Использование показательного закона распределения в экономике

Оптимизация смешанной стратегии  позволит игроку всегда получать среднее значение выигрыша (прибыли) независимо от стратегии игрока Р₂. Для оптимизации смешанной стратегии необходимо определить частоту применения игроком стратегии А и стратегии В. Обозначим частоту применения стратегии А через x, тогда частота применения стратегии В будет (1 - х).

Если игрок Р₁ принимает оптимальную смешанную стратегию, то и при стратегии игрока Р₂ (природа) С (теплая погода) и при его стратегии Д (холодная погода) игрок Р₁ должен получить одинаковую среднюю прибыль (выигрыш):

568 000x + 136 000(1 - x) = 136 000x + 520 000(1 - x);

 

568 000x - 136 000 x - 136 000x + 520 000x = 520 000 - 136 000;

 

816 000x-384 000; x=384 000/816 000 = 8/17; 1 - x = 9/17.

Действительно, игрок Р₁ принимая чистые стратегии A и В в соотношении 8:9, будет иметь оптимальную смешанную стратегию, при которой средний выигрыш будет составлять:

при теплой погоде (стратегия С игрока Р₂):

П(С) = 568000 * 8/17 + 136000 * 9/17 = 1/17 * (4 544 000 + 1 224 000) = 1/17 * 5 768 000 = 339 300 руб.;

при холодной погоде (стратегия  Д игрока Р₂)

П(Д) = 136000 * 8/17 + 520000 * 9/17 = 1/17 * (1088 000 + 4 680 000) = 1/17 * 5 768 000 =339 300 руб.

Таким образом, средняя прибыль (средний платеж), которую получит ОАО «Элема» при реализации оптимальной смешанной стратегии, будет равна 339 300 руб. Средний платеж, который получается при реализации оптимальной смешанной стратегии, называется ценой игры.

В заключение следует определить, сколько платьев и сколько  костюмов должно выпустить в мае ОАО «Элема» для реализации оптимальной смешанной стратегии, т. е. для получения максимальной прибыли при любой погоде.

(1200 кост. + 3950 плат.) * 8/17+(2000 кост. + 1250 плат.)* 9/17=1/17 * (9600 кост. +31 600 плат. + 18 000 кост. + 11 250 плат. )= 1/17 * (27 600 кост. +42 850 плат.) = 1624 кост. + 2520 плат.

Значит, оптимальная  стратегия ОАО «Элема» означает выпуск 1624 костюмов и 2520 платьев, в этом случае при любых погодных условиях ОАО «Элема» получит среднюю прибыль Пср в сумме 339 300 руб.:

- при теплой погоде (стратегия С игрока Р₂):

 

Пср. =1200 * (480 - 270) + 2520 * (160 - 80) - (1624 - 1210) * 270 = 339 300 руб.;

 

- при холодной погоде (стратегия Д игрока Р₂):

Пср.=1624 * (480 - 270) + 1250 * (160 - 80) - (2520 - 1250) * 80= 339 300 руб. 

Также рассмотрим дискретную стохастическую модель оптимизации начального запаса.

Мы отказываемся от предположения  о постоянстве и детерминированности величины спроса на товар и предполагаем известным распределение величины спроса.

Пусть S – размер запаса на начало периода планирования;

D – величина спроса за период планирования (целое число);

Н – удельные издержки хранения за период;

В – удельные издержки дефицита за период;

p(D) – вероятность того, что величина спроса за период планирования составит D.

Функция распределения величины спроса:

F(x) = р (D < х) =

В случае когда величина спроса за период планирования превышает размер запаса (D > S), возникает дефицит и соответствующие издержки дефицита. Если запас больше, чем величина спроса (S > D), то возникают издержки хранения. Математическое ожидание C₁(S) величины издержек хранения за период планирования для размера начального запаса S можно оценить следующим образом:

Математическое ожидание С₂(S) величины издержек дефицита за период планирования для размера начального запаса S можно оценить следующим образом:

Математическое ожидание C(S) совокупных издержек в этом случае имеет вид

В стохастической модели оптимальным является такой размер начального запаса S*, при котором математическое ожидание совокупных издержек C(S*) имеет минимальное значение, т.е. такой размер запаса S*, который удовлетворяет условию:

Если

F(S*) = , то

 

С(S*)= С(S*+1)

 

и оптимальными являются как размер запаса S*, так и размер запаса S* + 1.

