Метод цепных подстановок

               Метод цепных подстановок

Метод цепных подстановок  является наиболее универсальным из методов элиминирования. Он используется для расчета влияния факторов во всех типах детерминированных факторных моделей: аддитивные, мультипликативных, кратных и смешанных (комбинированных). Этот способ позволяет определить влияние отдельных факторов на изменение величины результативного показателя путем постепенной замены базисной величины каждого факторного показателя в объеме результативного показателя на фактическую в отчетном периоде. С этой целью определяют ряд условных величин результативного показателя, которые учитывают изменение одного, затем двух, трех и т д. факторов, допуская, что остальные не меняются. Сравнение величины результативного показателя до и после изменения уровня того или другого фактора позволяет элиминироваться от влияния всех факторов, кроме одного, и определить воздействие последнего на прирост результативного показателя.

Степень влияния того или  иного показателя выявляется последовательным вычитанием: из второго расчета вычитается первый, из третьего – второй и т. д. В первом расчете все величины плановые, в последнем – фактические. В случае трехфакторной мультипликативной модели алгоритм расчета следующий:

Y₀ = а₀⋅Ь₀⋅С₀;

Y_усл.1 = а₁⋅Ь₀⋅С₀; У_а = Y_усл.1 – У₀;

Y_усл.2 = а₁⋅Ь₁⋅С₀; Y_Ь = Y_усл.2 – Y_усл.1;

Y_ф = а₁⋅Ь₁⋅С₁; Y_с = Y_ф – Y_усл.2 и т. д.

Алгебраическая сумма  влияния факторов обязательно должна быть равна общему приросту результативного  показателя:

Y_а + Y_ь + Y_с = Y_ф – Y₀.

Отсутствие такого равенства  свидетельствует о допущенных ошибках  в расчетах.

Отсюда вытекает правило, заключающееся в том, что число  расчетов на единицу больше, чем  число показателей расчетной  формулы.

При использовании метода цепных подстановок очень важно  обеспечить строгую последовательность подстановки, т. к. ее произвольное изменение может привести к неправильным результатам. В практике анализа в первую очередь выявляется влияние количественных показателей, а потом – качественных. Так, если требуется определить степень влияния численности работников и производительности труда на размер выпуска промышленной продукции, то прежде устанавливают влияние количественного показателя численности работников, а потом качественного производительности труда. Если выясняется влияние факторов количества и цен на объем реализованной промышленной продукции, то вначале исчисляется влияние количества, а потом влияние оптовых цен. Прежде чем приступить к расчетам, необходимо, во-первых, выявить четкую взаимосвязь между изучаемыми показателями, во-вторых, разграничить количественные и качественные показатели, в-третьих, правильно определить последовательность подстановки в тех случаях, когда имеется несколько количественных и качественных показателей (основных и производных, первичных и вторичных). Таким образом, применение способа цепной подстановки требует знания взаимосвязи факторов, их соподчиненности, умения правильно их классифицировать и систематизировать.

Произвольное  изменение последовательности подстановки меняет количественную весомость  того или иного  показателя. Чем значительнее отклонение фактических  показателей от плановых, тем больше и различий в оценке факторов, исчисленных при  разной последовательности подстановки.

Метод цепной подстановки  обладает существенным недостатком, суть которого сводится к возникновению  неразложимого остатка, который присоединяется к числовому значению влияния последнего фактора. Этим объясняется  разница в расчетах при изменении  последовательности подстановки. Отмеченный недостаток устраняется  при использовании  в аналитических  расчетах более сложного интегрального метода.

 

 

После построения факторной  модели необходимо определить способ оценки влияния факторов. Большинство  способов измерения влияния факторов в детерминированных моделях  основано на элиминировании. Элиминировать  – значит устранить, исключить воздействие  всех факторов на величину результативного  показателя, кроме одного, исходя из того, что все факторы изменяются независимо друг от друга, т. е. сначала изменяется один фактор, а все остальные остаются без изменения, потом изменяются два при неизменности остальных и т. д.

Способ цепных подстановок  заключается в определении ряда промежуточных значений обобщающего  показателя путем последовательной замены базисных значений факторов на отчетные.

В общем виде применение способа цепных постановок можно  описать следующим образом:

Y₀ = а₀⋅Ь₀⋅С₀; Y_усл.1 = а₁⋅Ь₀⋅С₀; У_а = Y_усл.1– У₀;

Y_усл.2 = а₁⋅Ь₁⋅С₀; Y_Ь = Y_усл.2 – Y_усл.1; Y_ф = а₁⋅Ь₁⋅С₁

где а₀,Ь₀,С₀ – базисные значения факторов, оказывающих влияние на обобщающий показатель Y; а₁,Ь₁,С₁ – фактические значения факторов; Y_усл.1, Y_усл.2 – промежуточные значения результирующего показателя, связанные с изменением факторов а, b соответственно.

