на определенную дату (момент).
• Интервальный ряд — характеризует изменения значений явления за определенный период (интервал времени). Применяется в случае необходимости анализа процесса в различные дробные периоды
5. Приемы для установления тенденций или закономерностей.
• Преобразование ряда — применяется для большей наглядности изменений изучаемых явлений (см. "Относительные величины", показатель наглядности). Одно число ряда принимается за 1, чаще всего за 100 или 1000, и, по отношению к данному числу ряда, рассчитываются остальные.
• Выравнивание ряда — применяется при скачкообразных изменениях (колебаниях) уровней ряда. Цель выравнивания — устранить влияние случайных факторов и выявить тенденцию изменений значений явлений (или признаков), а в дальнейшем установить закономерности этих изменений
6. Способы выравнивания динамического ряда. Способами выравнивания динамического ряда являются: укрупнение периодов, расчет групповой средней, расчет скользящей средней, метод наименьших квадратов
• Укрупнение периодов — применяется, когда явление в интервальном ряду выражено в абсолютных величинах, уровни которых суммируются по более крупным периодам. Применение возможно при кратном числе периодов.
• Вычисление групповой средней — применяется, когда уровни интервального ряда выражены в абсолютных, средних или относительных величинах, которые суммируются, а затем делятся на число слагаемых. Способ применяется при кратном числе периодов.
• Расчет скользящей средней — применяется, когда уровни явлений любого ряда выражены в абсолютных, средних или относительных величинах. Данный метод применяется при наличии некратного числа временных периодов (7, 11, 13, 17, 19) достаточно длинного динамического ряда. Путем вычисления групповой средней значений 3 периодов, а в последующем переходя на определенный уровень и два соседних с ним, осуществляется "скольжение" по периодам. Каждый уровень заменяется на среднюю величину (из данного уровня и двух соседних с ним). Данный метод применяется, когда не требуется особой точности, когда имеется достаточно длинный ряд и можно пренебречь потерей двух значений ряда; в случаях, когда изучается развитие явления под влиянием одного или двух факторов.
• Метод наименьших квадратов применяется для более точной количественной оценки динамики изучаемого явления. Этим способом получаются такие выровненные значения уровней ряда, квадраты отклонений которых от истинных (эмпирических) показателей дают наименьшую сумму.

Наиболее простой и  часто встречающейся в практике является линейная зависимость, описываемая  уравнением:

У_х = а + вХ,     либо     У_{теоретич.} = У_{среднее} + вХ,

 
где У_х — теоретические (расчетные) уровни ряда за каждый период;  
а — среднеарифметический показатель уровня ряда, рассчитывается по формуле:  
а = ΣУ_факт. / n;  
в — параметр прямой, коэффициент, показывающий различие между теоретическими уровнями ряда за смежные периоды, определяется путем расчета по формуле: в = Σ(ХУ_факт)/ ΣХ²  
где n — число уровней динамического ряда;  
X — временные точки, натуральные числа, проставляемые от середины (центра) ряда в оба конца.

При наличии нечетного ряда уровень, занимающий срединное положение, принимается за 0. Например, при 9 уровнях ряда: -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4.

При четном числе уровней ряда две величины, занимающие срединное положение, обозначаются через -1 и +1, а все остальные — через 2 интервала. Например, при 6 уровнях ряда: -5, -3, -1, +1, +3, +5.

Расчеты проводят в следующей  последовательности:

1. Представляют фактические уровни динамического ряда (У_ф) (см. табл.).
2. Суммируют фактические уровни ряда и получают сумму У_факт.
3. Находят условные (теоретические) временные точки ряда X, чтобы их сумма (ΣХ) была равна 0.
4. Возводят теоретические временные точки в квадрат и суммируют их, получая ЕX².
5. Рассчитывают произведение Х на У и суммируют, получая ΣХУ.
6. Рассчитывают параметры прямой:  
   а = ΣУ_факт / n       в = Σ(Х У_факт) / ΣX²
7. Подставляя последовательно в уравнение У_х = а + аУ значения X, находят выровненные уровни У_х.

Показатели  динамического ряда

Для углубленного изучения процессов во времени рассчитывают показатели динамического ряда.

1. Для характеристики скорости изменения процесса применяются такие показатели, как абсолютный прирост (убыль), темп прироста (убыли).
• Абсолютный прирост (убыль) характеризует скорость изменения процесса (абсолютную величину прироста (убыли) в единицу времени). Абсолютный прирост рассчитывается как разность между данным уровнем и предыдущим; обозначается знаком "+", характеризуя прирост, или знаком "—", характеризуя убыль.
• Темп прироста (убыли) характеризует величину прироста (убыли) в относительных показателях в % и определяется как процентное отношение абсолютного прироста (убыли) к предыдущему уровню ряда; обозначается знаком "+" (прирост) или знаком "—" (убыль).
2. Для характеристики изменения процесса одного периода по отношению к предыдущему периоду применяется такой показатель, как темп роста (снижения); рассчитывается как процентное отношение последующего (уровня) к предыдущему.
3. При сравнении динамических рядов с разными исходными уровнями (например, средними, интенсивными, абсолютными) используется показатель — значение 1% прироста (убыли); рассчитывается как отношение абсолютного прироста к темпу прироста за каждый период.
4. Для обобщенной количественной оценки тенденций динамического ряда используется показатель, именуемый средним темпом прироста (снижения), выраженный в %. При его расчете для большинства рядов можно использовать следующую формулу:

где К = 1 при нечетном числе уровней ряда; К = 2 при четном числе уровней ряда;  
а и в — показатели линейной зависимости, используемые при выравнивании ряда методом наименьших квадратов.