Рассмотрим пример.  Торговый агент компании Volvo занимается продажей последней модели этой марки автомобиля. Годовой спрос на эту модель оценивается в 4000 единиц. Цена каждого автомобиля равна 90 тыс. руб., а годовые издержки хранения составляют 10% от цены самого автомобиля. Анализ показал, что средние издержки заказа составляют 25 тыс. руб. на заказ. Время выполнения заказа – 8 дней. Ежедневный спрос на автомобили равен 20.

Вопросы:

1. Чему равен оптимальный размер  заказа?

2. Чему равна точка восстановления?

3. Каковы совокупные издержки?

4. Каково оптимальное количество  заказов в год?

5. Каково оптимальное время между  двумя заказами, если предположить, что количество рабочих дней  в году равно 200?

Решение. Исходные данные:

величина спроса D = 4000 единиц;

издержки заказа K = 25 тыс. руб.;

издержки хранения H = 9/200 тыс. руб.;

цена за единицу с = 90 тыс. руб.;

время выполнения заказа L = 8 дней;

ежедневный спрос d = 20 единиц;

число рабочих дней Т= 200.

Используя простейшую модель оптимального размера заказа, получаем:

размер заказа Q = 149 единиц;

точка восстановления R = 160 единиц;

число заказов за год N= 26,83;

совокупные издержки С = 1341 тыс. руб;

стоимость продаж cD = 360 млн руб.;

число дней между заказами t = 7,45.

Рассмотрим еще один пример.  Поставка товара с фиксированным интервалом времени.

Магазин закупает духи  на одной  из парфюмерных фабрик. Годовой спрос на этот продукт составляет 600 шт. Издержки заказа равны 850 руб., издержки хранения – 510 руб за одну упаковку (20 шт.) в год. Магазин заключил договор на поставку с фиксированным интервалом времени.

Количество рабочих дней в году – 300. Время поставки товара – 6 дней. Стоимость одного флакона – 135 руб.

Вопросы:

1. Чему равно оптимальное число  заказов в течение года?

2. Чему равна точка восстановления  запаса?

3. Каковы минимальные совокупные  издержки?

Решение. Оптимальный размер заказа

 

 

Число заказов в течение года

 

 

Поскольку среднесуточный спрос равен 600/300 = 2 шт., точка восстановления запаса составит 2 * 6 = 12 шт. Минимальные издержки заказа и хранения:

 

 

Рассмотрим такой пример.  Создание запаса продукции при дискретном спросе.

Небольшой салон специализируется на продаже видеомагнитофонов стоимостью 2000 руб. Затраты на хранение единицы продукции составляют 500 руб. Изучение спроса, проведенное в течение месяца, дало следующее распределение числа покупаемых видеомагнитофонов:

 

Спрос, шт.	3	4	5	6	7
Вероятность	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

 

Найдите оптимальный размер запаса.

Решение. Доказано, что при дискретном случайном спросе суммарные затраты

C(S) = Н (S–D)p(D) + В (D–S)p(D)

 

 минимальны при размере запаса S*, удовлетворяющем неравенству:

F(S) < < F(S*+1)

 

где = – плотность убытков, F(S)=р(D<S) – функция распределения величины спроса. Вычислим плотность убытков:

= 2000/2500 = 0,8

Найдем значения функции распределения  величины спроса:

Запс, шт.	3	4	5	6	7	Более 7
Спрос, шт.	3	4	5	6	7	Более 7
F(S)	0,0	0,1	0,3	0,6	0,9	1,0

Оптимальный размер запаса продукции  удовлетворяет неравенству F(6) < 0,8 < F(7). Следовательно, размер запаса в 6 единиц будет оптимальным.

3 ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

3.1. Равномерный закон распределения

Непрерывная случайная  величина X имеет равномерный закон  распределения на отрезке [a, b], если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его:

                                                  (12)

 

Равномерное распределение случайной  величины X на участке [a, b] (или (a, b)) обозначают следующим образом: .