Общее изменение складывается из суммы изменений результирующего  показателя за счет изменения каждого  фактора при фиксированных значениях  остальных факторов:

Y_а + Y_ь + Y_с = Y_ф – Y₀.

Способ абсолютных разниц является модификацией способа цепной подстановки. Изменение результативного показателя за счет каждого фактора способом абсолютных разниц определяется как произведение отклонения изучаемого фактора на базисное или отчетное значение другого фактора в зависимости от выбранной последовательности подстановки:

Y_а = ∆_а⋅Ь₀⋅С₀; Y_ь = а₁⋅ ∆_Ь⋅ С₀; Y_с = а₁ ⋅Ь₁⋅∆с;

Y_а + Y_ь + Y_с = Y_ф – Y₀.

Способ относительных  разниц применяется для измерения влияния факторов на прирост результативного показателя в мультипликативных и смешанных моделях вида

Y = (а – Ь) – с.

Заключается в нахождении относительного отклонения каждого  факторного показателя и определении  направления и размера влияния  факторов в % путем последовательного  вычитания (из первого – всегда 100 %).

Способ сокращенных подстановок  – показатели для расчета представляют собой промежуточные произведения с последовательным накоплением  влияющих факторов 3, 3Ь, 3 Ьс. Производятся подстановки, а затем путем последовательного вычитания находятся размеры влияния факторов.

Интегральный метод позволяет  достигнуть полного разложения результативного  показателя по факторам и носит универсальный  характер, т. е. применим к мультипликативным, кратным и смешанным моделям. Изменение результативного показателя измеряется на бесконечно малых отрезках времени, т. е. производится суммирование приращения результата, определяемого как частные произведения, умноженные на приращения факторов на бесконечно малых промежутках.

В специальной литературе имеются сформированные рабочие  формулы для применения интегрального  метода:

Симплекс-метод является основным в линейном программировании. Решение задачи начинается с рассмотрений одной из вершин многогранника условий. Если исследуемая вершина не соответствует максимуму (минимуму), то переходят к соседней, увеличивая значение функции цели при решении задачи на максимум и уменьшая при решении задачи на минимум. Таким образом, переход от одной вершины к другой улучшает значение функции цели. Так как число вершин многогранника ограничено, то за конечное число шагов гарантируется нахождение оптимального значения или установление того факта, что задача неразрешима.

Этот метод является универсальным, применимым к любой задаче линейного  программирования в канонической форме. Система ограничений здесь - система линейных уравнений, в которой количество неизвестных больше количества уравнений. Если ранг системы равен r, то мы можем выбрать r неизвестных, которые выразим через остальные неизвестные. Для определенности предположим, что выбраны первые, идущие подряд, неизвестные X₁, X₂, ..., X_r. Тогда наша система уравнений может быть записана как

К такому виду можно привести любую совместную систему, например, методом Гаусса. Правда, не всегда можно выражать через остальные первые r неизвестных (мы это сделали для определенности записи). Однако такие r неизвестных обязательно найдутся. Эти неизвестные (переменные) называются базисными, остальные свободными.

Придавая определенные значения свободным переменным и вычисляя значения базисных (выраженных через свободные), мы будем получать различные решения нашей системы ограничений. Таким образом, можно получить любое ее решение. Нас будут интересовать особые решения, получаемые в случае, когда свободные переменные равны нулю. Такие решения называются базисными, их столько же, сколько различных базисных видов у данной системы ограничений. Базисное решение называется допустимым базисным решением или опорным решением, если в нем значения переменных неотрицательны. Если в качестве базисных взяты переменные X₁, X₂, ..., X_r, то решение {b₁, b₂,..., b_r, 0, ..., 0} будет опорным при условии, что b₁, b₂,..., b_r ≥ 0.

Симплекс-метод основан  на теореме, которая называется фундаментальной  теоремой симплекс-метода. Среди оптимальных  планов задачи линейного программирования в канонической форме обязательно  есть опорное решение ее системы  ограничений. Если оптимальный план задачи единственен, то он совпадает  с некоторым опорным решением. Различных опорных решений системы  ограничений конечное число. Поэтому  решение задачи в канонической форме  можно было бы искать перебором опорных  решений и выбором среди них  того, для которого значение F самое большое. Но, во-первых, все опорные решения неизвестны и их нужно находить, a, во-вторых, в реальных задачах этих решений очень много и прямой перебор вряд ли возможен. Симплекс-метод представляет собой некоторую процедуру направленного перебора опорных решений. Исходя из некоторого, найденного заранее опорного решения по определенному алгоритму симплекс-метода мы подсчитываем новое опорное решение, на котором значение целевой функции F не меньше, чем на старом. После ряда шагов мы приходим к опорному решению, которое является оптимальным планом.