 

Задача-эталон

Условие задачи: В Н-ском районе изучена заболеваемость населения ветряной оспой за 10 лет (см. табл.).

Таблица. Заболеваемость населения  Н-ского района ветряной оспой за 10 лет (на 10 000 населения)

Годы	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006
Показатель	3,5	4,9	3,6	5,7	6,5	5,5	8,1	7,2	5,0	7,3

Задание: на основании данного динамического ряда требуется:

1. Обосновать необходимость выравнивания ряда.
2. Выровнять ряд по способу наименьших квадратов.
3. Рассчитать показатели динамического ряда (абсолютный прирост, темп прироста, средний темп прироста, значение 1% прироста).
4. Изобразить ряд графически.
5. Сделать выводы о динамике явления по выровненным уровням.
6. Охарактеризовать скорость изменения заболеваемости.

Решение

Годы	Выравнивание  по способу наименьших квадратов					Показатели динамического  ряда
	Уф факт. уровни	Х времен. точки	X2	XУ	Уx выровнен. уровни	абс. прирост	темп прироста, %	средний темп прироста	среднее значение 1% прироста
1997	3,5	-9	81	-31,5	4,119	—	—	Tпр.сн.= ((вхК)/a) х 100 = ((0,179 х 2 / 5,73) x 100 = 6,24%	+0,358 / 6,24 = +0,057
1998	4,9	-7	49	-34,3	4,477	+0,358	8,69
1999	3,6	-5	25	-18	4,835		7,99
2000	5,7	-3	9	-17	5,193		7,4
2001	6,5	-1	1	-6,5	5,551		6,89
2002	5,5	+1	1	+5,5	5,909		6,44
2003	8,1	+3	9	+24,3	6,267		6,05
2004	7,2	+5	25	+36,0	6,625		5,7
2005	5,0	+7	49	+35	6,983		5,4
2006	7,3	+9	81	+65,7	7,341		5,1
n=10	Σ УФ = 57,3	Σ Х = 0	Σ Х2 = 330	ΣХУ= 59,1	ΣУx = 57,3

Заболеваемость  населения Н-ского района  
ветряной оспой за 10 лет (на 10 000 населения)

а = ΣУ_ф. / n = 57,3 / 10 = 5,73  
УХ ₉₇ = 5,73 + 0,179 х (-9) = 4,119  
в = Σ(Х У_факт) / σ X² = 59,2 / 330 = 0,179  
УХ ₉₇ = 5,73 + 0,179 х (-9) = 4,119  
УХ ₉₈ = 5,73 + 0,179 х (-7) = 4,477  
УХ ₉₉ = 5,73 + 0,179 х (-5) = 4,835

Абсолютный прирост выровненного ряда — 4,477-4,119 = 0,358  
Темп прироста для 1997 г. = (0,358 / 4,119) х 100 = 8,69%  
Темп прироста для 1998 г. = (0,358 / 4,477) х 100 = 7,99%  
Темп прироста для 1999 г. = (0,358 / 4,835) х 100 = 7,4%  
Средний темп прироста = (0,179 х 2 / 5,73) х 100 = 6,24%  
Абсолютный прирост = 4,477 — 4,119 = + 0,358  
Значение 1% прироста = + 0,358 / 6,24 = 0,057%.

Выводы. Заболеваемость населения Н-ского района ветряной оспой за 10 лет неравномерна. Скорость изменений показателей заболеваемости различна, наибольший темп прироста отмечается в 1998 г. При выравнивании показателей динамического ряда отмечается тенденция к увеличению уровней заболеваемости, в среднем на 6,24% ежегодно.

 

Источник

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения  систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного  исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности. 

Алгоритм решения СЛАУ (систем линейных алгебраических уравнений) методом Гаусса подразделяется на два этапа.

• На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.
• На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.
• Лине́йная а́лгебра — важная в приложениях часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. Векторные пространства встречаются в математике и её приложениях повсеместно. Линейная алгебра широко используется в абстрактной алгебре и функциональном анализе и находит многочисленные приложения в естественных науках.

• История

• Исторически первым вопросом линейной алгебры был вопрос о линейных уравнениях. Построение теории систем таких уравнений потребовало  таких инструментов, как теория матриц и определителей, и естественно привело к появлению теории векторных пространств.
• Линейные уравнения, как уравнения прямых и плоскостей, стали естественным предметом изучения после изобретения Декартом и Ферма метода координат (около 1636). Гамильтон в своей работе 1833 представлял комплексные числа в виде, как мы бы сейчас сказали, двумерного вещественного векторного пространства, ему принадлежит открытие кватернионов, а также авторство термина «вектор». Теория матриц была разработана в трудах Кэли (1850-е). Системы линейных уравнений в матрично-векторном виде впервые появились, по-видимому, в работах Лагерра (1867). Грассман в работах 1844 и 1862 года изучает то, что мы теперь назвали бы алгебрами, и его формальное изложение по существу является первой аксиоматической теорией алгебраических систем. В явном виде аксиомы линейного пространства сформулированы в работе Пеано (1888).