Функция распределения F(x) для равномерно распределенной случайной величины X, имеет вид:

 

Математическое ожидание и дисперсия  случайной величины X, имеющей равномерное распределение, находятся по формулам:  ; .      (13)                          

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины X на интервал вычисляется по формуле:

.

1. Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Непрерывная случайная  величина X имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения, если ее плотность вероятности имеет вид:

где  - параметр данного распределения.

Функция распределения F(x) случайной величины X, распределенной по показательному закону, находится по формуле

(14)                                                       

 

Важнейшие числовые характеристики показательного распределения определяются равенствами:

(15)                   , , .                           

Для показательного закона распределения  вероятность того, что случайная  величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), определяется формулой

.

3.2. Нормальный  закон распределения

 

Нормальный закон распределения (закон Гаусса) играет исключительную роль в теории вероятностей. Главная  особенность закона Гаусса состоит  в том, что он является предельным законом, к которому приближаются, при определенных условиях, другие законы распределения. Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике.

Непрерывная случайная  величина X имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами и , если ее плотность вероятности имеет вид:

.

 

Кривую нормального закона распределения  называют нормальной кривой или кривой Гаусса.

Нормальная кривая  изображена на рис. 9.

 

 

Рис. 9

 

Тот факт, что случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами , коротко записывают так: .

Математическое ожидание случайной величины X, распределенной по нормальному закону, равно параметру этого закона, т. е. , а дисперсия – параметру , т. е. .

Нормальный закон распределения  случайной величины с параметрами  и , т. е. случайной величины называется стандартным или нормированным.

Плотность стандартной случайной  величины X имеет вид

и называется функцией Гаусса.

Вероятность попадания в интервал (a, b) случайной величины X, подчиненной нормальному закону, определяется формулой 

                      ,                        (16)

где функция  называется функцией Лапласа (или интегралом вероятности). Эту функцию называют также функцией ошибок.

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

1. , т. е. функция - нечетная;

2. ; 3. .

Таблицу значений функции Лапласа  можно найти в приложении 1.

Вероятность попадания случайной  величины в интервал , симметричный относительно центра рассеяния , находится по формуле

.   (17)                   

В частности, , т. е. практически достоверно, что случайная величина принимает свои значения в интервале . Это утверждение называется “правилом трех сигм”.

3.3. Решение  задач с помощью законов распределения

Пример 1. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 мин. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты? Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – времени ожидания поезда.

Решение. Случайная величина X – время ожидания поезда – на временном отрезке [0, 2] имеет равномерный закон распределения     (см. (12)). Тогда вероятность того, что пассажиру придется ждать не более полминуты

.

По формулам (13) найдем мин., .

 мин.

Пример 2. Случайная величина T – время работы радиолампы – имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время работы лампы будет не меньше 600 часов, если среднее время работы радиолампы 400 часов.

Решение. По условию задачи математическое ожидание случайной величины T равно 400 часам, следовательно, . (15)

Тогда с учетом формулы (14) искомая  вероятность .Пример 3. Случайные ошибки измерения детали подчинены нормальному закону с параметром мм. Найти вероятность того, что измерение детали произведено с ошибкой, не превосходящей по модулю 25 мм.

Решение. Воспользуемся формулой (17). В нашем случае , , следовательно,

.Пример 4. Пусть X – случайная величина, подчиненная нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Какова вероятность того, что при четырех испытаниях эта случайная величина попадет хотя бы один раз в интервал (1,2)?

Решение. Найдем вероятность попадания случайной величины X в интервал (1,2) при одном испытании. Согласно формуле (16) имеем:

. Тогда вероятность того, что случайная величина не попадет в интервал (1,2) при одном испытании равна 1-0,3811=0,6189, а при четырех испытаниях . Значит, искомая вероятность .

 

Пример 5. Время ожидания ответа на телефонный звонок – случайная величина, подчиняющаяся равномерному закону распределения в интервале от 0 до 2 минут. Найти интегральную и дифференциальную функции распределения этой случайной величины.