Задание. 

1). Постройте аддитивную модель временного ряда, последовательно выделив сезонную, трендовую и случайную компоненты.

2). Используйте полученную модель для краткосрочного прогнозирования доли сбережений населения в РФ на апрель 1993 года.

3). Проверьте качество модели. 

     Решение: 

     1). Построим график ряда динамики.

На графике отсутствует четкая картина сезонных колебаний.

     Построение  аддитивной модели начнем с выделения  сезонной компоненты временного ряда.

     В нашем случае и . Применим формулу (3.1). Для этого просуммируем уровни ряда по 1-му месяцу, найдем среднее значение за месяц. Затем аналогично проведем расчеты по остальным месяцам. По данным среднего за месяцы рассчитаем общее среднее за год.

     Вычитая из средних значений по месяцам среднее  значение за год получим расчетное  значение сезонной компоненты S_t.

     Расчетные данные приведены в таблице.

     Устраним  сезонную компоненту из исходных уровней  ряда и получим z_i= в столбце 4 расчетной таблицы, которая дана ниже.

     Далее рассчитаем значения представленные в столбце 5 расчетной таблицы. Поскольку первые разности являются примерно одинаковыми (см. столбец 5), считаем, что ряд z имеет линейный тренд. Рассчитаем значения тренда Т. Модель тренда имеет вид . Расчет параметров уравнения проведем по формуле (3.2). Необходимые предварительные расчеты приведены в таблице в столбцах 6-8: столбец 7 получается путем возведения в квадрат значений столбца 6, столбец 8 равен произведению столбца 4 на столбец 6.

     Параметры уравнения линейного тренда:

      ,           .

     Таким образом, уравнение тренда имеет  вид:

     T=20,845-0,435t.

     Подставляя  в уравнение тренда последовательно  соответствующие значения t, получим значения тренда для каждого уровня временного ряда (столбец 9 расчетной таблицы).

     После выделения тренда остаток E получается как разность между z и T (разность значений в столбцах 4 и 9) и представлен в столбце 10 расчетной таблицы.  

     2). Полученное уравнение временного  ряда может быть использовано  для краткосрочного прогнозирования.  Так, если необходимо спрогнозировать значение доли сбережений населения в РФ на апрель 1993 года, то определим t=15,5, так как для 12 месяца 1992 года t=11,5. Подставим значение t в уравнение тренда:

     

     С учетом того, что сезонная компонента равна для 4-го месяца -3,05, получим окончательно 14,1-3,05 = 11,05.

     Таким образом, в апреле 1993 года прогнозируется доля сбережений населения в РФ в размере 11,05%. 

     3). Проверим качество полученной  модели.

     Рассчитаем  среднюю процентную ошибку по формуле (3.7). Расчет суммы приведен в столбце 11 таблицы выше. Таким образом:

      ,

     что меньше 5%. Значит качество модели хорошо.

     Рассчитаем  среднюю абсолютную процентную ошибку по формуле (3.6). Расчет суммы приведен в столбце 12 таблицы выше. Таким образом:

      ,

     и поскольку  , то модель подогнана с хорошей точностью.

     Средняя ошибка, рассчитанная по формуле (3.8) с учетом суммы в столбце 10 таблицы, равна

      .

 

Задача 4

 

     "Системы  эконометрических  уравнений"

4.1. Краткие сведения из теории.

 

     Пусть имеется выборка, содержащая значения переменных Y_1t, …, Y_nt, , j=1,…m, t =1,…,N, где t – номер наблюдения, N – количество наблюдений. Рассмотрим систему уравнений вида:

               (4.1)

     В (4.1) переменные Y_it, i=1,…,n, t =1,…,N, являются эндогенными, т.е. их значения определяются внутри системы, а переменные , j=1,…m, t =1,…,N являются предопределенными, т.е. включают как экзогенные, т.е. внешние по отношению к системе переменные, так и лагированные значения эндогенных переменных. Разделение переменных на экзогенные и эндогенные должно осуществляться вне модели, исходя из экономической сущности изучаемой системы. В (4.1) e_it, i=1,…,n, t =1,…,N суть величины случайных ошибок уравнений модели.

     Система (4.1) может быть записана в матричном виде. Обозначим:

      , , ,

      , .

     Тогда (4.1) может быть записана в следующем виде:

     GY_t + BX_t = e_t.                                                                                                                (4.2)

     Система одновременных уравнений, записанная в форме (4.1) или в матричном виде (4.2) называется структурной формой эконометрической модели. Структурная форма модели лучше отражает экономические взаимосвязи между переменными, позволяет увидеть влияние изменений экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Коэффициенты при переменных в (4.2), т.е. элементы матриц G и B называются структурными коэффициентами модели.

     Система (4.2) может быть записана в виде зависимости эндогенных переменных от предопределенных

     Y_t = PX_t + v_t,                                                                                                                  (4.3)

     где , , здесь P= - G^-1B, v_t=G^-1e_t.

     Система (4.3) называется приведенной формой модели (4.1), (4.2). Элементы матрицы P называются коэффициентами приведенной формы модели.

     Как видно из (4.3) приведенная форма модели представляет собой систему линейных зависимостей эндогенных переменных от экзогенных. Коэффициенты приведенной формы модели представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели. Приведенная форма модели хотя и позволяет получить значения эндогенных переменных по значениям экзогенных переменных, аналитически уступает структурной форме модели, так как в ней отсутствуют оценки взаимосвязи между эндогенными переменными. Кроме того, приведенная форма модели не отражает, как правило, содержательной экономической сущности исследуемого объекта, явления, процесса.

 

4.2. Решение задачи.

 

     Условие. 

     Макроэкономическая  модель (упрощенная версия модели Клейна):

         (4.4)

     где C – потребление, Y – доход, I – инвестиции, T – налоги, К – запас капитала, t – текущий период, t-1 – предыдущий период. 

     Задание.  

1). Определить эндогенные, экзогенные, лаговые и предопределенные переменные модели.

2). Записать приведенную форму модели.  

     Решение. 

     1). Эндогенными переменными являются . Экзогенные переменные - . Лаговые переменные . Предопределенные переменные . 

     2). Приведенную форму модели (4.4) можно получить путем алгебраических преобразований.

     На  первом шаге подставим выражение для Y_t из третьего уравнения системы в первое и второе. В результате получим систему уравнений:

       (4.5)

     Подставим в первое уравнение (4.5) значение из втрого уравнения. Аналогично поступаем с вторым уравнением (4.5). Получаем следующую систему уравнений:

  

  (4.6)

     Подставляем первое и второе приведенный уравнения (4.6) в третье. В результате получаем приведенную форму модели: