2). Построим линейное уравнение множественной регрессии

     Вычислим  сначала 

      ,

      ,

      .

     Затем, применяя формулы (2.7) получим оценки уравнения регрессии:

      .

      .

      .

     Уравнение регрессии имеет вид:

      .

     Интерпретация коэффициентов регрессии. Константа  оценивает агрегированное влияние прочих (кроме учтенных в модели X₁ и X₂) факторов на результат Y и означает, что валовой доход при отсутствии изменений в среднегодовой стоимости основных и оборотных средств составил бы 48,136 млн. рублей. Коэффициенты и указывают, что с увеличением X₁ и X₂ на единицу их значений (1 млн. рублей) объем валового дохода увеличивается, соответственно, на 0,146 и 0,089 млн. рублей.

     Рассчитаем  скорректированный коэффициент  детерминации по формуле (2.9)

       где 

     

      .

     Т.о. 22,2% вариации зависимой переменной объясняется вариацией независимых переменных. 

     3). Проверим значимость уравнения  регрессии на 95% уровне. Рассчитаем  фактическое значение F статистики по формуле (2.10):

      .

     Для определения табличного значения F_0,05;2;12 воспользуемся таблицами распределения Фишера для заданного уровня значимости 0,05, принимая во внимание, что число степеней свободы большей дисперсии равно 2, а число степеней свободы меньшей дисперсии равно 12, F_0,05;2;12=3,89.

     Так как F<F_0,05;2;12, то оснований отклонять нулевую гипотезу нет, если гипотеза не нулевая, то с вероятностью 0,95 можно говорить о статистической значимости уравнения регрессии.  

     4). Рассчитаем коэффициенты эластичности. Воспользуемся формулой (2.11). Получим

      .                        .

     Значения  коэффициентов эластичности позволяют  сделать вывод о большем влиянии на валовой доход среднегодовой стоимости основных фондов, нежели среднегодовой стоимости оборотных средств. В частности, при изменении фактора X₂ на 1% от своего среднего значения и при фиксированном воздействии на Y другого фактора, включенного в уравнение регрессии, объем валового дохода изменится на 0,063% от среднего значения. 

     5). Построим 95% доверительные интервалы для коэффициентов регрессии.

     По  формуле (2.13) вычислим стандартные ошибки коэффициентов

      ,

     аналогично 

      .

     Тогда по (2.12) с учетом t_0,05;12=2,179 получим:

       

     или −179,308 £ b₁ £ 179,600.

       

     или −78,251 £ b₂ £ 78,429.

     Проверка  значимости каждого из коэффициентов: поскольку доверительные интервалы для b₁ и b₂ включают в себя ноль, то коэффициенты b₁ и b₂ не являются значимыми.

 

Задача 3

 

     "Временные  ряды в эконометрических  исследованиях"

3.1. Краткие сведения  из теории.

 

     Совокупность  наблюдений анализируемой случайной величины Y(t), произведенных в последовательные моменты времени называется временным рядом, причем n - число наблюдений. Значения элементов временного ряда формируются под воздействием ряда факторов, среди которых выделяют:

• долговременные, формирующие в длительной перспективе тенденцию анализируемого признака. Эта тенденция описывается с помощью некоторой функции, называемой трендом (Т);
• сезонные, формирующие периодически повторяемые в определенное время года колебания анализируемого признака (S);
• циклические, формирующие изменения признака в результате воздействия циклов экономической, демографической или астрофизической природы (С);
• случайные, не поддающиеся учету и регистрации, как результат воздействия случайных, внешних факторов (E).

     Предметом анализа временного ряда является выделение  и изучение вышеуказанных факторов, в дальнейшем именуемых компонентами временного ряда, как правило, в рамках одной из моделей ряда: аддитивной (Y=T+C+S+E) или мультипликативной (Y=T·C·S·E). Некоторые составляющие могут отсутствовать в тех или иных рядах. При решении задачи 3 предполагается, что речь идет об аддитивной модели временного ряда с отсутствующей циклической компонентой.

     Процесс построения аддитивной модели включает следующие этапы:

1. Расчет значений сезонной компоненты S. Простейший путь оценки сезонности для ряда y₁, y₂, ..., y_t, ..., y_n с периодом сезонности t (t=12 для ежемесячных данных, t=4 для ежеквартальных данных, и h=n/t) заключается в вычислении разности между средним по всем одноименным месяцам (кварталам) и средним по всем данным:

                                                                                   (3.1)

     Подробно  процесс выделения сезонной компоненты представлен при решении типовой задачи.

2. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение z_i суммы трендовой и случайной компонент (z_i=Т_i+E_i) согласно аддитивной модели y_i=T_i+S_i+E_i откуда T_i+E_i=z_i=y_i−S_i.
3. Аналитическое выравнивание уровней (z_i), то есть расчет значений Т_i с использованием уравнения тренда. Аналитическое выравнивание осуществляется по математической модели тренда. Выбор модели тренда может быть осуществлен несколькими способами. Предполагая, что тренд имеет вид полинома, анализируют цепные абсолютные приросты (первые разности уровней ряда) и абсолютные ускорения уровней ряда (вторые разности ряда) . Если примерно одинаковы , то ряд имеет линейный тренд . При вычислениях удобно моменты времени t пронумеровать так, чтобы получилось =0. Тогда параметры линейного тренда могут быть найдены по следующим формулам

      .                                                                                              (3.2)

     Если  же примерно постоянны  , то для описания тенденции временного ряда следует выбрать параболу второго порядка . Параметры такого тренда могут быть найдены по следующим формулам

      ,                                                                                (3.3)

      ,                                                                                                                 (3.4)

      ,                                                                                      (3.5)

     Методика  нумерации моментов времени, так, чтобы  =0, различна для рядов имеющих четное и нечетное число наблюдений. Так, если число наблюдений нечетное, то нумерация проводится так:

     Если  же число наблюдений четное, то нумерация соответственно:

     После выделения трендовой компоненты , случайная компонента получается как разность .

4. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Часто рассчитывают: среднюю абсолютную процентную ошибку (Mean Absolute Percentage Error):

      .                                                                                     (3.6)

     Если  модель подогнана с высокой точностью MAPE<10%, хорошей − 10%<MAPE<20%, удовлетворительной − 20%<MAPE<50%, неудовлетворительной − MAPE>50%.

     Целесообразно пропускать значения ряда, для которых  y_i = 0.

     Средняя процентная ошибка (Mean Percentage Error) и средняя  ошибка (Mean Error). Средняя процентная ошибка не определена при нулевых данных и не должна превышать 5% для хорошо подогнанной модели:

      .                                                                                              (3.7)

     Средняя ошибка:

      .                                                                                                            (3.8)

 

3.2. Решение  задачи.

 

     Условие. 

     Доля  сбережений населения в РФ с 1991 по 1992 гг. имеет следующую динамику:

     К заданию 2) – прогноз на апрель 1993г.