Итак, симплексный метод  вносит определенный порядок как  при нахождении первого (исходного) базисного решения, так и при  переходе к другим базисным решениям. Его идея состоит в следующем.

Имея систему ограничений, приведенную к общему виду, то есть к системе m линейных уравнений с n переменными (m < n), находят любое базисное решение этой системы, заботясь только о том, чтобы найти его как можно проще.

Если первое же найденное базисное решение оказалось допустимым, то проверяют его на оптимальность. Если оно не оптимально, то, осуществляется переход к другому, обязательно допустимому базисному решению.

Симплексный метод гарантирует, что при этом новом решении  линейная форма, если и не достигнет  оптимума, то приблизится к нему. С новым допустимым базисным решением поступают так же, пока не находят решение, которое является оптимальным.

Если первое найденное  базисное решение окажется недопустимым, то с помощью симплексного метода осуществляется переход к другим базисным решениям, которые приближают нас к области допустимых решений, пока на каком-то шаге решения либо базисное решение окажется допустимым и к нему применяют алгоритм симплексного метода, либо мы убеждаемся в противоречивости системы ограничений.

Таким образом, применение симплексного метода распадается на два этапа: нахождение допустимого базисного решения  системы ограничений или установление факта ее несовместности; нахождение оптимального решения.  
При этом каждый этап может включать несколько шагов, соответствующих тому или иному базисному решению. Но так как число базисных решений всегда ограниченно, то ограниченно и число шагов симплексного метода.

Приведенная схема симплексного метода явно выражает его алгоритмический  характер (характер четкого предписания  о выполнении последовательных операций), что позволяет успешно программировать и реализовать этот метод на ЭВМ. Задачи же с небольшим числом переменных и ограничений могут быть решены симплексным методом вручную.

Не останавливаясь подробнее  на сути алгоритма, опишем его вычислительную сторону. Вычисления по симплекс-методу организуются в виде симплекс-таблиц, которые являются сокращенной записью задачи линейного программирования в канонической форме. Перед составлением симплекс-таблицы задача должна быть преобразована, система ограничений приведена к допустимому базисному виду, c помощью которого из целевой функции должны быть исключены базисные переменные. Вопрос об этих предварительных преобразованиях мы рассмотрим ниже. Сейчас же будем считать, что они уже выполнены и задача имеет вид:

Здесь для определенности записи считается, что в качестве базисных переменных можно взять  переменные X₁, X₂, ..., X_r и что при этом b₁, b₂,..., b_r ≥ 0 (соответствующее базисное решение является опорным).

Для составления симплекс-таблицы  во всех равенствах в условии задачи члены, содержащие переменные, переносятся  в левую часть, свободные оставляются  справа, т.е. задача записывается в виде системы равенств:

Далее эта система оформляется  в виде симплекс-таблиц:

Примечание. Названия базисных переменных здесь взяты лишь для определенности записи и в реальной таблице могут оказаться другими.

Порядок работы с  симплекс таблицей

Первая симплекс-таблица  подвергается преобразованию, суть которого заключается в переходе к новому опорному решению.

Алгоритм  перехода к следующей таблице  такой:

• просматривается последняя строка (индексная) таблицы и среди коэффициентов этой строки (исключая столбец свободных членов ) выбирается наименьшее отрицательное число при отыскании max, либо наибольшее положительное при задачи на min. Если такового нет, то исходное базисное решение является оптимальным и данная таблица является последней;
• просматривается столбец таблицы, отвечающий выбранному отрицательному (положительному) коэффициенту в последней строке- ключевой столбец, и в этом столбце выбираются положительные коэффициенты. Если таковых нет, то целевая функция неограниченна на области допустимых значений переменных и задача решений не имеет;
• среди выбранных коэффициентов столбца выбирается тот, для которого абсолютная величина отношения соответствующего свободного члена (находящегося в столбце свободных членов) к этому элементу минимальна. Этот коэффициент называется разрешающим, а строка в которой он находится ключевой;
• в дальнейшем базисная переменная, отвечающая строке разрешающего элемента, должна быть переведена в разряд свободных, а свободная переменная, отвечающая столбцу разрешающего элемента, вводится в число базисных. Строится новая таблица, содержащая новые названия базисных переменных:
• разделим каждый элемент ключевой строки (исключая столбец свободных членов) на разрешающий элемент и полученные значения запишем в строку с измененной базисной переменной новой симплекс таблицы.
• строка разрешающего элемента делится на этот элемент и полученная строка записывается в новую таблицу на то же место.
• в новой таблице все элементы ключевого столбца = 0, кроме разрезающего, он всегда равен 1.
• столбец, у которого в ключевой строке имеется 0,в новой таблице будет таким же.
• строка, у которой в ключевом столбце имеется 0,в новой таблице будет такой же.
• в остальные клетки новой таблицы записывается результат преобразования элементов старой таблицы: